Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

После этих предварительных замечаний сформулируем теорему о свертке и коротко докажем ее. Т е о р е м а о с в е р т к е. Если даны две функции д и ( со спектрами Фурье С и Т, то К(я»((х, у)) =К[ген(х, у)) К(((х,у)[=б((„, ( ) Т((„, („). Доказательство. По определению КЫ" ((х у)) = ( Ф = Л [1(л( н'и — з — нз"н) *Р! — зно.*~-ьзяи». н Ф Изменив порядок интегрирования, получим ,'Г[я»((х, у))= О О = ) ) у(а, р) ~ ) ) ((х — а, у — р)ехр[ — 2я(((„х+ + (ну)) йх Йу е(ад[) = Согласно теореме о сдвиге, О~ У (у» ( (х, у)[ = ~ ~ д (а, р) Т ((„, [„) ехр [ — 2п1 ((„а+ [ф)) да 4) = =б((„, 1„) Т([„, 1„), что и заВершает доказательство.

Из теоремы о свертке и формулы (13) можно получить следующую формулу для вычисления функции взаимной корреляции анк Пру«врон«авен»ау Фи»ьтрацир 329 изображения д и эталона Н Н (х, и) =й. Г (х, Р) = =т- «6(~.,Г,) т(~.,~„)) ('4) врк ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В предыдущем разделе мы показали, что взаимная корреляция может вычисляться на плоскости частот простым перемножением спектров.

В данном разделе нам хотелось бы рассмотреть несколько более детально, в чем заключается смысл перемножения спектров, и указать некоторые другие приложения. Введем сначала несколько терминов. Пусть у нас есть первоначальная входная функция интенсивности д; (х, у) со спектром Фурье 6; (Г», )у) и мы умножаем 6; на другую функцию Н (1'„, )у).

Функция Н определяет линейный пространственный фильтр и называется передаточной функцией этого фильтра. Произведение 6„(1„, )„) =-6; (г„, гу) Н (1„, гу) представляет собой спектр Фурье выходного сигнала фильтра. Выходная функция интенсивности я«(х, у) представляет собой результат обратного преобразования Фурье от функции 6„. Согласно теореме о свертке, й«(х, И) —.Т '«6,()„1„)) =- У «6~' (Г» ~у) Н (~~ 1 у)) и' » А (х Р) где й(х, у) =т "«Н(Г„, ~„)).

Выражение (14) представляет собой широко применяемый оператор, посредством которого метод преобразования Фурье используется для сравнения с эталоном. Хотя в этой формуле преобразование выполняется трижды, иногда это сделать проще, чем вычислять корреляцию непосредственно. Особенно это справедливо по отношению к изображениям в аналоговой форме, существующим в виде диапозитивов, поскольку преобразование Фурье и перемножение легко реализуются оптическими средствами. Заметим, что формула (14) дает величину взаимной корреляции в любой точке.

Другими словами, величины взаимной корреляции для всех положений эталона получаются с помощью единственной операции. Мы можем поэтому считать Не,(х, и) особой «функцией интенсивности», величина которой отображает степень соответствия между изображением и эталоном, смещенным в точку (х, у). По этой причине данную операцию часто предлагают в качестве средства для обнаружения «объекта» Т где-либо на изображении д. Гх. В. Анализ про«транств«нных частот Функция и (х, у) называется импульсной реакцией или функцией рассеивания точки.

Ясно, что в соотнетствии с теоремой о свертке фильтр может быть задан либо' его передаточной функцией Н, либо его импульсной реакцией й. Рассмотрим, в чем смысл функции Ь (х, у). Пусть нашей входной функцией я,(х, у) является дельта- функция Дирака 6(х, у). Применяя формулу (15), получим д, (х, у) = 6 (х, у)» й (х, у) = = ~ ~ Й (а, р) 6(х — а, у — р) йа ар = й (х, у). Таким образом, функция й (х, у) представляет собой реакцию фильтра на яркую световую точку.

Теорема о свертке позволяет нам интерпретировать процесс пространственной фильтрации двумя различными способами: выходной сигнал фильтра можно считать либо сверткой входного изображения и импульсной реакции фильтра, либо результатом обратного преобразования Фурье от произведения передаточной функции фильтра и спектра входного изображения.

Каждая из этих точек зрения может быть полезной в различных ситуациях. В предыдущем разделе, когда мы рассматривали сравнение с эталоном, было удобней использовать интерпретацию посредством свертки (т. е. на плоскости изображения); импульсная реакция соответствовала перевернутому эталону, а процесс фильтрации был эквивалентен вычислению функции взаимной корреляции. В данном разделе мы собираемся сделать упор на трактовку процесса пространственной фильтрации в плоскости частот. Прежде чем двигаться дальше, мы должны сказать несколько слов о «линейности» линейных пространственных фильтров.

