Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 11
Текст из файла (страница 11)
дочены по.другому. Очевидно также, что кроискеровснсе произведение дистрибутивно относительна обычваго сложения матриц. Наиболее нзвестнмм примером кронексровского произведения является зкгшнсс произэгдгиаг двух векторов. Предположим, что А н В сбс пр дете л ют собой з «торы.столбцы, скаже а = (а, п,)г и Ь = (Ьо ,,,, Ьг)г соответственно.
Тогда К вЂ” . =- Š— — 1, и ах Ьг является (! х 1)-матрицей, иа пересечении гсй с~роки и гсго столбца которой стокт элемен~ а,Ь,. Ово обозначается просто череа аЬг, так как в этом случае кровекеровскае произведеаие совпадает с обычным пронзвеленнем матриц. Следующая полезная теорема утверждает, что нронекеровское произведение произведений матрии равна матричному произведению кронскеравских произведений соответствующих матриц Теорема 2.2.2. Если есе матричные лроиттдеиия оиределелм, пю кроне«гровс«ос произведение удаелетзорлет расе«юлиу (А х В) (С х О) =- (АС) х (ВО). До«азательстш.
Пусть матрицы А, В, С и О имеют соответственно размеры 1хК, Ухй, КхМ н ЕхЯ. Так нак матрица Ах В содержит КЕ столбцов, а матрица СхО содержит КЕ строк, то матричное произведение (Ах В)(С х О) определено. Оно содержат 12 строк, которые мы занумеруем парами (4, 1), ям л столб. цов, которые мы занумеруем параМи (т, л). Элемент, стоящий на пересечении строки (1, /) и столбца (и, л), равен ~ пайпс„йы. ы Так «ак матрена АС содержит) строк и М столбцов, а матрица ВО содержит У строк н Е столбцов, то матрица (АС)х(ВО) также являетсз ()Ух КЕ)-матрнцей.
Стоящий на пересечении строки (4, 1) и столбца (т, и) элемент этой матриц» равен ~ а,ьсз й,' Ьнйт = 2,' ааЬт,с, йы. что н завершает доказательство. (2 (пхл).матрина, в «отарой аа = а, г, если г — 1-" г' .)К натывзетсп теплмйгеой (пхп) латрицей, Теплицева матрица имеет енд ас а~ а, ... а„ , аа а, а — 1 а г аю аз а ( аэ вдоль любой ес диагонали стоит адин и тат же элемент. Злелешшзрлыии отрацияли иад слгроками матрицы называются следующие действия: 1) перестановка двух произвольных строк; 2) )множение произвольной строки на ненулевой элемент пале; 3) замена произвольной строки на суиму ее самой н некоторого «р л б й другой' цтронн.
Каждвя элементарная операция над строками (ихпг)-матрниы А мажет быть выполнена путем левога умножения А на соотпецтвуюшнм образом подобранную так называемую элементарную (лх п)-матрицу Е. Элементарные матрицы а~ределяются нак следующие модификации единичной матрицы; о Кажтая элементарнан операция над строкамн обратима, и обратная операпия имеет такой же вид. Элементарные операггин пал строками иснольвуются цля прн.
веления матришя к стандартному виду. назынаемому канонкче. ским ступенчатым видом и определяемому следующим образом 1) велущий ненулевой элемент каждой ненулевой строки ра. вен едннпце; 2) все остальные элементы каждого столбца, солержащего такой ведущий элемент, раппы нул~а1 3) ведущий элемент любой строки находится правее любого ведущего элемента любой расположенной выше строки Нулевые строки расположены ниже всех ненулевых строк. % Гз.з.вед г»у суу Примером матрицы, приведенной к каноническому ступенчатому виду, янляется В ~о~ то' оо~ ~ оо, ~ссссо~) оосоос) Заметим, что нулевая строка расположена снизу н чта если удалить последнюю строку.
то все столбпы единичной гд х 3).матрицы появятся среди столбцов матрнцм, но в разбросанном виде В об. щеы случае еслн нмеетсн й ненулевых строк н па меньшей мере такое же количество столбцов, то матрица в кананнческам сту. пенчатом виде будет содержать все столбцы единичной М х й) матрацы, но в рзэбрасанном виде. Строки (пхм)-матрицы А над полем Р являются подмноже. ством векторов пространства Р , т е.
векторами с ы компонентами. Проспглаяспгзол строк матрнпы А называется множество всех лннеймых «амбннаппй строк матрицы А. Прострвн тво строк образует надпространство е Р Размерность пространства строк называетсв рангом маюрицы ло сщрокаи Авалогнчно, столбцы матрнпы А можно рассматривать квк множество венгеров в пространстве Рм векторов ел компанентамн. Прссщраяспмо столбцов матрнцы А определяется как множество всех .чняейных камбняа. цпй столбцов матрицы А, п размерность этого пространства на. зыааетсв раягом мищрицы по сюогбцам Множество векторов ч, таких чю Ач" — — О, называется пулевым пржтрсяаяюм матрицы А Нулевое пространство, очевпдно, явлввгся векторным полпространством пространства Р". В частности, нулевое простраястно матрицы А валяется ортогонвльным дополненнем про.
страиствз строк матрицы А, так кап нулевое пространство может быть оянсано квк множество всех векторов, ортогональвых ко всач векторам аространства строк матряцы. Теорема 2.5.В. Если дес мащрицьг А и А' переводятся друг з друга яе стороа последовательностью элгмьмтаряык операций я д строками, то ояи ииеюю одно и шо же прщюраястэо сырок Доюиательсжео. Каждая строка мэтрвцы А' является линей. ной комбинацией строк матрнпы А; следовательно, любая линей. нвя комбинация строк матрииы А' также является линейной «омбинвцкей строп матрицы А, н тем самым пространство строк матрнпы А содержит пространство строк матрвцы АЦ Но А может быть получена кз А' с помощью обратных операций, п, следовательно, пространство строк матрицы А' содержит прсстрааство строк матрнаы А Следовательно.
пространства строк матрнц А я А' равны. И Теорема 2.5П. Ес и матрицы А и А' сгязояы пос едоо юсль. яссжью элементарны» операций яад строками. то любое ляо. ме юзо ги ейяо лезагисимьи столбцов патрю)ы А язллеяю» также линейно яезависимыл з АС Доказамсгьсжзо. Теорема ачевпдна,для первой и второй элементарных операций, так что достаточно провести доназзтельство для единственной третьей операция. Итак, пусть А' почучается вз А прибавлением строки и, умноженной на элемент ноля к строке )).
Если в А' имеется некотарав линейная завнснмость столбцов, то она пряваднт н нулевой лннейнай комбинация сост. ветствуюгцих элементов строки а, которая поэтому рыкая не сказывается на строке )). Следовательно, это множество столбцов в А также линейно заввсвмо Теорема 2.5.5. Если й сырок (йхл).матрицы А лиягйяо яс.
жзисииы, гио мла матрица содержит й гияейяо ягзаеисимыг столбцов. Доказательство Пряветье)г матрицу А к каноническому сту. пенчатому виду А' Так как строка лнпейно независимы, та пн одна строка не буде~ пулевой. Следовательно, лля каждой строки найдется столбец, который в пересечения г этой строкой содержат единицу, в во всех остальных позициях — нуль Это множество из й столбцов матрнпы А' линейно незавнснмо, и, следовательно, по теореме 2.5.7 в матрице А это же множество столбцов также линейно незввпснмо.
П Теорема 2,5.9. Ранг матрицы по салакам ражи ее рангу по столбцом и оба разны размерам любой наибольшей квадратной лсдиатрицы, опрсделитеж комолой омгичеи от яу я (Эта велн чипа называется прОсто рая ом матрицы.) Доказаюгльстео Необходимо только доказать, что ранг иа. трнцы А по строкам равен размеру наибольшей нвадратной пад. матрнпы с отличным т нуля определителем. То же самое доказательство, прнмененное к транспоннрованной матрнце, тогда дает этот же результат для ранга матрацы по столбцам, п, таким образом, служнт доказательством равенства ранга по строкам рангу по столбцам. Подматрпцей матрицы А наэмвается матрица, получающаясв яз А удалением произвольного числа строк н столбцов.
Пусть Мв невырожденная квадратная подматрпца матрицы А наибольшего размера. так «ак м невырожденна, та, согласно п, (УГВ) теоремы 2.5 3, ее строкн линейно независимы, я, следовательно, этв же строки матрицы А должны быть линейно незввнснмы. Таким образом, ранг матрнпы А по строкам по ыеньшей мере столь же велик, сколь размер подматрпшс М.
ЗЗ Гз. 2 Веча е ас р «тм щгтву С другой стороны, выберем произвольное множество из Д ли. пейна независимых строк Согласно теореме 2 5.7, образованная этими строкамн матрипа содержит й линейно независачых столб. цов. Выбирая этн Д столбцов па рассматриваемых й строках, получаем подматрицу с ненулевым определителем. Следовательно, размер наибольшей квадратной невырождениой подчатрицы по меньшей мере столь же велик, сколь ранг матрицы А па строкам. Это завершает доказательство.
О 2.6. Кольцо целых чисел Цыме числа (положительные, отрицательные и нуль) образуют обманчиво простое математнчесхое множества. Ничего, «ажегся, не мажет быть более регулзрного и равномерного, чем целые числа, но присмотревшись пристальнее, можно увидеть сложные внутренние связи и модели этого множества Разумный нансгрук тор использует эти свойства множества гюлых чисел при построе«пи эффективных алгоритмов пифравой обработки сигналов.
Относительно обычных операций сложения и учважения целые числа образуют кольцо, которое принято обозначать У В кольце целых чисел вычитание возможно всегда, а деление не всегда. Огранвченаасть делени» является одной из причин, делающих копыто целых чисел столь интересной и богатое структурой Говорят, что целое число з делится на целое число г, или что г делит з, или что г является делителем з, если з = га для некгпорогс целого числа а. Этот факт записывается символом г (з, который читается г делит м. Если г н делит з, и делится нг з, тс г =. шз Действительно, г =- за в г = гЬ длн некоторых целых чисел а н Ь. Следовательно, г = гад и ад долпгно равна гьсп 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
