Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В этом случае эмме«т а «азиэог ж одра. гли им, причем обратны о заеме«т едино юыи (и обозначается мрез а '). (!ц) ( ') ' = о Долазатглжпюо. Аргументация аналогична использованной в доказательстве теоремы 2.1 2 О Если кольцо содержит еднннпу, то можно произвольное число раз сложнть ее саму с собой нл» вычесть нз себя самой, получив, таким образом, бесконечную в обе стороны последовательность (1 1-1 1-0 — (1-1-1) — 1,0, 1, 1.1 1, 1.1.1 г.1, Эти элементы называются целыми кольца и нногда абоэначаютсз проста как О, щ1, ~2, щд, щ4, .... Кольцо может садерхсагь как конечное, так к бесконечное множество целмх.
Число целых в кольце с единицей называется его характеристикой. Если характеристика кольца равна конечному целому числу у, то пелые этого кольца могут быть записаны в виде множества ( 1, 1 1. 1, 1 .!. 1 Ц 1, ...), илн в более простом, используемом для обычных целых чисел, обозначении (1, 2, 3, ..., у — 1, 0). Это подмножество является подгруппой адвнтивной группы кольца; на саьгом деле зто цнклнческая подгруппа, порождаемая элементом 1 Следовательно, если харантеристнка кольца — конечное целое числа, то сложение в кольце является сложеннем па модулю у. Еслн харзктернстнкз бесконечна. то целые калька складываются нак целые чксла Следовательно, каждое кольца й садержят подмножес~во, которое ведет себя относн- с единице а р тельна слаженна лнба хак 2, лнбо нак .Дц). д У.
). В ействитель- востн она ведет с д т себя так же н относительно умножения, так как если а н 3 — конечные суммы единицы комьца, то а (1=3+3 ф... 4-3, где справа стоит а ко копий элемента 3. Так как сложенне целых в Н ведет себя подобно сложенню в 2 или в 7((ц), то тек же ведет льна И каждый элемент а может быть возведен В пределах кольца в целочисленную степ аную степень;и пресса означает произведение т ка- пай элементаа. Если кольцо содержит единицу н число целых кольца является прас * етым, то иногда для упрощенна степеннык сумм оказывается полезной следующая теорема Теорема 2.2.4. Пусть р простое, и «усть г( — кольцо с р целыми.
Тог а лл лю . Т д д бога лолажительиого целою числа т и любых змментое и и 3 из д (а щ ру = а'" щ р'", и, по «епосредс«теплому обобще ию, ( ~ а,) .= ~ (а, ) для любого множества элементов а, ил Я Доказотельстео. Согласно бннамиальному разложенню, Р р (ащд) = Е~',)а(М«-, где , ) интерпретирует () ется в Е как сумма такого числа папий едк- няцы кольца. Нацомнкм, что в кольце с р целыми арнфметина целых совпадает с арифметикой по модулю р Следовательно, можно записать («~3) —," Я',.
Я-'(- 3) -' где двойные скобка вокруг (, ) обоаначают а чают вычисление по мог дулю р. Теперь заметам, что й = —:-' представляет собой целое число и р простое След ле оватачьна, зна- ( Р'1 менатель делит (р — 1)! в области целмх чясел, н ( кратно р. »а 2.2 Пы» 42 Гл. 2 В д а э ув алмазу Таким образам, «, ~ = 0 (тоб р) для всех 1 = 1, 2... р — 1. Итак, (а ~ р)' = а 1- (ж(Г)г. Наконец, либо р = 2 « — () = р, так чта (~())« = ~)Р, либо р нече«но н (~()) = ж()». Таким образом, (атр)' .а»~~' и для т = 1 теорема доказана Возведем теперь последнее равенство в р.ю степень, ((а т р)«) — (а ж !)""р, и опять воспользуемся утверждением теоремы при т - 1; (а ж р)ы †.а«' ~ !)»д Повторна зто т — 1 раз, получаем (ц -'- !))« = а« ~ р« , ч о ааершает доказатыьство те реми. О Если в кольце с единицей элемент имеет обратный, т«гон пазы.
еаетси обри«пилил '). Множество всех обратимых элементоа нояыга замкнут относительно умножения, так как, если а и Ь обратимы, то с . аЬ имеет обратный элемент, равный с ' .= Ь 'а '. Теорема 2.2.3. (г) Отлтителэло умножения е кольце и«аж«сыт обратимых зл«мента» кольца образует группу.
(11) Если с — - иЬ и с — абратимып злемелгл катца, то а иметп лрааый обратный, а Ь вЂ” левый обрат«аж (оИ) Если с = аЬ и а яе имеет аравта обратно«о или Ь не «иеет левого обрат«ага, та с пе являетсл обратииыи з»«ментам. Дотюательстеа. Упражнение, ГЧ Многие примеры «ален известны. Наиример: 1. Множества в.ех вещественных чисел относительно обычных сложения н умножении образует «оммутативное кольцо с единицей. Каждый ненулевой элемент кольца является обратимым.
2. Множество 2 всех целмх чисел (полажнтельнме, отрицательные н нуль) относительно абычнык сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей Единственнымн обратимымн зле»тентами кольца служат ж(. 3. Множества всех (пил) матриц с аещественными элементами Пр относительна матричного сложения и матричного у«ноже«и» аб. разует неиомиутативное кольцо с единицей. Единицей служит единичная (лхл).матрица. Обратимыми элементами пальца яв. лаются все аевырожденные ма»рины 4. Множество всех (их п).матриц, злементамн «отарых являются целые числа, относитслыю матричного сложения и матрич. наго умножения образует неконмутатнвное «олька с единицей.
