Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. - Дискретная математика для инженеров (1048837), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Каждой вершине можно соотнести метку, указывающую, какому классу она принадлежит, Метки являются элементами заданного множества. Иногда они явно указывают на свойства, определяющие классы: степени, ранги вершин и их расстояния от корня можно метить соответствующими числами, вершины структурной формулы— обозначениями химических элеи и и меьпов и т. п, Однако часто отвлекаются от конкретного хая я рактера различий между вершинами, и тогда метки указывают только на факты сходстн и ва вершин и их различия.
СоРис. 4.!6 отнесение таких меток вершинам интерпретируют как раскраску последних в разные цвета. Аналогичным образом говорят о раскраске ребер графа и вообще о раскраске элементов произвольного множества. Задачи о раскраске вершин графов. Часто рассматривают не произвольные раскраски вершин графов, а только удовлетворяющие некоторым заданным условиям. Так, во многих исследованиях запрещается красить соседние вершины в один цвет. В этих работах количество цветов задается или требуется найти его минимум. Начнем с довольно простой задачи.
Сколько цветов понадобится для раскраски вершин графа, если степени всех его вершин не превосходят некоторого числа й? Можно показать, что А+1 цветов достаточно. Будем окрашивать вершины по очереди в произвольном порядке. Пусть уже окрашенные вершины не имеют соседей, окрашенных'в те же цвета, и мы вибираем цвет очередной вершины. Ее соседи — это вершины, имеющие с ней по общему инцидентному ребру. Значит, их не больше я, Некоторые из них могут быть уже окрашены, в крайнем случае все.
Все равно на их окраску ушло не более й цветов, и имеется свободный цвет, который можно выбрать для данной вершины. Так будут по очереди окрашены все вершины графа. Пусть 6 — полный граф, т. е. каждая пара его вершин соединена ребром. Тогда все вершины должны быть окрашены в разные цвета. В полном графе с я+1 вершиной сте- 132 пени всех вершин равны й. Значит, с е ~ыж, ушествую графы о й+! нвет необходим Однако датско не в м. днако далеко не все графы такие, рф,о норс рыж~ соседние вершин б ы ни ылн степ н е и его вершин: в нем и достаточно окра ы о язательно п ина л Проблема четыре р сить вершины каж о" р д сжат разным долям, дой доли в свой цвет. шивать можно не тол ех красок.
Как же гов у ворилось, раскра- р фа. Рассмотрим так только вершины г а б ( 417) , т. е. разбиения раскраски любой карты? Эта Достаточно ли четы е р х цветов для проблема имеет большую то ию, р . По некоторым сведени- шую исям, еще в 1840 г. о ней знал «доказательств» был ыло дано Кемпе в '1879 г., но ыла обнаружена не сразу. Ее нашел Хейвуд в 1890 г, а же доказал, что области любой карты можно раскрасить требуемым образом в пя тех пор проблему четырех красок, как ее назвали, долго не удавалось решить. Недавно американские ма- Рис.
4.! 7 тематики Аппель и Ха акен доказали гипотезу о четырех красках, с ' е т 1щ с венно ис случаи, когда столь счисления, Это пе вы" м д а была решена при поматическая задача оказательство задачи т Ребует грозмоздко ся. Однако его и е ных расчетов, позто озтому здесь не приводит- о идеи поучительны, и мы их ассм Сначала несколько зам зам ". Н оторые области мозамечаний. Нек в которой могут схо ду со ой только в изо.
лированной точке, 4.18), но мы не буд днться сколько го удем считать их со е у дно областей (рис. уд соседними. Такие точки ь», т. е. окружить их о ь» .. ру областями, не отгорауг от друга областей с п отя ми В каждой точке й у у ~ход~жы не более е ново карты б д т ~мы о охр~~ив вет областей ели ее можно аск ета о ластей старой карты, получим !33 Рис.
4.19 допустимую раскраску последней. В дальнейшем будем рассматривать карты, в точках которых сходятся не более чем по три области. Двойственный граф. Границы областей карты — это плоский граф. Его верп1ипы — точки, где сходятся по три области, ребра — соединяющие их линии — общие границы двух областей. В каждой области выберем точку— ее центр, и центры соседних областей соединим А линиями, Получится плоск 1 1Г 1 кий граф, который назы'б х . вастся двойственным оп- 1 " ' Л редсленному выше (оба графа изображены на рис. ~/ 4.19).
Области двойствен/ ного графа окружают вершины графа границ карты. Так как нас интеРис. 4,19 ресуют карты, в вершинах графа границ которых сходятся по три области, в двойственном графе каждан область — треугольник (криволинейный, причем внешняя область тожв'ограничена треугольником). Таким образом, двойственный граф определяет так называемую триангуляцию плоскости. Заметим еще, что он всегда связен.
Раскрашивать области карты все равно, что вершины двойственного графа, Поэтому проблему четырех красок формулируют еще и так: можно ли раскрасить вершины любого связного плоского графа в четыре цвета так, чтобы соседние вершины были окрашены в разные цвета/ / / / / / / / !! 1! ! ( 1 1 134 Редуцируемые конфигурации. Конфигурация — это связный полграф плоского графа, порожденный некоторым подмножеством его вершин (обычно небольшим).
