Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В связи с этим реализовать наивыгоднейшие тяговооруженности в ракетах с РДТТ не всегда удается. Из сказанного следует, что разрабатываемые твердые топлива должны обладать не только высокой энергетикой (высокими Р„в,), достаточной прочностью, высокой стойкостью, технологичностью, но и вполне определенной скоростью горения, так как только в этом случае возможно создание оптимальных вариантов ракет с РДТТ. Более подробно вопрос о выборе относительной длинызарядов и скорости горения топлив будет рассмотрен в $4,8, 151 9 4л." Оптимизлция вдспюдипннпя я4дсс па ступвням и тягаваа1%женнасте19 суБРАкят Чтобы построить графики' зрвнсимовтей;.стартовой массы или -стоимости ракеты от .значений проектных параметров, требуется произвести, очень большой.
Объем: вычислительных' работ. В связи с этим определенного внимания заслуживают прямые аналитические методы онределеиия'значений проектных параметров, отвечающих минимуму стартовой массы или минимуму стоимости ракеты. Сложность и точность этих методов зависят' от числа факторов, которме прн этом учитываются, и от степени учета этих факторов. В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Заданы масса полезной нагрузки, дальность йолета Е (или скорость У„) ракеты, состав топлива и число ступеней в ракете. Требуется найти распределение масс по ступеням и тяговооруженности субракет, обеспечивавшие минимум стартовой массы ракеты при неизменных других проектных параметрах. Для конкретности возьмем трехступенчатую ракету с ЖРД.
Как изменится решение задачи цри другом числе ступеней, будет указано ниже. Стартовая масса трехступенчатой ракеты выражается зависимостью '!!пи (4.23) л!о! —;=з Скорость ракеты в конце активного участка приближенно равна г=з 1 Ксо=Ко УРьоо!11п 1 — )!п~Уо!з)ивор.!) (424) эк! где з!п 9,р, ! — среднеинтегральное значение величины з)п 9 на активном участке 1-й ступени. Минимуму стартовой массы при гп,„;=сопз1 соответствует максимум отношения — "", или, что одно и то же, максимум о!о! ' величины !у = 1и — "", то! ' которая согласно выражению (4.23) запишется так: д ~~~~! (! — В',— ! — (!.)-к)!,1. !425! "ц! !52 Р Д! (1 — М,' — 4' — ((4-К(8„)4- .(- 8 [Р— 2, 2'Р „,(( 4 — 4,,8„( 8„,,)]. (4281 1 »=1 Условия экстремума функции г" находятся из уравнений Эй- лера: -р- — О, »'= 1, 2,3 дд (4.29) Тенерь поставленную задачу-можно сформулировать так: требуется определить значения аргументов р„» и Л„», которые обеспечивают максимум функции (»-ирн условии достижения заданной скорости Урь С точки зрения математики эта задача представляет собой зада(»у на условный"экстремум функции.
которая в дан. ном случае сводится к отысканию максимума вспомогатель-' ' ной функции вида Р=»7(18„», Л,ц)+ АФ(122», Л„,), (4,26) где А — неопределенный множитель Лагранжа; Ф вЂ” функция, описывающая наложенную связь. В качестве связи следует использовать уравнение (4.24), записанное в такой форме: 1 ) К ~~~~ »88» »=1 — Л„»12„,'з(пйур „).( (4.27) Таким образом, вспомогательная функция равна ~,л — =О, » =,1, 2, 3. (4.30) Лп» Если принять для упрощения задачи, что' весовые коэффициенты №, д» и К» не зависят от р„» н Л,», то уравнения Эйлера запишутся так: 1+К» + 1 — Р»»' — — —.(1 + К,)» Р» Ь» Лп» + ЬЯрРу, 2, ( 1 — ЛР» 81п(г,р,») = О, » = 1, 2, 3; (4.31) 1-гк» ь, Г 1 — »(»»' — — '-(1+ К») р Р» ~ 4 ЛР» к» и» + Ьй»Рук(2»»»мз1пй»р.» 08 М 14 2 3 (432) 153 Таким образом, получена система из шести уравнений, кото- рЫЕ СадЕржат трн НЕИЗВЕСТНЫХ ),пу, трн НЕИЗВЕСТНЫХ р„н неопределенный множитель Л.
