Сахаров В.Л., Андреенко А.С. - Методы математической обработки электроэнцефалограмм (1034783), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эту величину такжеможно представить в виде средней частоты колебаний.NTcp = ( ∑ t i ) / N ,(4.2.17)i =11.2.где N – количество вершин волн;ti – время задержки между соседними волнами.Коэффициент периодичности процесса определяется следующим образом:производится измерение отклонений на коррелограмме каждого колебания от пика до пика;вычисляется средняя величина амплитуды колебания: N Acp = ∑ Ai / N , i =1 3.определяется половина от этой средней амплитуды, которая представляется как средняяамплитуда периодической составляющей на данной коррелограмме:AΠ = Acp / 2 ,4.(4.2.19)определяется разница между максимальным значением автокорреляционной функции (оноопределяется при нулевом значении времени τ =0) и вычисленным средним значением амплитудыпериодической составляющей, - эта разница отражает амплитуду случайной составляющей:Ac = AΦ(0) − AΠ ,5.(4.2.18)(4.2.20)вычисляется отношение средней амплитуды периодической составляющей к амплитудеслучайной составляющей.
Эта количественная величина характеризует выраженность периодики наданной ЭЭГ:K Π = AΠ / Ac ,(4.2.21)26Устойчивость периодики определяется по величине задержки, при которой амплитудапериодических колебаний на коррелограмме уменьшалась до 10% от максимальной.Фоновая ритмика ЭЭГ не является строго периодическим процессом, ее лишь приближенноможно так называть, т.е.
она ближе к квазипериодическому процессу. В этом случае периодика наавтокоррелограмме затухает и тем быстрее, чем процесс больше отличается от истиннопериодического. Вообще, на ЭЭГ можно отметить три вида процессов: непериодический илислучайный - типичным примером которого может служить ЭЭГ без доминирования какого-либоритма; квазипериодический, каким является, например альфа-активность в затылочных отделах;периодический, наблюдаемый при усваивании ритма в пробах фото- и фоностимуляции /11/.
(См.рис.12) Это дает возможность, анализируя автокорреляционную функцию, определить реакциюусваиваемости или активации ритма при наличии внешней периодической стимуляции, т.е. оценитьреактивную ЭЭГ. Также, как было отмечено выше, важным элементом анализа являетсяидентификация доминирующего ритма анализируемой ЭЭГ, что также позволительно сделатьблагодаря автокорреляционной функции.Поскольку, как было отмечено выше, при анализе ЭЭГ специалисту необходимо получатьинформацию о параметрах частотных ритмов, при рассмотрении автокорреляционной функции врамках обработки ЭЭГ было установлено, что для углубленного исследования сигнала с ее помощьюцелесообразно полосовыми фильтрами выделить основные частотные ритмы, а затем построить ихавтокоррелограммы и проанализировать каждый их них отдельно, используя описанные вышепараметры и алгоритмы представления автокорреляционной функции.Для цифровой обработки формула для нахождения автокорреляционной функции принимаетследующий вид:K xx (τ ) =где1 T −τ[∑ X (t ) * X (t + τ )] ,T − τ t =0(4.2.22)0 < τ < T - время, на которое сдвигается исходный сигнал;T - число дискретных точек исходного сигнала, соответствующих обрабатываемомувременному отрезку.Шаг для анализа считается равным 1.27Рис.
12. Пример корреляционных функцийНе менее важна при анализе ЭЭГ и кросскорреляционная функция /7/. Она позволяетопределить такие показатели, как степень связности, корреляции ЭЭГ двух разных точек мозга,выделить периодические составляющие, общие для обеих ЭЭГ, четко идентифицировать наличиеамплитудной или частотной асимметрий левого и правого полушария.
Для кросскорреляционнойфункции в соотношение (4.2.14) участвуют не один и тот же, а два процесса, т.е. выражение для нееимеет вид:∞1K xy (τ ) = lim[ X (t )Y (t + τ )dτ ] ,T →∞ T − τ ∫−∞(4.2.23)а в цифровом виде ее можно, соответственно, представить как:K xy (τ ) =1 T −τ[∑ X (t ) * Y (t + τ )] ,T − τ t =0(4.2.24)где 0 < τ < T .Данная функция дает представление о том, коррелированы или нет между собой выбранныеканалы, а также показывает степень связности их между собой. В случае наличия патологическогоочага, как правило, интересно знать в каких областях головного мозга он присутствует.
Анализируя28спектр методов, применяемых для обработки и представления ЭЭГ, следует отметить, что этуинформацию может дать картирование, но при этом учитываются только амплитудные показатели. Аэтого может оказаться мало. Кросскорреляционная функция, дополняя картирование, представляетинформацию о том, влияет ли ЭЭГ по какому-либо каналу на другие каналы. Причем оценивается этовлияние по параметрам частоты и фазы колебаний. Таким образом, в случае наличия патологическогоочага, распространяющегося сразу на несколько каналов, это четко будет видно на графикекросскорреляционной функции.Степень сходства или связи двух ЭЭГ при кросскорреляционном анализе определяетсявеличиной коэффициента кросскорреляции (Ккр).
Ее обычно нормируют к пределам от +1 до -1. Еслидве ЭЭГ являются точными копиями, то фактически кросскорреляционная функция представляетсобой автокорреляционную, и, соответственно, Ккр будет равен +1 (см. рис. 14). Если две ЭЭГ точносоответствуют друг другу, но все их элементы сдвинуты на 180 градусов, т.е. являютсяпротивофазными, то Ккр будет равен -1 (см. рис.13).