Пусть мы имеем дело с произвольной фильтрующей операцией У, которая превращает входное изображение д в выходное изображение в1 (д). Операцию называют линейной, если для любой константы и и любых двух функций интенсивности а, и д, справедливо равенство еГ (ад,+д»)= — и.»'(д,)+.У (д,). Преобразование Фурье само по себе линейно; легко показать, что у'(иу1+у «=-и'гЫ+Т(у ). Используя это свойство и вторую строку формулы (15), нетрудно убедиться, что фильтры, которые мы рассматриваем, в самом деле линейны. Далее мы по-прежнему ограничим наше внимание линейными фильтрами. Смысл линейной пространственной фильтрации, видимо, лучше уяснить с помощью нескольких примеров. С этой целью рассмотрим и проиллюстрируем операции низкочастотной и высокочастотной пространственной фильтрации.

Фильтр низких частот характеризуется передаточной функцией Н (г„, ),), имеющей относительно малую величину для точек (~„, )„), удаленных от начала координат 8.4. Прастранстаснная фильтрация 331 на плоскости частот, н имеющей относительно большую величину для частот вблизи начала координат. Другими словами, фильтр низких частот подавляет высокие пространственные частоты н пропускает низкие.

Поскольку мы уже отмечали, что высокие пространственные частоты вызываются резкими краями на исходном изображении, следует ожидать, что фильтр низких частот будетсглаживать резкие края н, следовательно, давать арасплывчатые» нзоб. ражения. Процесс фильтрации низких частот, по существу, анало* гнчен операции пространственного сглаживания, обсуждавшейся в предыдущей главе. Фильтр высоких пространственных частот, напротив, характеризуется передаточной функцией, имеющей относительно большую величину для пространственных частот, удаленных от начала координат, и относительно малую величину для частот, близких к началу координат.

Другими словамн, фильтр высоких частот подавляет низкие частоты и пропускает высокие. Поскольку высокие пространственные частоты соответствуют резким краям, фильтр высоких частот подчеркивает края, и, следовательно, его действие аналогично пространственному дифференцированию.

В качестве примера рассмотрим последовательность изображений, показанную на рис. 8.3а — 8.3е. На рнс. 8,3а показана та же самая картинка с телевизионного монитора, которая была использована для иллюстраций в предыдущей главе. На рис. 8.3б снова показан дискретный вариант этого изображения размером 120х 120 элементов с квантованием интенсивности на 16 уровней от черного (нуль) до белого (15), На рис. 8.3в показан спектр Фурье дискретного изображения, Чтобы детали были ясней, мы воспроизвели логарифм модуля спектра; по случайным причинам большие значения здесь представлены черным. Заметим, что спектр имеет большую величину вдоль осей 1„и )ю Причиной этого служат соответственно вертикальные и горизонтальные края на исходном изображении, Подобно этому, наклонные края на исходном нзображеннн дают темные диагональные полосы в спектре, причем каждая нз полос перпендикулярна по крайней мере одному наклонному краю.

И наконец, заметим, что исходное изображение содержит большие области с приблизительно постоянной интенсивностью; поэтому спектр имеет значительную величину вблизи начала координат. Отвлечемся на короткое время от основной темы, чтобы сказать несколько слов о масштабе по осям 1'„ и 1а на рис. 8.3в. Единица частоты всегда обратна единице расстояния, используемой в плоскости изображения. Нам не приходилось измерять расстояние на плоскости изображения, н у нас нет какой-либо специальной единицы. Поскольку мы имеем дело с дискретными изображениями, примем в качестве такой единицы размер одного элемента изображения.

Тогда единицей пространственной частоты будет (элемент изображения) ', или, попросту говоря, число периодов на элемент изображения. Исходное аналоговое изображение рис. 8.3а было Рис, 8.3а. Изображение на телевизионном мониторе. Рис. 8,8б. Дискретное изображение. В.4. Прветранеревеннан фнеьтрацнн ззз квантовано по определению с интервалом в один элемент, и в результате получилось дискретное изображение (рис. 8.3б). Из теоремы отсчетов Шеннона мы знаем, что таяой интервал квантования позволяет точйо восстановить аналоговое изображение только в том случае, если оно ограничено по полосе частот и его пространственные частоты меньше величины в Уе периода на элемент изображения.

То же самое можно установить качественным рассуждением: наивысшая воспроизводимая пространственная частота в дискретном изображении соответствует последовательности попеременно черных и белых элементов, и такой сигнал как раз и дает пространственную частоту точно в Уе периода на элемент изображения. Таким образом, как с математической точки зрения, так и качественно наивысшая пространственная частота для рис. 8.3в равна Уе периода иа элемент, и, следовательно, частоты по осям ~„и Г' изменяются от — Уе до + Ув периода на элемент изображения. Теперь пропустим полученный спектр Фурье через фильтр низких частот.

Характеристики

Список файлов книги