Эта система принципиально может быть использована для определения искомых величин р„у и ).пь если дополнительно привлечь уравнение (4.24), в котором скорость )л„з считается известной. После исключения Л система уравнений примет вид: Рул, п2 / ! +К2 ( ! — л2п з1пви2 ) ~1 — Л7 — — „— (1+ К) „~1= ~г з, п2 !222 ~кл Р уЛ. 22 !+К (4.33) ! (! — яку) 2222 апР. 2 Х 1=1, 2, 3; (4.34) Х[1+ 1 кз=йп ~~~ ук. 22 (1П ! . — 122Рк; з(нйпу,,) . (4.35) яку Чтобы решить систему уравнений (4.33) — (4.35) относительно рпу и )пь необходимо знать весовые коэффициенты Луп, ь дь К2, удельные тяги двигателей ступеней Р „,„; и значения з!пй,р 2, Решение атой системы уравнений может производиться графо-аналитическим методом в такой последовательности: — после подстановки лп! из выражений (4.34 )в сдвоенное равенство (4.33) последнее распадается на три функции, кахсдая из которых зависит только от одного аргумента р„б Равенство (4.33) приниу2!ает вид 22 (Р21) 22 (Ркз) 22 (! кп)! (4.36) — строятся графики функций 12, (з и 1з (рис.
4,13); из условия формулы (4.36) следует, что каждому значению функций )2 отвечают вполне определенные соотношения между рпь ркз и р з!' — после подстановки значений л„в формулу (4.35) скорость превращается в функцию только трех параметров: рпь ркм ркз! поскольку между р„ь р„з, р,з существуют вполне определенные связи, вытекающие из выражения (4.36),'за-' висимость )упз=)упз(рп2, ркм р,з) можно свести к зависимо- 154 сти Ь'„а = Ь'„а (Рк,); Дла постРоениЯ зависимости Рва= =рва(рк,) достаточно задаться рядом значений рнь затем нз рис. 4.13 найти соответствующие значения )а„о, рна н для каждой комбинации рнь р„э, рка по формуле (4.35) определить скорость Рка (рис. 4.14); — зная требуемое значение скорости У'„Рэ из графика $'и(р,~) можно найти значение Риь а по последнему из рис.
4.13 определяются ркэ и р а', — зная значения риь р„г, р„а, по формулам (4.34) можно НайтИ ЗНаЧЕНИя ).,1, )пг, )па) у! кк и ТР кэ Дю Фкг агка агкг Рнв,. 4.13. Графики функций Л(рк') Рк1 Рис. 4.14. График аавкси иосси — по полученным значениям рк; и ).,г массы субракет | определяются последовательно из равенств: й)а — ! — (1+ 1(а) Рко о йа) ~. / Удава 12 (1 + а)рк2 й, 1 )па (4.37) таа о 4|1 й(~ — — ') — (1+ К~) рм 1в! Воспользовавшись системой уравнений (4.33) — (4.35), без труда можно написать аналогичную систему уравнений для ракет с любым числом ступеней, отличным от трех.
При этом число членов в равенстве (4.33) и число уравнений типа (4.34) будет соответствовать числу ступеней в ракете. Остается совершенно аналогичной и последовательность решения. Из полученной системы уравнений непосредственно вытекают решения для некоторых частных случаев. Так, например, в том случае, когда весовые коэффициенты и удельныс тяги двигателей у всех ступеней одинаковы и йй дополнительно соблюдя . Равен 7Ж, в):Ею.1- з(пЕ„,В '' ° =... з1п й,р. „должны быть -одинаков)и»и коэффициентй за-.: полнения субракет топливом и тяговоору)пенности субракет:,.
