Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1311.1 1=1,..., Такая форма вычислений экономит умножения, поскольку второй член зависит только ат ли ега не надо перевычислять для каждого 1, а третий член зависит только от 1 и его не надо пере- вычислять для каждого 1. Полное число умножений, необходимых для такога вычисления матрицы С, равна (112) (т и -(-(112) л (1 -1. т), а полное число сложений равна (312) л1т -(- -(- (т -1.(л(2 — 1)(1 ф т).
Для матриц большого размера это Гл. !, йзеж «е !.2. И исльзммааз ба приз заюрап зобо 4000 з с р ю ар зараз»зз Фуры !ооон юао ППФ ю Гг Куза-"т !0240 4024 БПФ-ш р а Няаогр дз !ОООЙ гааа НПФ- Гзгч Ну» б у ерз — К баю а гаоах !аоз 40 22.2 9!.б зд Рас. ! !. Сззьщию. 4« + ьж Фур . СЗ щ . р ер«с ю и пери* д умер х любит и ир 024. составляет приыерно половину числа умножений, необходимых в прямом алгоритме.
Последний пример ивляется хорошим поводом для предостережения относительно ючностн вычислений. Несмотря на то что число уыноженнй уменыпаегсв, описанамй алгарйтм более об этом сп чувсгвите.чен к погрешностям округления, если не позабот а тнться о этом специально. Однако можно получить почтя такую же точность, как н в прямом алгоритме, если на промежуточных шагах вычислений ввести соответствующие масштабные множители. Вопрос о точности вмчнслений практически всегда встает при оценке быстрого алгоритма. хотя мы обычно будем им пренебрегать. н Иногда при уменьшении числа операций уменьшается и цог шасть вычислений, поскольку уменьшается число источников ре этих намек.
В других алгоритмах, хати число источников помех вычисления уменьшается, ответ может быть сталь чувствительным к одному и.чи нгскалькнм нз них, что общая погрешность вычислений увеличивается. Полыхая часть книги посвящена рассмотрении всего нескольких задач: задачам вычислении линейной свертки, циклической а свертка, многомерных линейной н циклической сверток, дн аго преобрюованиа Фурье, многомерного дискретного преоб зскрю зова Ф ния Фурье, решению теплицевых систем уравнений и нахож е- рзиию пути нз решетке. Некоторые из рассиатриваемых методов заслужнваютбалее широкого применения; особенно хороши алгоритмы чногочернога преобразования Фурье.
если взять на себя труд разобраться в наиболее эффективных из них. Для примера нэ рнс 1 1 приведено сраивение некоторых алгоритмов вычисления лвучсрнаго преобразования Фурье. При приближеяии к кои у сп иска повышение эффективности алгоритмов замедляется. Уменьшение числа умножений на одну ~очку вычислительной сетки на выходе от шести Ло четырех может показаться не очень сущест. асиным после того, как уже получено уменьшение от сорока до шести.
Но эю недальновнднаи ттгчка зрения Это дальнейшее улучшение может вполне окупить затраты времени на разработиу 'лгоритма при настроении больших систем Рнс. 1.1 содержит дру~ой важный урок. Вход таблицы, обозначенный кан гибридный ВПФ-алюритм Кули — Тьюки)Винограда, соответствует алгоритму вычисления двумерного (!ОООН 1000)- точечного преобразования Фурье, в котором на каждую тачку сетки на выходе требуется 40 вещественных умнонгений.
Этот пример может помочь развеять злополучный миф о »ом, что дис. кретное преабразовааие Фурье применимо талька тогда, когда длинз бчака равна степени двух. На самом деле возможность циф. раной обработки сигналов не ограничивается толька такими дл»- нами блоков, для многих значений длин блоков имеются корошие алгоритмы. 1.2. Испольэонпнне быстрых алгоритмов Сверхбалыпие интегральные скемы, называемые чипами, теперь стали доступными. Чип может содержать паридка 100000 логических элементов, и аозтому неудивительно, что теорию алгоритмов часто рассматрииают как способ аффективной организации этих элементов. Иногда амбар алгоритма позволяет существенна улучшить характеристики чипа. Конечао, нх можно также улучшить, увеличив размер чипа или повысив его быстра- действие; зтн вазможности более широко известны. Предположим, что некто придумал алгоритм вычисления преобразования Фурье, содержащий только пятую часть от числа опе. раций, входящих а другой алгоритм вычисления преобразования Фурье.
