Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В связи с предыдущим обсуждением передаточную функцию фильтра Н(7„, 7н) следует определять только для пространственных частот, меньших чем Ув. Для иллюстрации мы применили передаточную функцию Н(1ню 7н) 1(сов п7н) (соз Б7 )11е (16) Заметим, что Н(0, 0)=1, т. е. пространственная частота (О, О) <проходите без изменений, На высоких частотах, например когда )".„или ~„равны Уе, передаточная функция Н(7"„, 1 ) — -О.
Таким образом, высокие частоты сильно подавляются. Мы возвели произве. денис косинусов в выбранную произвольно 16-ю степень, чтобы получить резкий спад передаточной функции от максимума, равного 1, к минимуму, равному О. Чтобы применить этот фильтр низких частот, мы просто выполнили операции, диктуемые второй строкой формулы (15); спектр Фурье дискретного изображения (рис. 8,3в) умножался на передаточную функцию, определяемую уравнением (16), и произведение подвергалось обратному преобразованию Фурье.
Результат показан на рис. 8,3г. Как и ожидалось, мы получили весьма расплывчатый вариант исходного изображения, настолько нерезкий, что вряд ли он может быть для чего-то полезен. Мы поступили так умышленно, чтобы сделать качественный эффект низкочастотной фильтрации более заметным; ясно, однако, что фильтрация низких частот, как и пространственное сглаживание, должна применяться осторожно. Можно получить меньшую расплывчатость, уменьшив показатель степени в формуле (16).
Рассмотрим теперь два примера фильтрации высоких частот. В первом примере мы применим передаточную функцию Н (Г'„, ~в) = 1,5 — 1(соз п1„) (соз п1'н)1в; (17) Гл. а. Анализ лис«транса«мни»с«частот Эта функция равна 0,5 в начале координат на плоскости частот, а в точках, где либо 17„1, либо 17 ! равны У», принимает значение 1,5.
Другими словами, этот фильтр подавляет низкие частоты (но не полностью) и «поднимает» высокие частоты. Произведение косинусов возводится в четвертую степень, и это означает, что перепад функции от низких частот к высоким не такой резкий, как в предыдущем примере. Результат применения этого фильтра к тому же изображению показан на рис. 8.3д. Здесь мы видим, что некоторые края, расплывчатые иа рис. 8.36, стали немного резче; в то же время шумовые выбросы в области пола стали несколько более заметны. Поскольку низкие частоты подавлены, темный треугольник клина стал теперь светлее и менее равномерным по интенсивности. В качестве второго примера высокочастотной фильтрации мы применим фильтр с передаточной функцией Н (1„, ~») = 2,0 — [(соз п~„) (соз п)и)1«.
(18) Эта функция отличается от предыдущей только добавлением константы 0,5; ее величина меняется от 1,0 в начале координат до 2,0 на высоких частотах. Поэтому операцию, выполняемую таким фильтром, естественно назвать «подчеркиванием высоких частот». Результат ее применения к тому же изображению показан на рис. 8.3е. Эта картинка больше похожа иа исходную, чем рис. 8.3д, так как низкие частоты здесь не подавлялись, и общее соотношение между светлыми и темными областями осталось поэтому неизменным.
Подчеркивание выразилось в том, что края стали несколько более заметными, но не чересчур сильно. На рис. 8.4а — 8.4е показана другая серия примеров, иллюстри. рующих результаты применения описанной последовательности операций к другому исходному изображению. На рис. 8.4а показана картинка с телевизионного монитора, изображающая вид через открытую дверь комнаты. Черные прямоугольники слева представляют собой наклеенные на стену куски черной бумаги, н мы, таким образом, можем сравнивать «реальные» обьекты, такие, как кресло, с «идеальными» черно-белыми объектами, имеющими прямолинейные границы. Рис. 8.46 Представляет собой дискретное изображение размером 120 х 120 элементов, а рис. 8.4в показывает логарифм модуля его спектра Фурье. Все края, заметные на дискретном изображении, ориентированы горизонтально или вертикально, и поэтому все существенные высокочастотные компоненты в спектре Фурье расположены вдоль осей 7„и 7».
