Главная » Просмотр файлов » Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров

Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров (1048837), страница 27

Файл №1048837 Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров (Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров) 27 страницаКузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров (1048837) страница 272017-12-27СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Каждой вершине можно соотнести метку, указывающую, какому классу она принадлежит, Метки являются элементами заданного множества. Иногда они явно указывают на свойства, определяющие классы: степени, ранги вершин и их расстояния от корня можно метить соответствующими числами, вершины структурной формулы— обозначениями химических элеи и и меьпов и т. п, Однако часто отвлекаются от конкретного хая я рактера различий между вершинами, и тогда метки указывают только на факты сходстн и ва вершин и их различия.

СоРис. 4.!6 отнесение таких меток вершинам интерпретируют как раскраску последних в разные цвета. Аналогичным образом говорят о раскраске ребер графа и вообще о раскраске элементов произвольного множества. Задачи о раскраске вершин графов. Часто рассматривают не произвольные раскраски вершин графов, а только удовлетворяющие некоторым заданным условиям. Так, во многих исследованиях запрещается красить соседние вершины в один цвет. В этих работах количество цветов задается или требуется найти его минимум. Начнем с довольно простой задачи.

Сколько цветов понадобится для раскраски вершин графа, если степени всех его вершин не превосходят некоторого числа й? Можно показать, что А+1 цветов достаточно. Будем окрашивать вершины по очереди в произвольном порядке. Пусть уже окрашенные вершины не имеют соседей, окрашенных'в те же цвета, и мы вибираем цвет очередной вершины. Ее соседи — это вершины, имеющие с ней по общему инцидентному ребру. Значит, их не больше я, Некоторые из них могут быть уже окрашены, в крайнем случае все.

Все равно на их окраску ушло не более й цветов, и имеется свободный цвет, который можно выбрать для данной вершины. Так будут по очереди окрашены все вершины графа. Пусть 6 — полный граф, т. е. каждая пара его вершин соединена ребром. Тогда все вершины должны быть окрашены в разные цвета. В полном графе с я+1 вершиной сте- 132 пени всех вершин равны й. Значит, с е ~ыж, ушествую графы о й+! нвет необходим Однако датско не в м. днако далеко не все графы такие, рф,о норс рыж~ соседние вершин б ы ни ылн степ н е и его вершин: в нем и достаточно окра ы о язательно п ина л Проблема четыре р сить вершины каж о" р д сжат разным долям, дой доли в свой цвет. шивать можно не тол ех красок.

Как же гов у ворилось, раскра- р фа. Рассмотрим так только вершины г а б ( 417) , т. е. разбиения раскраски любой карты? Эта Достаточно ли четы е р х цветов для проблема имеет большую то ию, р . По некоторым сведени- шую исям, еще в 1840 г. о ней знал «доказательств» был ыло дано Кемпе в '1879 г., но ыла обнаружена не сразу. Ее нашел Хейвуд в 1890 г, а же доказал, что области любой карты можно раскрасить требуемым образом в пя тех пор проблему четырех красок, как ее назвали, долго не удавалось решить. Недавно американские ма- Рис.

4.! 7 тематики Аппель и Ха акен доказали гипотезу о четырех красках, с ' е т 1щ с венно ис случаи, когда столь счисления, Это пе вы" м д а была решена при поматическая задача оказательство задачи т Ребует грозмоздко ся. Однако его и е ных расчетов, позто озтому здесь не приводит- о идеи поучительны, и мы их ассм Сначала несколько зам зам ". Н оторые области мозамечаний. Нек в которой могут схо ду со ой только в изо.

лированной точке, 4.18), но мы не буд днться сколько го удем считать их со е у дно областей (рис. уд соседними. Такие точки ь», т. е. окружить их о ь» .. ру областями, не отгорауг от друга областей с п отя ми В каждой точке й у у ~ход~жы не более е ново карты б д т ~мы о охр~~ив вет областей ели ее можно аск ета о ластей старой карты, получим !33 Рис.

4.19 допустимую раскраску последней. В дальнейшем будем рассматривать карты, в точках которых сходятся не более чем по три области. Двойственный граф. Границы областей карты — это плоский граф. Его верп1ипы — точки, где сходятся по три области, ребра — соединяющие их линии — общие границы двух областей. В каждой области выберем точку— ее центр, и центры соседних областей соединим А линиями, Получится плоск 1 1Г 1 кий граф, который назы'б х . вастся двойственным оп- 1 " ' Л редсленному выше (оба графа изображены на рис. ~/ 4.19).

Области двойствен/ ного графа окружают вершины графа границ карты. Так как нас интеРис. 4,19 ресуют карты, в вершинах графа границ которых сходятся по три области, в двойственном графе каждан область — треугольник (криволинейный, причем внешняя область тожв'ограничена треугольником). Таким образом, двойственный граф определяет так называемую триангуляцию плоскости. Заметим еще, что он всегда связен.

Раскрашивать области карты все равно, что вершины двойственного графа, Поэтому проблему четырех красок формулируют еще и так: можно ли раскрасить вершины любого связного плоского графа в четыре цвета так, чтобы соседние вершины были окрашены в разные цвета/ / / / / / / / !! 1! ! ( 1 1 134 Редуцируемые конфигурации. Конфигурация — это связный полграф плоского графа, порожденный некоторым подмножеством его вершин (обычно небольшим).

