Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пространство л-последовательно. отей над р дает пример канечиомериого векторного пространства размерности л. 2.5 М Эн эая азгеер» 51 2.5. Матричная алгебра Р= А Рат ба„, Ра „ 50 Гл 2. Втдю* 5 Р У 5РУ Множества векгоРов (тм ч„, ч„) называетсЯ ги гта зависимым, селя существует множество скааярав (аь, а,), не все нз котрых раппы, таких что а,ч, 1 а,т,-)-... +а,ч„= О. Множеств векторов, не являюпгееся линейно зависимым, пазы. застоя линей а ягэагисимым Нн один вектор яэ линейно незван.
снлюго множества не может быть представлен как линейная ком бвнацвл остальных. Ззметнм, то нулевой вектор О не может принадлежзть линейно независимому множеству; каждое мно. жества, содержащее О, является линейно ззвксцмым Множества нз Д линейно незавнсвмыт векторов, порождающих линейное пространство, называется базисом етого простравства. Мепгяы матрнчвой алгебры обычно научаются то.цжо для полей вацественвых н комплексных чисел, хоти большинство операция справедлнво в произвольном лоле (а иногда даже в проиавольнам кольце).
Онределенне 22Е1. (лхт).матрицей А над полем Г называется прямоугольная таблица, состоящая из и строк и т столб. иов к содержэщаа пт элементов ят поля Г: ам ам ... а, А= " ' =(ип). а„, а„, ... а, Если и = т, то матрица А называется квадратной. Две (лх пг).матрицы А н В над полем Г можно складывать по оравилу ам+ Ьм а„т.дм,., а, +Ь, ! А, В.— а„,-)-Ь„, а„, ' Ь„, ...
а„+ Ь„ Всякую (пхт)-матрацу А можно умножнть на элемент Р поля по правилу Всякую ((х п).чатрвцу А можно умножить на (яхт)-матряпу В, получив в результате (1х т)-матркцу С по правилу г=1, ..., 1, с, — х, имььг, /=1,..., лг Множество элементов ио для которых номер строкн совпадает с номером столбца, называется ггагиай диагональю, (нхп)-матрица, все элементы главной диагоналя которой равны единице, а остальные элементы равны нулю, нззываетсячдин чнай матра. цей размера и я обозначается через ! Матрица, все элеменпг побочной димона и (элементы, для нндецсов которых 1 = п -1- + 1 — б которой равны единице. а остальные элементы равны нулю, называетс» обменной матрицей и обозначаетсн через 1 Отметим, что Р = 1. Примерами единичной и обменной матриц являютс» следующим (3 х 3).мвтряцы: 1 == О 1 О 1 =.
О 1 О Относительно введенного определения произведения и суммы матриц, как легко проверить. множество квадратных (и Х п)катр«ц бр эует ольио Это «о ьцо некоммутэтнвно, во обладает единнце», а нменно единичной (пх л)-мэтр»пей. Трансланиржанной к (яхт) матрнце А называется (тхп)-ма. гряда А, такая что агг -= ал. Таким образом, строками ма. г трины Аг служат столбаы матрицы А, а столбцамн матрицы Аг служат строки матрнюа А.
Легко провернть, что если С = АВ, то С = В'Аг Обратной н «вадратнод матрице А, если таковая существует, называется квадратная матрица А ,, такая что А 'А = АА ' = = 1. Как нетрудно провернть, множество всех абраг»мых «в»- дратных (ахи).матриц относительно операции умножения абра. зует группу. Следовательно, если матрица имеет обратную, то обратная единственна, так как в силу теоремы 2.!.2 это свойство выполняется в каждой группе, Матрица, нмеющан обратну з, называется негмраждгнпой; в протлвном случае ьгэтрнцз пазы. вается вырожденной. Пусть С = АВ.
Как следует вз ». (!П) тео. ремы 2.2 5, еслн хотя бы у одной из матриц А илн В нет обратной, то н у матрицы С нет обратной. Если матрицы А я В обратнчы, то С' — В 'А ', так как (В 'А ') С = 1 = С (В "А '). Определенна 2.5.2. Пусть поле Г задано. Для каждого п определитель квадратной (лх и)-матрицы А равен величине йе1(А), являющейся функцией нз множества всех (а х а)матриц над Г в поле Р. Функция де1(А) задается формулой йе1 (А) = 2 5~ „, ип аи ...аж, ГДЕ (м дл ..., 1„— ПЕРЕСтаНОВКа На МпажЕСтас ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ (1, 2, ..., л); П, равно Ф1, если перестановка содержит четное чнсла трансповнцнй, н — 1 в врат»евам случае, а сумин.