3 Множества всех маогочленае от х с эсществеаными козффи. цнентами относительно сложения я умножения многачленое образует коммутатнвное кольца с единицей. Единаиея'кольца являтся много»лен нулеаой степени Л (х) = !. 2.3. Поля Грубо говоря, абелевой группой является множество, в кото. ром можно складывать» н «вычитать», а кольцо — множество, в котором можно «скяадына«ьм «вычитать и «умножать» Более сильной математической структурой, называемой полем, является множестао, в котором можно «склад«и г », емчитать, «умна жать» н дслитьк Онределемне 2.3.1.
Палки «азыаается ьгиожества «даумя опе- рациями — сложением и умножением, .— которые удовлетворяют слетующнм аксиомам: 1 Множество образует абелеэу группу по сложению. 2 Поле замнаута относительна умножения «множество не. нулевых элементов образует абелену группу по умножению. 3. Дистрибутивный закон (а+ Ы с = ос+ Ьс выполняется лля любых а, Ь и с из паля. Единичный элемент отиасителыю сложении принята называть нулеи н обозначать через О, аддитивный обратный к элементу а обозначать вша, единичный элемент относительна умножени» на- зывать единицей н обозначать 1, мультипликативный обратнмй к элеиенгу а обозначать а '. Под вычитанием (и — Ц понимается а т ( — Ь); под делением (аПН понимается Ь 'и.
Следующие арамеры полей щироко известны: 1. я: множество вещественаых чисел. 2. С: множество комплексных чисел 3. О: множество рациональных чисел. Все эти ноля содержат бесконечное число элементов. Имеется чнаго других ке столь широко известных полей с бесконечным числом элементов. Одно яз таких полей описывается очень просто н известно как поле О (1) комплексных раииональных чисел Оно дается определением (т(!) .= (а + !Ь), 40 Гж 2 Вмд е з еатр уп юг вру гэ П О~О 1 О~о о Это поле известно как 6Р (2). Никаких других палей с лвумя элементами ве существует (за исключением, конечно, нзоморфвых копий «оля 6Р (2)). Конечные паля можно описывать с помощью таблиц сложения и умножения.
Вычитание и деление однозначно определяются таблицами сложения и умножения, Позже изучим конечные поле детально. Сейчас мм приведем еще трн примера Поле 6Р (3) = (О, 1, 2) с операциями +(0 1 г ° (о 1 г а(0 1 г е Ге е а 1 1 2 0 1,0 3 2 г гп1 21о21 Поле ОР (4) = ',О, 1, 2, 3) с операциями о1гз Г 0 012 1 1032 2 2301 33210 Звметьте, что а ВР (4) умножение не есть умножение по мо. дулю 4, а сложение не есть сложение па модулю 4. Поле 6Г (5) — (О, 1, 2, 3, 4) с опера«нами Г 01214 ОЕО00 0123 оге33 03102 00321 где а н Ь вЂ” рациональные числа, а сложение и умножение определяются так иге, нак для комплексных чисел.
При таком опреде. ленни множество (3 (1) уловлетворяет определению 2.31 н, следовательно, является полем. Имеются ханже паля с конечным числом элементов, и мы будем имн также пользоваться. Псле с 4 элемептамн, если оно су. ществует, называется комсчлмл полем илн «олем Гп Га и обозначается ОР (7). Чю представляет собой нанменьпгее поле) Опо обязано содержать нулевой элемент н единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно дл» задания поля, есле сложение и уыно. жение определить таблицами Зто примеры очень малых полей Мы найдем приченеиня и для значительно больших волей, таких как 6Р (2м -1- 1). Для произвольного поля, как бесконечного, таи н конечного, применимы почти все известные алгоритмы вычислений.
Зто проис- ходит потому, что большинство процедур, используемых а полях вещественнмх и комплексных чисел, зависит только от даваемой определением 2 3.1 формальной структуры поля н не аавнсит от частных харантернстик конкретного воля В произвольном пале Р имеется даже преобразование Фурье: У = Б мм ь й =- О,, п — '1, 1 О где м — корень степени и из ел«нише а «оле Г, з ч и У -- векторы длины н над нолем Р Преобразование Фурье длины и в поле Р существует тогда н только тогда, когда поле содержит корень степени в из единицы Если «реобраэование Фурье существует, то оно ведет себя ажидаеммч образом. В частности, должно су.
шествовать н обрапюе «реобразоаание Фурье, и должна впво 3- няться теорема о свертке, так как если просмотреть доказатель- ства «тик свойств, то можно увидеть, что о поле Р не делается никаких предположений, за исключечнем того, что оно является даваемой определением 2.3.1 формальной структурой. Аналогично, двумерное преобразование Фурье в поле Р— " — 1 Ь' = О, , и' — 1, Д' = О, ..., — 1, 3 †3 -0 —,..., и супгесгвует, если в пале Р имеется элемент м порядка л' н эле. мент р порядка пС Если таких элементов в поле нет, то указанное преобразование не существует. Например, в поле 6Р (5) порядок элемента 2 равен 4. Следо. вательно, в поле 6Г (5) существует 4.точечное преобразование Фурье Р .= 22 2«оь Д = О, 1, 2, 3, 1=-О н двумерное (дхд) преобразование Фурье 1 3 ~ 2«» 211"о1,1-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
