Конспект лекций по метрологии (1024349), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Рис.5.2.

Так, например, для задания нормального закона распределения необходимо знать два параметра - математическое ожидание и дисперсию. Если значения математического ожидания и дисперсии неизвестны до эксперимента, то их оценки определяют из выборки случайной величины и, следовательно, r равно 2.

При использовании критерия Пирсона гипотеза о том, что экспериментальные данные имеют теоретический закон распределения, принимается, если , где табличное значение распределения хи - квадрат с  степенями свободы и доверительной вероятностью, равной Р. В противном случае гипотеза отвергается.

Недостатком критерия Пирсона является то, что экспериментальные данные необходимо разбивать на группы, а поскольку строгого критерия, в соответствии с которым это можно было бы сделать нет, то возникает определенный субъективизм при применении этого критерия. В литературе по метрологии предлагаются различные критерии выбора числа интервалов m

и другие.

5.5.2. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

Достоинством данного критерия является то, что при его использовании можно обойтись без группировки результатов измерений.

В соответствии с данным критерием определяется величина

,

где - построенная по экспериментальным данным функция распределения,

- теоретическая функция распределения, на соответствие которой проверяются экспериментальные данные. При закон распределения величины стремится к закону распределения Колмогорова.

Рис.5.3.

Обозначим через уровень значимости, тогда можно записать⁴

Поскольку ряд

быстро сходится, то можно ограничится первым членом, т.е. записать

, или .

Если , то гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому отвергается. Если , то гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому принимается.

5.6. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ИСПРАВЛЕННЫХ⁵ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью их можно было использовать для построения математических моделей исследуемых явлений.

Процесс предварительной обработки состоит из нескольких этапов.

1. Вычисляем выборочные характеристики по формулам

где - экстремальный (наибольший или наименьший)

элемент последовательности наблюдений.

1. Исключаем грубые погрешности. Если для данного уровня значимости  выполняется условие t t_ (статистика t_ определяется из таблицы приложения 3), то наблюдение не исключается, если не выполняется, то наблюдение исключается, и вновь вычисляются оценки среднего и дисперсии для исправленной последовательности наблюдений. Процедура выполняется до тех пор, пока не выполнится условие t t_.

2. Проверяем гипотезу о нормальности распределения последовательности наблюдений. Предварительную проверку можно осуществить, воспользовавшись критерием

.

Для более точной проверки гипотезы о виде закона распределения следует воспользоваться либо критерием Пирсона, либо критерием Колмогорова.

5.7. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Полученные выше оценки для среднего и дисперсии называются точечными, так как они задаются в виде одного числа (точки на числовой оси). К сожалению, в силу того, что оценки строятся по выборкам конечного объема, они является случайными величинами и, следовательно, невозможно установить достаточно узкие пределы, за которые оценка не выходила бы с полной гарантией. Таки образом возникает задача определения по опытным данным таких пределов, из которых ошибка оценки не выходила бы с заданной вероятностью. Следовательно, речь идет о том, чтобы по результатам наблюдений найти такой случайный интервал (т.е. интервал со случайными концами), который с заданной вероятностью Р_ДОВ содержал бы неизвестное значение оцениваемого параметра.

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью Р_ДОВ накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику , называется доверительным интервалом для этой характеристики. Концы доверительного интервала называются доверительными границами.

ГОСТ дает следующее определение доверительных границ случайного отклонения результата наблюдений.

Верхняя и нижняя границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью случайное отклонение результата наблюдений.

5.7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Для определения доверительных интервалов оценки  необходимо знать ее закон распределения (плотность вероятности). Если закон распределения оценки известен, то для определения границ доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р_ДОВ следует воспользоваться следующим выражением

где Т1,Т2 - границы доверительного интервала.

W_ - плотность вероятности оценки .

Следует отметить, что в случае не симметричного распределения оценки  относительно его истинного значения m₁{}, определение доверительных границ будет неоднозначно, и необходимо принимать дополнительные меры для исключения неоднозначности.

В тех случаях когда закон распределения оценки  неизвестен, можно (если это удастся) ввести в рассмотрение новую случайную величину , связанную с , но обладающую той особенностью, что ее закон распределения известен. Определив доверительные границы для величин , можно, воспользовавшись связью между  и  найти доверительные границы для .

5.7.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим нормально распределенную последовательность случайных величин x_i, i=1,2,...,n. Среднее значение случайной величины x

будет распределено так же по нормальному закону с параметрами

Следовательно, для определения границ доверительного интервала с учетом симметрии нормального распределения и заданного значения доверительной вероятности получим выражение

. (3)

Значение Т2, при котором будет выполнятся последнее равенство, будет верхней границей доверительного интервала., нижняя граница в силу симметрии распределения будет равна Т1=-Т2. Для того, чтобы найти значение Т2, введем замену переменной

.

С учетом, сделанной замены выражение (3) примет вид

Последний интеграл подробно табулирован, и по заданному значению Р_ДОВ можно определить пользуясь таблицей, значение Z2. Z1 соответственно будет равно -Z2.

Фрагмент таблицы нормального распределения

При определенных значениях Z2, Z1 выражение для доверительного интервала, внутри которого с вероятностью Р_ДОВ могут лежать значения математического ожидания, будет иметь вид

5.7.3. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Закон распределения среднего значения в этом случае не известен. Однако, как было показано выше, для последовательности нормально распределенных случайных величин статистика

будет распределена по закону Стьюдента. Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то для определения верхней границы получим выражение

.

Распределение Стьюдента подробно табулировано. Для определения значения верхней границы доверительного интервала Т2 необходимо знать значение Р_ДОВ и число степеней свободы , равное n-1, где n объем выборки, по которой определяется среднее значение х.

Фрагмент таблицы распределения Стьюдента (приложение 4)

(4)

Следует отметить, что при технических расчетах значение Р_ДОВ обычно принимают равным 0,95. При определенном из (4) значении Т2 выражение для доверительного интервала примет вид

Характеристики

Список файлов лекций