42 Гц 2. Вв дине езстрактнэю э пОру рованне ведется по всем перестановкам. 7'ракслазицией пазы. вается перестановка двух членов. Если матрица А' получается из матрицы А перестановкой двук строк, то каждую перестановку строк матрицы А', иолу гземую в результате четного (нечетного) числа транспоэнций, можно рассматривать «ак соответствующую перестановку строк ьгатрнцы А. Отсюда следует, что прн перестановке любых двух строк матрицы знак определителя меняется на протнвопояожный.
Аналогичные рассуждения поназывают, что если две строки матрацы равны, то определитель равен нулю. Следующая теорема, прнводнмая без доказательства, содержнт вытекающие непосредственно нв определения 2.5.2 свойства апре. делителя. Теорема 2лйй. (!) Если осе елемеклш некоторой строки квадратной матрицы ршкы кулю, то определитель млой матрицы равен нулю. (Н) Ояр делитель маприцы розе определителю тракспокиро. залкой матрицы. (Рй) Если дее строки тадраткой матрицы помекять мышами, та опоеделитель ломекягт злак. Еч) Если две строки риеки, то определител~ разек кума (т] Если осе элементы едкой строки матрицы умножить ки элемент поля с, то определител~ косой матрицы будет разек определшпелю искодкоа матрицы, умкстгепкому ка с. (н!) Если матрицы А и В отлиюгются толыго г-й строкой, то сумма их определителей риека олределшпеюо матрицы С, г я строка которой разно сумме ! х строк матриц А и В, а остальные строки равны аютшлюлшуюшим строкам матрицы А или В.
(чй) Если к злемекешм некоторой строки матрицы й раэ при. баеить шотштстеующие злемекты некоторой другой ее строки, та опредеюилель матрицы яе изменится. (т!!!) Определшпель матрицы отличен от нуля тшда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы.
Если в квадратной матрице удалить строку н столбец, содер. жащне элемент аи, то определитель оставшейся квадратной таблнще размера п — ! называешя минором элемента аи н обозна. чается через Мю. Алгебраическое дололкение, обозначаемое здесь через Сц, определяетсн равенством Си = ( — !)гегМгг. Из способа задания определителя матрицы следует, что алгебраическое дополнение элемента аи является козффнцнентом при аи в разложении определителя: йе!(А) = ~ агьСга.
«=\ эз Зто известна» формула Лапласа для разложення онределателей. формула разлшкення Лапласа лемнт в основе рекуррентного спо. сода вычисления определителей. Она дает выражение определи. теле (к х и) сштрицы через определители ((и — 1) х (л — !))катря ц Если аа заменить ва ать, то получитдл сумма й„' амС,ь, развал определнтелю новой матрицы, полученной из старой за. меной элементов г.й строки элементами !'й строки, этот определи тель равен нулю.
еслн ! чь г. Таким образом, )' йе1(А), г чь (, ~.ыСа = ~( г !. Поэтому если йе( (А) чь О, то матрица А имеет обратную, равную Если йе! (А) -. О, то обратной матрнцы не существует. Матрацу можно разбить на блокн по правилу: тле Ап, Аы, Ам н Ат, — меньшне матрицы, размеры которых очевидным образом дополняют друг друга до размеров неладной чатрниы А А нменно, число строк мэтрнцы Ап (нли Аа) плюс число строк матрнпы Аы,'илн Аы) равна числу строк матрицы А; аналогкчное утвержденне выполняется для числа столбцов.
Ма. трнцм можно перемножать ппблочно. А именно, если - 1-")!-'1 =,"-'за-'1 нС=АВ,то прн условии, что все размерм блоков выбраны корректно в том смысле, по все матричные прокзведеннв и суммы определены. Такое разложение может быть выведено как простое слецстаке аксиом ассоциатигтостн н днстрнбутнвпастн основного поля. Определенне 2.2.4. Пусть А = (аы! и  — (Ья ! — матрицы соответственно размерон )хд и 7 х Е.
Тогда крокешрожким про Ва Гл 2. В еле~ р кент алг Еэу 2 З Х тр» и я ' Ер иээедениеи матриц А и В. обозначаемым Ах В, называется матрица, содержащая 11 строк и КЕ столбцов, у которой на пере. сечении строки с номером (г — 1) У Ь ) и столбца с номером (й — 1) Е -г 1 стоит элемент с,г, ы = а,ьйго Кроиекеровское произведение представляет собой (1х К)-таб- лицУ, состоашУю нз (Ух Е).блоков, (4', Ц.й из «атоРых Раасн а,ьВ Непосредственна из определения вытекает, что кронекеровское произведение матриц некоммутативно, но ассоциативно: А х В чь В х А, (А х В) х С = А (В х С). Элементы матрицы Ах В те же, что и у матрицы В хА, на упаря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