Тогда, используя этот азгарнтм, можно реализовать та. кое же улучшение характеристик чипа, которое полу!ветен при увеличении в пять раз его размера илн ею быстродействия. Для реализации улучшения конструктор чипа должен, однако, перенести архитектуру алгоритма в архитектуру чипа. Непродуманная конструкция мажет свести на нет это пренмупгество, уве. лнчивая, например, сложность индексации или поток вход-вы. код. Разработка оптимальных конструкций в эпоху больших интегральных схем иеюзмажна без понимания быстрых алгоритмов, описываемых в данной «инге. С первого взглядаможет показаться, что эти два направления— быстродействующие интегральные схемм и быстрые алгоритмы— конкурируют между собой.
Если можно построить достаточно большие и достаточно быстродействующие чипы, та вроде бы нет ничего страгцного в то». что используются неэффективные алга. ритмы. В аекоторык случаях ~акая точка зрения не вызывает сом- Гх Гл. 1. В ден е пеняй, но заведомо имеются случая, в которых можно высказать диаметрально противоположную то~ку зрення Балычке цифровые процессоры час~о сами создают потребность в разработке быстрых алгоритмов, так как раамерность решаемых на нях задач астет. Б ет лип ' е уд я процессорное время алгоритма, предназначенногосдля а растет.
решения некоторой задачи, аропарднонально л' нла л', несущественно при л, равном 3 яля 4, но пра и, равном 1000, это становятся «рнтичным р ассыагриваемые нами быстрые алгоритмы связаны с цнф. розой обработкой сигналов, я их прялажения столь же гнярокн, скол~ н прнложення самой цифровой обработки сигналов Тепе ь, когда стало практичным разрабзтызать изощренный алгоритм цнфровой обработки сигналов, который может быть реализован конструктивно посредством одного чипа, хотелось бы иметь возможность выбрать такой алгоритм, который оптнмиаир ет р ернстнки этого чипа. Но для большнх чипов зто невозможно акте уст хасделагь без дастаючно развитой теории В своем полном объеме такая теория существенно выхолиг за рамке яключеян о в данную кпягу материала Чтобы учесть все аспекты сложности.
надо рассматривать я такне нродвянугые разделы теорнн логяческнх схем и архитектуры компьютеров, как параллельное илн каноей. ерное исполнение. Для оценке алгоритма обычно используют число необходимых умножений н сложений Згн вычнслнтельные характеристнки почтя яс~ерпывают сложаасть устройства на уровне алгоритма На бэлее низком уровне оно оценивается ялощадыо чипа влн числом логическнк элементов на нем я временем, необходимым для провеления вычислений. Часто в качестве крятчрня качества схемы используется вронзведеняе времени ва плошадь. Мы не будем пытатьса аценввзть характеристики на этом уровне, гак как это выходит за рамки задач конструктора алгоритмов Актуальность рассматриваемых в данной книге вопросов нельзн оценить без понимания масппабав будущих пряложеняй цифровой обработнн снгналов В настоящее время мы не можем угадать Лаже размеры таких систем, но достаточно просто можно предвидеть прнложення, в котормх обьем необхаднмых вычислений будет на несколько порядков больше, чем тот объем, обработку которого может обеспечить современная технология.
Системы звуковой локаггт~н в последнее десятилетие стали почти полностью цифровыми Хата палоса частот, в которой оня работают, равна всего нескольким кнлогерпам, этя системы выполняют десятки миллноноа нлн сотня миллионов умноженнй в секунду и еще больше сложений Такие системы уже сейчас нуждаются в мощном цнфровэч оборудования, н стали обычными проекты, требующие еще более мощной цифровой техники. ЬХ И зол зоэанне Зв рмх р радиолокационные системы тоже становятся цяфроаычя, нг многие важные функции по-прежнему реализуются траднцнонной мякроволнавой вля аналоговой схемотехникой Для тога чтобы увндеть колоссальные потенциальные возможноств яспользовання цифровой обработки сягналоа в радиолокации. достаточно отче тить, что радиолокационные снстемы в прннцнпе очень и »к яа системы звуковой локацин,атлячэясь от нвх теч, по ясно шзу емая полоса частот в ~000 нли более раз больше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