Остальные вершины и ребра графа составляют внешнюю часть конфигурации. Конфигурацию можно «стянуть», т. е. исключить из нее некоторые вершины, не имеющие инцидентных ребер из внешней части, отождествить некоторые другие и соединить оставшиеся вершины ребра- и с ми, может быть, по- з иному. Внешняя часть л присоединяется к соответствующим вершинам новой конфигурации, причем требуется, чтобы полученный граф л Э оказался плоским, Если исходный граф был Рис «.20 триангуляцией, то новый граф тоже должен быть триангуляцией, Конфигурация называется редуцируемой, если из правильной раскраски вершин нового графа можно получить правильную раскраску исходного графа.

Это определение зависит от мощности средств редукции. Приведем примеры редуцируемых конфигураций. Вершина степени 3 (рис. 4.20). Исключив внутреннюю вершину, снова получим триангуляцию (тот же рисунок). Если редуцированный граф можно раскрасить а с в четыре цвета, то оставшиеся вершины конфигурации окрашены в три из них. Поэтому остается свободный цвет для ок- А раски исключительной г Р Е 3 вершины. Вершина степени 4 (рис. 4,21).

Исключив внутреннюю вершину н соединив ребром какую-либо пару противоположных вершин, получим триангуляцию (тот же рисунок). Пусть редуцированный граф раскрашен в четыре цвета. Если оставшиеся вершины конфигурации окрашены только в три цвета, то есть свободный цвет для исключенной верши- ны. Пусть они окрашены в четыре цвета. Перекрасим вершину С в цвет 1, соседние с ней вершины цвета 1 — в цвет 3, соседние с ними вершины цвета 3 — в цвет 1 и т. д. Этом процесс мы называем цепной перекраской цветов 1 и 3, начинающейся с вершины С. Когда он окончится, редуцированный граф будет правильно раскрашен.

Если при этом цвет вершины А не изменится, то цвет 3 окажется свободным для окраски вершины Е, исключенной в редуцированном графе. В противном случае.в редуцированном графе есть цепь из вершин цветов 1 и 3, соединяющая вершины А и С. Однако тогда в нем нет цепи вершин цветов 2 и 4, соединяющей вершины В и В, кроме ребра ВВ, но последнее не принадлежит внешней части конфигурации и потому при перекрасках цветов не определяет соседства. Применим цепную перекраску цветов 2 и 4, начинающуюся с вершины В. Новая окраска будет иметь только один дефект; вершины В и В окрашены одинаково. Однако в исходном графе они не соседние.

Вместе с тем при перекраске освободился цвет 4 для окраски вершины Е. Четыре вершины сте- пени 5, расположенные, Г как показано на рис. 4.22. Исключим эти вершины, в отождествим вершины В и Р, а вершины В и 0 со!т и единим ребром. С точно- стью до пер енумерации И цветов и симметрии отно- сительно конфигурации д Ю возможны раскраски осРиа. 4.22 тавшихся вершин последней, приведенные в строках табл, 4.3 и соответствующие шести графам рис. 4.23. Все они, кроме первой, продолжаются внутрь конфигурации (рис. 4.23). При первой раскраске либо вершины В и В не связаны цепью вершин цветов 2 и 3, либо вершины А и С не связаны цепью вершин цветов 1 и 4.

Применив соответствующие цепные перекраски, перейдем к последним двум раскраскам рис. 4.23, которые тоже можно продолжить внутрь конфигурации. Минимальный нераскрашиваемый граф, Если гипотеза о четырех красках неверна, то существует граф, вершины которого нельзя раскрасить в четыре цвета, имеющий минимальное число вершин среди всех таких графов. В этом гра- !36 Таблица 4.3 Л ( В г ! 4 1 4 3 3 3 3 3 4 4 1 4 1 2 2 2 2 2 4 В Е г В г С Е Е г В г я С Е В г г С Е 1 Риа, 4,23 137 фе нет никакой редуцируемой конфигурации, иначе редуцированный граф тоже нельзя было бы раскраснть в четыре цвета, а ведь у него меньше вершин. Таким образом, если в любом связном плоском графе с достаточно большим количеством вершнн есть редуцируемая конфигурация, то гипотеза о четырех красках справедлива !доказано, что все связные плоские графы с небольшим числом вершин раскрасить можно). Плоские графы вообще заслуживают изучения.

Порождение плоских графов. Будем рассматривать пло- ские графы вместе с их отображениями на плоскость. Таким образом, в дальнейшем вершины плоского графа — это точки на плоскости, а ребра — соединяющие их линии. Концами ребер являются инцидентные им вершины, другие вершины им не принадлежат, и они не имеют других общих точек, кроме общих инцидентных вершин. Можно считать, что ребра являются ломаными линиями, состоящими из, конечного числа отрезков прямых. Остальные точки плоскости разбиты графом на некоторое количество связных областей. Минимальный связный граф состоит из единственной вершины и не имеет ребер, Любые точки плоскости, не совпадающие с вершиной этого графа, можно соединить ломаной линией, не проходящей через нее. Значит, у минимального графа на плоскости одна область (речь идет о связных областях).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее