2_POSa (1040800), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Однако, такое аналитическое решение уравнение (5)отсутствует и приходится использовать некоторые приближенные способыоценки влияния этих окончаний.Рабочие окончания (насадки) принято подразделять на активные, пассивныеи нейтральные и в зависимости от вида насадки подбирать соответствующийметод расчета.Наиболеепросторассчитываютсяконцентраторы-инструментыспассивными насадками. Пассивная насадка имеет размеры и форму,Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198912исключающие существенные градиенты напряжений и перемещений, приводящиек собственным колебаниям этой насадки. Обычно пассивную насадкурассматривают как сосредоточенную массу, присоединенную к концентратору,причем длина насадки lH и ее максимальный поперечный размер yH , как обычнорекомендуется, должны удовлетворять условиям: lH < 0,05λ , yH < (11, − 1,2) D , гдеλ -длина волны в материале насадки при данной рабочей частоте, D - диаметрконцентратора в месте присоединения насадки.Если насадка выполнена в виде утолщения на конце волновода регулярнойформа то такой волновод, но нескольких больших размеров, укорачивают настолько, чтобы из снятого материала можно было получить выступ заданныхразмеров; если же на окончании концентратора должно быть сужение, то длинаконцентратора должна быть увеличена за счет "снятого" материала.
Наличиетаких насадок практически не сказывается на характере амплитуд смещений врегулярной части концентратора, однако амплитуда смещений на конце насадки,не зависимо от тогопредставляет ли насадкаутолщение или сужениеконцентратора, несколькоуменьшается (5).Рассмотримконцентратор регулярнойформы,длякоторогополученоаналитическоерешение,вчастностиРис.5известнарезонанснаячастота f 0 и резонансная длина l 0 (рис.5).
Пусть требуется, чтобы такойконцентратор имел рабочее окончание в виде скальпеля длиной lH . Пусть, дляопределенности, площадь поперечного сечения скальпеля FH меньше F, гдеF = πD2 / 4 . Кроме того, поскольку волновое уравнение продольных колебанийвходит лишь площадь поперечного сечения волновода концентратора (формапоперечного сечения может быть произвольной), то условно будем считатьскальпель "цилиндром" диаметром d H = 4 FH / π , т.е. площадь поперечногосечения такого цилиндра равна площади поперечного сечения скальпеля.
Дляпростоты будем считать, что площадь скальпеля постоянна.Метод пассивных насадок, как уже отмечалось, требует постоянства объемаконцентратора вблизи рабочего окончания. Пусть объем материала кольца VH 2(рис. 6) с внешним диаметров D, внутренним диаметром d H и толщиной lH 2 будетперераспределена так, что в результате будет образован цилиндр диаметром d H идлиной l H 1 , причем сумма l H 1 + lH 2 должна быть равна длине насадки (скальпеля)lH :Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198913lH =l H 1 +l H 2Из равенства VH 1 = VH 2 следует, чтоπ 2πdD − d H2 ) ⋅ lH 2 = H lH 1(44или после преобразований:d H2 ⎞⎛lH 1 = lH ⎜ 1 − 2 ⎟(22)⎝D ⎠Таким образом, данное соотношение позволяет определить, наскольконеобходимо удлинить или укоротить lH 1 концентратора, если приведенныйдиаметр этого рабочего окончания будет d H .
При этом предполагается, что егорезонансная частота практически не изменится. Реально это не так, и графики,отражающие погрешность метода пассивных насадок, представлены на рис.7, гдеиспользованы следующие безразмерные параметры: kl = lH / l0 ; kd = 1 − d H / D , R относительная погрешность определения 1-й резонансной частоты. Такжеизвестны нейтральные насадки, т.е.
насадки, размеры которых пренебрежимомалы, и их влиянием на колебательный режим можно пренебречь.Наиболее сложным случаем являетсяслучай расчета активной насадки, т.е. насадки,размеры которой таковы, что считать еесосредоточенной массой неправомерно, инеобходимо рассматривать ее колебания какколебания тела с распределенными параметрами.Если собственная резонансная частота такойнасадки может быть рассчитана отдельно отэтого концентратора, а ее собственная частотаравна резонансной частоте концентратора, то вместе стыковки насадки и концентратораРис.6.внутренне усилие равно нулю.Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198914Рис.72.3.4.
Определение собственных частот изгибных колебаний элементовУЗМИВ связи с расширением номенклатуры медицинского ультразвуковогоинструментария все чаще возникают проблемы расчета рабочих окончаний,совершающих изгибные колебания. Уравнение, описывающее малые изгибные(поперечные) колебания прямолинейного изотропного стержня, имеет вид [1]∂2 ⎡∂2 y ⎤∂2 yEJ x ( z ) 2 ⎥ + ρF ( z ) 2 = q( z , t ),(23)∂z 2 ⎢⎣∂z ⎦∂zгде J x - геометрический момент инерции поперечного сечения;y(z,t) - поперечное смещение z-го сечения в момент времени t;q(z,t) - внешняя нагрузка;При решении задачи на собственные значения q(z,t)=0, а решение уравнения(23) обычно ищется в видеy( z , t ) = Y ( z ) cos ωt(24)После подстановки (24) в (23) и преобразований получим″(25)[ EJ x ( z)Y ′′( z)] − ρF ( z)ω 2Y ( z) = 0Краевые условия.
В простейших случаях, когда край бруса свободен илижестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаютсяследующими соотношениями:Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198915а) коней стержня жестко закреплен; на таком конце прогиб y(z,t) (или его∂yамплитудное значение Y(z)) и угол поворота θ( z , t ) == Y ′( z ) cos ωt равны нулю,∂zт.е.∂yy = 0; (Y = 0);= 0; (Y ′ = 0) ;(26)∂z∂2 yб) конец стержня свободен; на таком конце изгибающий момент M = EJ x 2∂z∂3 yи поперечная сила Q = EJ x 3 равны нулю, следовательно∂z∂2 y∂3 y00(27)Yи=== 0 (Y ′′′ = 0);′′()∂ z2∂ z3в) конец стержня свободно оперт∂2 yy = 0; (Y = 0);= 0 (Y ′′ = 0)(28)∂ z2Если заданы свойства материала бруса (элемента УЗМИ), т.е. плотность ρ ,модуль Юнга E, а также размеры этого элемента, т.е. J x ( z ), F ( z ) , l - длинаэлемента, то задача определения собственной частоты ρ сводится к численномурешению дифференциального уравнения (25) для заданных граничных условий(26)-(28) и итерационному (например, методом бисекции) нахождениюсобственной частоты ρ .
Рассмотрим, как это выполняется в случаеF = const, J x = const , для которого существует аналитическое решениеуравнения (25).ЭлементУЗМИпостоянногопоперечногосечения.ТаккакF = const, J x = const , то уравнение (25) после деления на EJ x примет видY ( z ) − ρFρ2 / ( EJ x )Y ( z ) = 0(29)или( 4)Y ( z) − k 4Y ( z) = 0,(29)242где k = ρFρ / ( EJ x ) = (ρ / c / rx ) - радиус инерции поперечного сечения.Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (29а):S4 − k4 = 0.Решение этого уравнения: S1,2 = ± k ; S3,4 = ±ik .Тогда общее решение дифференциального уравнения (29а) будет выглядеть(4)так:~~~~Y ( z ) = C1e kz + C2 e − kz + C3 sin kz + C4 cos kz.Решение может быть также выражено через функции Крылова [1]Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198916Y ( z ) = C1 Ki ( kz ) + C2 K 2 ( kz ) + C3 K 3 ( kz ) + C4 K 4 ( kz ).Функции Крылова имеют вид:K1 ( x ) = (ch x + cos x ) / 2; K2 ( x ) = (sh x + sin x ),(30)K3 ( x ) = (ch x − cos x ) / 2; K4 ( x ) = (sh x − sin x ),и обладают рядом преимуществ.
Так, при аргументе x=0K1 (0) = 1, K2 (0) = 0, K3 (0) = 0, K4 (0) = 0,(31)а дифференцирование функций Крылова осуществляется простой круговойзаменой индексов,K4′( x ) = K3 ( x ); K3′( x ) = K2 ( x ); K2′( x ) = K1 ( x ); K1′( x ) = K2 ( x ).Найдем выражение для углов поворота θ( z ) , изгибающих моментов M(z),поперечной силы Q(z), учитывая, что θ( z ) = Y ′( z ), M ( z ) = EJ xY ′′, Q( z ) = EJ xY ′′′ ,тогдаY ( z ) = C1 K1 ( kz ) + C2 K2 ( kz ) + C3 K3 ( kz ) + C4 K4 ( kz );θ( z ) = k [C1 K4 ( kz ) + C2 K1 ( kz ) + C3 K2 ( kz ) + C4 K3 ( kz )];M ( z ) = k 2 EJ x [C1 K3 ( kz ) + C2 K4 ( kz ) + C3 K1 ( kz ) + C4 K2 ( kz )];(32)Q( z ) = k 3 EJ x [C1 K2 ( kz ) + C2 K3 ( kz ) + C3 K4 ( kz ) + C4 K2 ( kz )].Будем считать, что при z=0 заданы значения перемещений Y 0 , угловповорота θ 0 , момента M 0 и поперечной силы Q0 .
