Курс лекций (1027826), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Способы нахождения λ:

1. справочная величина

2. рассчитать

Наработка на отказ – среднее время наработки на отказ.

Два способа получения величины времени наработки на отказ:

1. статистически

2. по экспериментальным данным

- средний возраст жизни → ;

(t в нашем случае - - вероятность того, что человек доживет до предела жизни (58 лет))

T₁ = 1/ λ₁

T₂ = 1/ λ₂

ЛЕКЦИЯ №4.

На практике элементы, резервирующие друг друга, имеют одинаковые характеристики. Но бывают и случаи, когда элементы разные. Чаще всего, когда резервные элементы разные – это когда имеется структурное резервирование.

Найдем вероятность исправной работы системы. Будем считать, что имеет место экспоненциальное распределение.

Вероятность исправной работы параллельной системы.

Чтобы использовать вычислительные формулы, кроме графического изображения часто требуется дополнительное описание в виде возможных ограничений; одно из них заключается в том, как формулируется работоспособность системы.

Достаточно, чтобы работал хотя бы один элемент:

P_c = 1 – (1- P₁) (1 – P₂)

(1)

(2)

(3)

Если все элементы имеют одинаковые характеристики, то:

- время безотказной работы системы

Пример:

Считаем, что работают два двигателя в системе с резервированием. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 400 часов при условии, что интенсивность отказов λ = 0,0005 [1/час]. Двигатели работают и отказывают статистически независимо.

- вероятность исправной работы системы.

Среднее время наработки на отказ:

Топологически сложные системы.

Это такие системы, которые нельзя представить или разложить параллельно-последовательными цепочками.

Для невосстанавливаемых систем:

Система находится в работоспособном состоянии, если есть работоспособный путь от входа к выходу.

Мостиковые схемы интересны тем, что топологическая сложность в них чаще всего возникает, когда нет абсолютно надежного переключателя.

Если все элементы одинаковы, то:

Пример:

Определить среднее время наработки на отказ мостиковой системы с одинаковыми элементами:

Определить вероятность безотказной работы системы и среднее время наработки на отказ:

λ = 0,0005 1/час

t = 100

P (100) = 2e^-λ100 = 2e^-0,0005*100

P = 0,9999

T₀ = 49 / 60*0,0005 ≈ 1633 часа

Метод разложения сложной системы по ключевому элементу.

ЛЕКЦИЯ №5.

Переход от «треугольника» к «звезде» .

C

P_AB

P_A

P_B

A

B

B

A

P_AC

P_CB

P_CB

P_AC

P_AB

B

C

C

B

P_B

P_C

(1)

(2)

(3)

Эквивалентная схема – схема с характеристиками, равными характеристикам в исходной схеме. Эквивалентный переход может быть только по одному, реже двум, параметрам.

Анализ показателей с использованием методов ТМО.

Рассматриваем ТОЛЬКО экспоненциальные законы.

Вероятностный граф состояния – изображение всех возможных состояний системы, при этом каждому состоянию соответствует вероятность нахождения системы в этом состоянии.

Состояние системы – величина (или несколько величин), которые однозначно характеризуют состояние системы (обозначается ξ):

ξ (t) { ξ₁ (t), ξ₂ (t)…}

- нормировочное условие

Переход из состояния в состояние происходит мгновенно. Промежуточных состояний не бывает. Одновременно система может находиться только в одном состоянии.

Необходимо указать стрелками возможные переходы из каждого состояния в другое. Затем производится разметка графа (над каждой стрелочкой нужно поставить интенсивность перехода).

Два и более событий одновременно произойти не могут, поэтому рассматриваем экспоненциальное распределение.

Чтобы получить какие-либо характеристики СМО, строится вероятностный граф состояний системы, и на основе него составляется система линейных дифференциальных уравнений – система Колмогорова. Если система имеет установившийся режим, а это значит, что вероятности состояния не зависят от времени, то можно перейти от системы дифференциальных уравнений к СЛАУ.

Мнемоническое правило составления дифференциальных уравнений.

Количество дифференциальных уравнений соответствует количеству состояний вероятностного графа. Для каждого состояния системы записывается одно дифференциальное уравнение. В левой части уравнения – один член – это производная от вероятности нахождения системы в рассматриваемом состоянии. В правой части записывается столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием в вероятностном графе. Каждый из этих членов в правой части представляет собой произведение интенсивности, записанный над стрелкой, на вероятность нахождения системы из того состояния, из которого выходит стрелка. Если стрелка входит в рассматриваемое состояние, то становится положительной, если выходит – отрицательной. И так для каждого состояния системы.