На рис. 8.4г показан результат обработки дискретного изображения фильтром низких частот с передаточной функцией (16). Рис. 8.4д показывает результат применения высокочастотного фильтра, определяемого формулой (17). На этом изображении некоторые детали, такие, как книжный шкаф, выглядят немного более разборчиво. Заметим, что длинный черный прямоугольник имеет очень темную границу, окруженную очень Рис.
8.4а. Изобраасение на телевизионном мониторе. Рис. 8,46. Дискретное изображение. Гл. 8. Анализ нроааранснменных частом светлой границей. Это явление обычно рассматривается как чрезмерное подчеркивание. Оно возникает, когда фильтруемое изображение содержит резкие разрывы. И наконец, на рис. 8. 4е показан результат применения фильтра для подчеркивания высоких частот, определяемого формулой (18). Мы привели обе серии примеров лишь ради иллюстрации и не пытались оптимизировать зти фильтры в каком. либо смысле, Тем не менее мы должны подчеркнуть, что фильтрации с помощью преобразования Фурье не является унидерсальным средством для получения идеальных изображений. Скорее она представляет собой инструмент, применять который следует избиратедьно.
По мнению многих исследователей, этот метод больше всего подходит в тех случаях, когда имеют дело с повторяющимися нли периодическими изображениями, так как спектры фурье связаны с разложением в ряд по экспоненциальным функциям, которые сами являются периодическими. а 6 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОНЕНКА ь) До снх пор мы обсуждали некоторые эвристические методы сглаживания изображений или повышения их резкости. В этом разделе мы хотим дать формальную постановку задачи создания таких методов с тем, чтобы изложить классические результаты Винера и Колмогорова по теории оптимальной оценки. Основной вопрос будет заключаться в том, как сформулировать требования к пространственному фильтру, который очищал бы изображение от шума «оптимальным» образом. Наше изложение будет по необходимости кратким; читателя, желающего ознакомиться с предметом более подробно, мы отсылаем к литературе, и в первую очередь к работзм, перечисляемым в конце главы.
С самого начала будем считать, что функция интенсивности у (х, у) может быть представлена в виде суммы у(х, у)=з(х, у)+п(х, у), где э представляет собой идеальное изображение или сигнал, а и— чисто «шумовое» изображение. Задача заключается в оценке сигнала з по реальному изображению у. Для того чтобы задача оценки была хорошо определена, примем, что и з, и д представляют собой случайные функции интенсивности.
Выражаясь формально, мы будем считать, что для любого множества из ит точек на плоскости изображения вектор (з(х„у,),..., з(х, у„)) представляет собой векторную случайную величину со своим собственным законом распределения вероятностей. Пусть то же самое справедливо и для шу-' ма. Мы примем также, что среднее значение шума равно нулю, т. е. з) Этот раздел при первом чтении может быть пропущен. 83. Ср«дн«квадрлти«ная оценка Е (и (х, у)1=0 для всех точек (х, у).
Мы хотим построить пространственный фильтр с импульсной реакцией й(х, у) (или, что равносильно, с передаточной функцией Н Д„, ~ )), который на входе получал бы функцию у (х, у), а на выходе давал некоторую функцию з (х, у), которая была бы «наилучшим» приближением идеального изображения з (х, у), В качестве критерия оптимальности мы будем применять среднеквадратичную ошибку, и поэтому задача сводится к построению фильтра Н, минимизирующего величину Е [(з(х, у) — з(х, у))»].
Прежде чем переходить к задаче минимизации, нам придется изложить некоторые предварительные сведения и дать ряд определений. Пусть даны две случайные функции интенсивности з и з. Определим их функцию взаимной корреляции С,", (х, у) формулой С,," (х, у) = Е (в (и, о) з (и — х, о — у)]. Заметим, что между этим определением взаимной корреляции и предыдущим определением, введенным в связи с задачей сравнения с эталоном, существует сходство. В обоих случаях одна из функций смещается относительно другой и произведение соответственных значений «усредняется»: в предыдущем случае — суммированием по плоскости изображения, в настоящем случае — непосредственным вычислением математического ожидания. Если обе функции одинаковы (т.