Остальные вершины и ребра графа составляют внешнюю часть конфигурации. Конфигурацию можно «стянуть», т. е. исключить из нее некоторые вершины, не имеющие инцидентных ребер из внешней части, отождествить некоторые другие и соединить оставшиеся вершины ребра- и с ми, может быть, по- з иному. Внешняя часть л присоединяется к соответствующим вершинам новой конфигурации, причем требуется, чтобы полученный граф л Э оказался плоским, Если исходный граф был Рис «.20 триангуляцией, то новый граф тоже должен быть триангуляцией, Конфигурация называется редуцируемой, если из правильной раскраски вершин нового графа можно получить правильную раскраску исходного графа.
Это определение зависит от мощности средств редукции. Приведем примеры редуцируемых конфигураций. Вершина степени 3 (рис. 4.20). Исключив внутреннюю вершину, снова получим триангуляцию (тот же рисунок). Если редуцированный граф можно раскрасить а с в четыре цвета, то оставшиеся вершины конфигурации окрашены в три из них. Поэтому остается свободный цвет для ок- А раски исключительной г Р Е 3 вершины. Вершина степени 4 (рис. 4,21).
Исключив внутреннюю вершину н соединив ребром какую-либо пару противоположных вершин, получим триангуляцию (тот же рисунок). Пусть редуцированный граф раскрашен в четыре цвета. Если оставшиеся вершины конфигурации окрашены только в три цвета, то есть свободный цвет для исключенной верши- ны. Пусть они окрашены в четыре цвета. Перекрасим вершину С в цвет 1, соседние с ней вершины цвета 1 — в цвет 3, соседние с ними вершины цвета 3 — в цвет 1 и т. д. Этом процесс мы называем цепной перекраской цветов 1 и 3, начинающейся с вершины С. Когда он окончится, редуцированный граф будет правильно раскрашен.
Если при этом цвет вершины А не изменится, то цвет 3 окажется свободным для окраски вершины Е, исключенной в редуцированном графе. В противном случае.в редуцированном графе есть цепь из вершин цветов 1 и 3, соединяющая вершины А и С. Однако тогда в нем нет цепи вершин цветов 2 и 4, соединяющей вершины В и В, кроме ребра ВВ, но последнее не принадлежит внешней части конфигурации и потому при перекрасках цветов не определяет соседства. Применим цепную перекраску цветов 2 и 4, начинающуюся с вершины В. Новая окраска будет иметь только один дефект; вершины В и В окрашены одинаково. Однако в исходном графе они не соседние.
Вместе с тем при перекраске освободился цвет 4 для окраски вершины Е. Четыре вершины сте- пени 5, расположенные, Г как показано на рис. 4.22. Исключим эти вершины, в отождествим вершины В и Р, а вершины В и 0 со!т и единим ребром. С точно- стью до пер енумерации И цветов и симметрии отно- сительно конфигурации д Ю возможны раскраски осРиа. 4.22 тавшихся вершин последней, приведенные в строках табл, 4.3 и соответствующие шести графам рис. 4.23. Все они, кроме первой, продолжаются внутрь конфигурации (рис. 4.23). При первой раскраске либо вершины В и В не связаны цепью вершин цветов 2 и 3, либо вершины А и С не связаны цепью вершин цветов 1 и 4.
Применив соответствующие цепные перекраски, перейдем к последним двум раскраскам рис. 4.23, которые тоже можно продолжить внутрь конфигурации. Минимальный нераскрашиваемый граф, Если гипотеза о четырех красках неверна, то существует граф, вершины которого нельзя раскрасить в четыре цвета, имеющий минимальное число вершин среди всех таких графов. В этом гра- !36 Таблица 4.3 Л ( В г ! 4 1 4 3 3 3 3 3 4 4 1 4 1 2 2 2 2 2 4 В Е г В г С Е Е г В г я С Е В г г С Е 1 Риа, 4,23 137 фе нет никакой редуцируемой конфигурации, иначе редуцированный граф тоже нельзя было бы раскраснть в четыре цвета, а ведь у него меньше вершин. Таким образом, если в любом связном плоском графе с достаточно большим количеством вершнн есть редуцируемая конфигурация, то гипотеза о четырех красках справедлива !доказано, что все связные плоские графы с небольшим числом вершин раскрасить можно). Плоские графы вообще заслуживают изучения.
Порождение плоских графов. Будем рассматривать пло- ские графы вместе с их отображениями на плоскость. Таким образом, в дальнейшем вершины плоского графа — это точки на плоскости, а ребра — соединяющие их линии. Концами ребер являются инцидентные им вершины, другие вершины им не принадлежат, и они не имеют других общих точек, кроме общих инцидентных вершин. Можно считать, что ребра являются ломаными линиями, состоящими из, конечного числа отрезков прямых. Остальные точки плоскости разбиты графом на некоторое количество связных областей. Минимальный связный граф состоит из единственной вершины и не имеет ребер, Любые точки плоскости, не совпадающие с вершиной этого графа, можно соединить ломаной линией, не проходящей через нее. Значит, у минимального графа на плоскости одна область (речь идет о связных областях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