Пример.

Имеется система уравнений, описывающих состояние системы:

P₀ = - λ*P₀ (t) + μ* P₁ (t)

P₁ (t) = - λ*P₁ (t) - μ* P₁ (t) + λ*P₀ (t) + μ* P₂ (t) – для переходных процессов

и так далее…..

Постараемся перейти от системы дифференциальных уравнений к СЛАУ:

Система с такими параметрами обязательно входит в установившийся режим. В этом случае P₀, P₁….не зависят от времени → P₀^’ (t) = P₁^’ (t) = 0

Отсюда следует система уравнений:

0 = - λ*P₀ + μ* P₁

0 = - λ*P₁ - μ* P₁ + λ*P₀ + μ* P₂

……

Σ P_i = 1 – последнее уравнение в системе – это нормировочное урсловие

Существует так называемое «неограниченное восстановление». Это значит, что как только элемент или устройство вышло из строя, оно мгновенно попадает на восстановление → очередей быть не может.

Если возможно образование очередей, то это «ограниченное восстановление» - один обслуживающий аппарат (ОА).

ЛЕКЦИЯ №6.

Характеристики надежности, определяемые с помощью моделей ТМО.

λ – интенсивность

μ = 1/ T_{ремонта}

T = 1/ λ

Случай, когда возможно образование очередей на ремонт – называется ограниченное восстановление. Характеристики надежности будут существенно различаться.

T_{ремонта} – время ожидания в очереди до обслуживания.

T_{восстановл} = T_{ожидания} + T_{обслуживания}

P _i – вероятность нахождения системы в i-ом состоянии (вероятность того, что мы в любой момент времени застанем узел в i-ом состоянии).

Σ P_i = 1

1* P₁ + 2* P₂ + 3* P₃

τ – длина очереди

Система выходит из строя тогда, когда выходит из строя последний элемент.

Если неограниченное количество заявок:

P₀ = 1 – ρ (если обслуживание производится без очередей)

T₀ – среднее время нахождения элемента в системе в группе работоспособного состояния до первого выхода из работоспособного состояния.

В общем случае, вероятностные графы состояния имеют произвольный характер.

Как находить характеристику:

1. нарисовать вероятностный граф состояния

2. составить и решить систему уравнений

3. найти вероятность нахождения системы в каждом состоянии

4. определить характеристики надежности:

а) T₀ – наработка на отказ

б) T_ср – среднее время ремонта системы

в) T_ожид – среднее время ожидания ремонта

г) τ – средняя длина очереди

и т.д.

Метод свертывания вероятностного графа состояний по гиперплоскостям.

Для достаточного большого класса вероятностных графов может быть применен метод укрупнения состояния с тем, чтобы упростить вычисления. Погрешность будет составлять не более 10%, а чаще – и того меньше.

Погрешность в инженерных предварительных расчетах или в задачах оптимизационного характера считается хорошей, когда это погрешность одного знака (+/-). Этот метод предусматривает разложение сложного вероятностного графа на некоторые простые (графы цепочки размножения).

Будем считать, что дисциплина обслуживания с абсолютным приоритетом.

ξ { ξ₁ (t), ξ₂ (t)}

ξ₁ – количество заявок первого типа в системе

ξ₂ – количество заявок второго типа в системе

P_ij = P_{i *} P_j – вероятность того, что в системе находится ровно i элементов 1-го типа.

ЛЕКЦИЯ №7.

Этот метод нужен, чтобы получить эквивалентные характеристики (характеристики восстановления) с целью существенно сократить размеры вероятностных графов, что дает возможность достаточно просто анализировать системы с большим количеством состояний.

Снижение трудоемкости приводит к повышению погрешности.

Абсолютно точно, что будет до 20% и не более – сказать невозможно. Для каждой точки огромного пространства параметров проследить погрешность невозможно.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что погрешность не превышает 20%.

СМО – замкнута → как только генератор генерирует заявку, то он блокируется. Поэтому количество заявок – n.

За состояние системы принимаем такую величину, которая дает максимум информации и минимум затрат:

ξ { ξ₁ (t), ξ_n (t)}

Характеристики

Список файлов лекций