е. з=-з), функция С„называется автокорреляционной функцией. Результат преобразования Фурье, приме-' ненного к автокорреляционной функции С„случайной функции интенсивности з, называется спектральной плотностью мощности функции з и будет обозначаться далее как Р„(г„, ~„). Этот термин правильно отражает смысл, поскольку можно показать, что интеграл функции Р„по любой области на плоскости пространствениык частот в точности равен доле мощности случайного изображения, содержащейся наэтих пространственных частотах. По определению Р««(]„, („) =)) С„(х, у)ехр( — 2п(((„х+(»у)] ахау. Аналогично взаимная спектральная плотность двух случайных функций интенсивности з и з представляет собой результат преобразования Фурье для функции взаимной корреляции Р, Я„, ~„) = ~ ~ С„- (х, у) ехр ( — 2п( (Г„х+ („у)] ах ау.
Гв. В. Анализ нросснранинвснних настое Согласно обратной теореме, О С„- (х, у) = ~ ~ Р,; Ц„, [в) ехр [2и(([„х+ ~„у)) с([„4в. Поэтому С В(0,0)ДЕ[в(и, о) в(и,о)) =)) Р„-(~„, [„) й[„с(~„. Ф Аналогично С„(0, 0) К Е [в' (и, о)) = ~ ~ Р„Ц„, [„) 4„4в С;;(О, 0) Е [в' (и, о)) = ) ) Р-, -, Ц„, [в) сс[„<Цв. Нам понадобится еще целый ряд результатов, прежде чем мы сможем заняться нашей задачей минимизации. Эти результаты уста- навливают соотношения мещду взаимными спектральными плот- ностями входных н выходных сигналов фильтра; нам они необхо- димы, чтобы оценить эффект от действия фильтра.
Мы приводим эти результаты без доказательства, но их легко получить непосред- ственно из определений (звездочка обозначает комплексно сопря- женные величины) Р„- и., ~,) =Н*(., ЦР„Ц.. и, Р- Ц„,7„)=НЦ„, 7„) Р' Ц„, [„), Р;; Ц„, [в) = НЦ„, 7„) Н* Ц„, [„) Р Ц„, 7в). Теперь, имея все эти результаты и пользуясь введенными ра- нее определениями, мы можем построить фильтр Н, дающий наилуч- шую оценку исходного сигнала в. Поскольку мы собираемся мини- мизировать математическое ожидание квадрата ошибки, напишем Е [(в (х, у) — в (х, у))') = = Е [в' (х, у)) — Е [в (х, у) в (х, у)) — Е [в (х, у) в (х, у)) + Е [д (х, у)) = С (О 0) С (О 0) С (О 0) + С в (О 0) = $) «Р-Ц- [,) — Р.уЦ. У вЂ” Р-.,Ц.
1,)+Р;ВЦ. [))4.сЧ, Используя наши соотношения для взаимных спектральных плот- ностей, получим (зависимость от )"-„и ~в не указывается) СО Е [(в (х, у) — в (х, у))'1 = ~ ~ [Є— Н'Р, — НР„"+ НН'Рв ') сЦ„4„. 8.Б. С еднекаадрагничная оценка Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом: Е ((з (х, у) — з (х У)) Ч = =~~~ „(и —,")(Н вЂ” —,") — — "+Р,1б~„б)„. При такой записи подынтегрального выражения становится оче- видным, что минимум среднеквадратичной ошибки имеет место, когда передаточная функция Н нашего фильтра принимает внд Рее ()к ге) (г га) Р (1„,) ) Последняя формула описывает знаменитый винеровский фильтр.
В общем случае довольно трудно дать винеровскому фильтру какую-то качественную интерпретацию в первую очередь потому, что нет такого рода простой интерпретации для Взаимной спект- ральной плотности. Ситуация становится значительно более при- емлемой, если мы предположим, что среднее значение шума равно нулю и он не коррелирован с сигналом, т. е. Е (з (() п (( — т)) = Е (з (Ф)) Е (и (( — т)) = О. В этом случае легко убедиться, что Р,у()„, 1„) = Р„()„, 1„) и р ('(„, 1„)= р,я„, 1„)+Р„„('4, ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