Рк» вЂ” Р»»» = ° ° ° — р»»»»» (4.33) (4.39) При этом потребные массы субракет образ)пот геометрическую прогрессию: »"лв ~оа . а»»ч „. ~~р, (4 40) »»»»а, »а0~ » ' »»»6» ',й»З» ' Поэтому оптимальная масса второй субракеты у двухступенчатой' ракеты с заданной массой»пч» определится в данном случае как »4.41) а оптимальные массы субракет у трехступенчатой ракеты со стартовой массой»п0» найдутся соответственно по формулам з» .
(4.42) (4.43) Напомним, что система уравнений, (4.33) — (4.35) получена при следующих о»сновных допущениях: — весовые коэффициенты ракеты Жо Ь„ А", не зависят от значений параметров р,» н Ха»; — на активном участке первой ступени ракеты потери скорости, вызываемые сопротивлением воздуха, компенсируются приростом скорости за счет действия высотной добавки ' тяги, а на активных участках всех последующих ступеней плотность атмосферы пренебрежимо мала.
На самом деле коэффициенты весовых уравнений зависят от Х,» и р„», причем эта зависимость более сложная, чем описываемая приближенными весовыми, уравнениями. Это обстоятельство уже отмечалось в 5 3.1. Кроме того, средние значе-. ния збпб для активных участков различных ступеней также зависят ат Х,» и р„ь Все это означает, что оптимальные значения параметров 1»а» и )»ч» могут определяться с помощью полученной системы уравнений с невысокой точностью. Особенно низкой точностью .
обладает формула (4.34). В этой формуле совершенно не учнтываетсн влияние коэффициентов тяговооруженности на величняу нагрузок, действую. щих иа ракету, н соответственно иа массу, корпуса ракеты и агрегатов управления. Поэтому формула' .типа формулы (4.34) дает существенно заниженные значения )ч;. В связи с этим при пользовании системой уравнений (4:33) — (4-.3$) 15б целесообразно коэффициенты )ч» ие рассчитывать по этим формулам, а назначать согласно указанным в 5 4.3 рекомендациям или принимать по аналогии с Ха» для существующих ракет: Тогда задача, сведется к определению только р„» путем совместного "решения зависимостей (4.33) и (4.33).
Более точное определение оптимальных значений )»ч» и Х,» ,требует учета зависимости весовых коэффициентов ракеты от величины зтйх параметров и-более точного расчета'Р„„. Подход к решению задачи в этом случае остается таким же (используется метод неопределенных множителей Лагранжа), но расчетные уравнения получаются значительно более сложными, особенно если пользоваться сложными связями между весовыми коэффициентами ракеты н параметра-» мн 1»к» и 1и» Вывод уравнений для определения оптимальных значений р„, и Х,» проводился приз»енительно к ракетам с ЖРД.
Посмотрим, как изменятся эти уравнения при решении аналогичной задачи для ракет с РДТТ.. Вполне очевидно, что, если для' определения стартовой' ~ массы трехступенчатой ракеты с РДТТ воспользоваться ранее принятым вь»ражением (4.44) тО»= » а П 11 — »»» — 11 + К ) и„»1 н расчет скорости 1'ю такой ракеты вести по формуле (4.24), то смысл совместной оптимизации параметров р„» и А» пропадает. Последнее объясняется тем, что уравнение (4.44) написано при допущении, что масса конструкции ракеты с РДТТ от тяговооруженности субракет не зависит. При пользовании весовым уравнением (4.44) возможна только оптимизация параметров рм, если заданы определенные значения А„», )»,з, )чв. Конечная система уравнений для определения 1»ч» р»»», раз в данном случае запишется так: 1+к 1,„1п» з»пй»в») 11»»»», (1+ %») Ри»1 Рувю / 1 ~ — — Х„з(пй,м,) 11-М,— (1+ К,)Р„'») = 1+К, ~1 — „„, - —,"'„"' ( —,', — Л„, 1 й„,) (1 — )Ч,— (1+К,)„„,); (4.43) »=3 157 После определения параметров р„, массы субракет находятся последовательно по формулам: азак () — чз) — () + Кз) Ркз ' азов зпоз = ) азор (! — Нд) — (1+ К ) ~ з ' (4.47) й 4.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