В тех случаях, когда два исследуемых процессазаключают в себе, кроме общих составляющих, также элементы, свойственные каждому из них вотдельности, величина связи, определяемая по Ккр, будет меньше единицы, и тем меньше, чем большенезависимых элементов или частот в двух исследуемых ЭЭГ (см. рис. 15). В зависимости отсоотношения фаз общих компонентов Ккр может иметь либо положительное, либо отрицательноезначение. Для анализа ЭЭГ с помощью кросскорреляции были введены следующие параметры:1.степень кросскорреляционной связи - отношение максимального значения кросскорреляционнойфункции к величине максимума автокорреляционной функции каждого из исследуемых процессовпри τ = 0 ;K c = KΦ (0) / AΦ (0) ,2.(4.2.25)временной сдвиг максимума кросскорреляционной функции - ВС, характеризующий временныеотношения двух процессов.
При этом отмечается степень корреляционной связи двух процессов как:слабая - Ккр менее 0.3; умеренная - от 0.3 до 0.5; значительная - от 0.5 до 0.7; высокая, или тесная - от0.7 до 0.9; очень высокая, или очень тесная - от 0.9 до 1 /10/.Большое значение при анализе ЭЭГ играет информация о степени связности отдельныхритмов, а также отдельных конкретных частот, причем пользователям желательно представлять ее вудобной и понятной форме. Конечно, можно использовать для этих целей кросскорреляционнуюфункцию, но при этом пришлось бы загромождать экран обилием графиков, что было бы не совсемудобно для врача.Оценивая мнения различных экспертов, здесь предлагается следующий подход к этойпроблеме.
Как было отмечено выше, степень сходства двух процессов оцениваются с помощью Ккр,соответственно, для оценки корреляции между подобными ритмами двух процессов можно,применив полосовые фильтры, выделить их и определить Ккр для каждого ритма отдельно, а затемпостроить график зависимости Ккр от частоты. Аналогично, то же можно проделать и с более узкимичастотными полосами. Для выделения нужной частотной полосы используется полосовой фильтрБаттерворта второго порядка /15, 16/. На рис.
16 приведем график зависимости Ккр от частоты сшагом 1 Гц в полосе от 1 до 35 Гц.Наибольшее распространение в электроэнцефалографии получил метод спектральногоанализа ЭЭГ. Этот метод обладает наибольшей информативностью при оценке составляющих ЭЭГ и,что самое главное, позволяет выявить такие стороны электрических процессов мозга, которыеостаются недоступными при обычной визуальной оценке ЭЭГ.Вычисление спектров мощности (спектрограмм - СГ) позволяет получить энергию каждой изчастотных составляющих данной ЭЭГ и оценить их соотношение. Это дает возможность сравниватьэлектрические процессы разных отделов коры на одном отрезке времени, проводить сравнениеспектров каждой данной области в динамике при повторных исследованиях, а также сравнивать вколичественных величинах ЭЭГ разных больных.29Спектр мощности иначе можно назвать спектральной плотностью рассматриваемогопроцесса.
Согласно /9/ спектральную плотность можно ввести как преобразование Фурье отавтокорреляционной функции. В общем случае спектральную плотность или спектр функции X(t)можно определить какS xx ( f ) =∞∫Kxx(τ ) * e − j 2πfτ dτ ,(4.2.26)−∞а взаимную спектральную плотность двух реализаций X(t) и Y(t) можно определить следующимобразом:S xy ( f ) =∞∫Kxy(τ ) * e − j 2πfτ dτ ,(4.2.27)−∞Рис.
13. Кросскорреляционная функция противофазных процессовРис.14. Кросскорреляционная функция слабо связанных процессов30Рис. 15. Кросскорреляционная функция сильносвязанных процессовРис. 16. График зависимости коэффициента кросскорреляции от частотыУчитывая, что в формулах (4.2.26) и (4.2.27) спектральные плотности определены для всехчастот, как положительных, так и отрицательных, а также тот факт, что корреляционные функции четные функции, то, очевидно, что спектры задаются только действительной частью преобразованияФурье, поэтому формулы (4.2.26) и (4.2.27) можно переписать в следующем виде:∞S xx ( f ) = 4 ∫ K xx (τ ) * cos 2πfτdτ ,(4.2.28)0∞S xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) * cos 2πfτdτ ,(4.2.29)0Мнимую часть преобразования Фурье полезно определить для дальнейшего нахожденияфункции фазового сдвига процессов, т.е.∞Q xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) * sin 2πfτdτ ,(4.2.30)θ xy ( f ) = arctg (Qxy ( f ) / S xy ( f )) ,(4.2.31)0Второй способ нахождения спектра - это непосредственное преобразование Фурье отрассматриваемого сигнала.
Для практического использования формулы (4.2.29) и (4.2.30) можнозаписать в следующем виде:TS xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) * cos 2πfτ ,(4.2.32)τ =0TQ xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) * sin 2πfτ ,(4.2.33)τ =0где T - величина временного интервала, взятого для анализа.Для корректного использования спектра мощности перед обработкой выбранного участканеобходимо вычесть постоянную составляющую и пропустить сигнал через какое-либосглаживающее окно, например Хэмминга, для устранения боковых лепестков и краевых эффектов/15/.Однако, в случае если нужно более высокое разрешение рассчитываемого спектра, товозможно пользоваться и формулами (4.2.29) и (4.2.30).
Это целесообразно также и еще по одной31причине. В данном случае предлагаемые методы обработки используются врачами, для которыхфизика процесса иногда играет даже большее значение, чем четкие математические расчеты. Вслучае обработки по формулам (4.2.32) и (4.2.33) в результате получается дискретное представлениепроцесса с каким-то выбранным шагом по частоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