Выразим соответствующиезначения констант C1 − C 4 через Y0 , θ0 , M 0 , Q0 . Соотношения (32) при z=0, с учетомсвойств функций Крылова (31), примут видY0 = C1 ; θ0 = kC2 ; M 0 = k 2 EJ x C3 ; Q0 = k 3 EJ x C4 ,тогдаC1 = Y0 ; C2 = θ 0 / k ; C3 = M 0 / ( k 2 EJ x ); C4 = Q0 / ( k 3 EJ x ).Подставляя полученные для C1 − C 4 соотношения в уравнения (32) и переходяк матричной форме записи, имеемK2 ( kz )K3 ( kz ) K4 ( kz ) ⎞⎛ K1 ( kz )⎟ ⎛ Y0 ⎞⎜⎛ Y (z) ⎞KkzKkz()()23⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ kK4 ( kz )⎜K1 ( kz )⎜ θ( z ) ⎟ = ⎜kEJ xk 2 EJ x ⎟ ⎜ θ0 ⎟(33)⎜ M ( z )⎟ ⎜K2 ( kz ) ⎟ ⎜ M 0 ⎟2K1 ( kz )⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ k EJ x k3 ( kz ) kEJ x k4 ( kz )⎜k ⎟ ⎝ Q0 ⎠⎝ Q( z ) ⎠ ⎜ 22⎝ k EJ x K2 ( kz ) k EJ x K3 ( kz ) kK4 ( kz ) K1 ( kz ) ⎠илиW( z ) = A( z )W0 ,(33а)где W( z ) = (Y ( z ), θ( z ), M ( z ), Q( z )), - вектор-столбец;A - соответствующая матрица коэффициентов;Квашнин С.Е.
Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198917W0 = (Y0 , θ 0 , M 0 , Q0 ) - вектор-столбец.Допустим, необходимо определить собственную частоту изгибныхколебаний стоматологического инструмента, изображенного на рис.8а. Расчетнаясхема инструмента изображена на рис.8б. Изложенный выше (см.§ 2 гл.2)матричный метод расчета УЗМИ можно также использовать и при изгибныхколебаниях УЗМИ. Тогда при z=0 W01 = (0, 0, M 0 , Q0 ) , а при z = l1 + l2 + l3W01 = (Yk 3 , θ k 3 , 0, 0) .
Далее можно записать, чтоWk 3 = A 3 (l3 ) ⋅ A 2 (l2 ) ⋅ A1 (l1 ) ⋅ W01 ,где A i - матрица перехода для i-ого участка (i=1,2,3).ПричемπDi4πDi2J xi =; Fi =644илиWk3 = BџW01 ,где(34)B = П Ai (li ),3i =1или⎛ Yk 3 ⎞ ⎛ b11⎜ ⎟ ⎜⎜ θ k 3 ⎟ = ⎜ b21⎜ 0 ⎟ ⎜ b31⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎠ ⎝ b41b12b13b22b23b32b33b42b43b14 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎜ ⎟b24 ⎟ ⎜ 0 ⎟.b34 ⎟ ⎜ M 0 ⎟⎟⎜ ⎟b44 ⎠ ⎝ Q0 ⎠Причем полученная система уравнений имеет нетривиальное решение вслучае, когдаb33 ( p) b34 ( p)(35)det= 0.b43 ( p) b44 ( p)Квашнин С.Е. Теория, расчет и проектирование низкочастотных ультразвуковых медицинских инструментов, М.: Изд-во МГТУ, 198918Применяя,например,метод бисекции, задавая интервал[ p1 , p2 ] , находятзначение p, при которомуравнение (35) обращается вноль. Это значение и естьрезонанснаячастотаизгибных колебаний инструмента.
При этом следуетпомнить,чтокорнейРис. 8уравнения (35) бесконечноемножество, и учитывать его при задании интервала поиска корней витерационных методах.2.3.5. Потери энергии в УЗМИРассеяние энергии в УЗМИ определяется многими факторами, это преждевсего потери при электроакустическими преобразовании.При использовании в качестве ЭАП магнитострикторов часть энергии идетна джоулев нагрев обмотки магнитострикционного преобразователя, до 20%энергии - это потери на вихревые токи, которые растут пропорциональноквадрату частоты и приближенно могут быть определены из следующегосоотношения [4]:12ω e = (2hfBm ) ,(36)6ρгде ρ - удельное сопротивление материала; 2h - толщина пластинымагнитостриктора; Bm - амплитуда магнитной индукции.Значительная часть потерь энергии связана с магнитным гистерезисом.Потери на магнитный гистерезис в магнитострикторах приближенноопределяются соотношением [4]1,6ω h = ( η + αM α1,9 )( ΔM / 2) ,(37)где η и α - константы для данного материала; M d - постояннаясоставляющая намагниченности; ΔM - переменная составляющая намагниченности.При использовании в качестве ЭАП пьезоэлементов потери энергии связаныс диэлектрическими потерями, потерями при преобразовании энергииэлектрического поля в механические смещения (пьезоэлектрические потери) ипотерями на механический гистерезис.Квашнин С.Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
