Конспект лекций по метрологии (1024349), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Знаковая последовательность будет иметь вид

Число знаковых серий равно 13. Из таблицы (приложение 3) следует t_10;0,975=15, t_10;0,025=6, т.е. число серий, полученное в эксперименте, лежит внутри интервала (t_10;0,975, t_10;0,025] и гипотезу об отсутствии тренда можно принять.

Для компенсации значения систематической погрешности применяют следующие способы:

- Способ замещения. Данный способ состоит в замене измеряемой величины равновеликой ей мерой, значение которой известно.

Пример:

Производится определение массы тела m. После того, как равновесие весов достигнуто, на место тела m устанавливается набор гирь, уравновешивающий весы. Масса тела m будет равна массе набора гирь, т.е. систематическая погрешность, вызванная разной длиной плеч весов будет устранена.

- Компенсация влияющего фактора по знаку. В соответствии с данным способом измерения проводятся дважды так, чтобы влияющий фактор оказывал противоположное действие.

Пример:

На показание электроизмерительного прибора оказывает влияние внешнее магнитное поле, вызывающее систематическую погрешность. Выполним два замера, второй предварительно повернув прибор на 180⁰. Во втором измерении влияние внешнего поля изменит знак. Полусумма результатов наблюдения не будет содержать систематической погрешности.

- Способ противопоставления.

Пример:

Рассмотрим неравноплечие весы с длиной плеч l₁, l₂ (разная длина плеч приводит к систематической погрешности). Результат взвешивания можно записать в виде или , где m- взвешиваемая масса, m_Г- масса гирь. Поменяем местами чашки весов и вновь уравновесим весы, тогда , откуда получим .

4.2. СЛУЧАЙНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Основная особенность случайной погрешности заключается в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t_i.

4.2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Как было отмечено выше, процесс, описывающий случайное явление, нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого явления дает невоспроизводимый результат. Другими словами, любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных.

Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией (или реализацией, если речь идет о наблюдении конечной длительности). Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Следовательно, под реализацией случайного физического явления понимается один из возможных исходов случайного процесса.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные случайные процессы делятся на эргодические и неэргодические. Классификация нестационарных случайных процессов осуществляется по особенностям их нестационарности.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим величину

называемую смешанным моментом порядка

Если момент первого порядка и смешанный момент второго порядка , не зависят от времени t₁, то случайный процесс (t) называется стационарным в широком смысле или слабостационарным. Если смешанные моменты любого порядка не зависят от времени t₁ , то процесс называется стационарным в узком смысле или строго стационарным.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим k реализаций случайного процесса . Введем величины

Если они не зависят от номера реализации i , то случайный процесс называется эргодическим. Эргодическими могут быть только стационарные процессы

Эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. Стационарные случайные процессы, как правило, бывают эргодическими.

4.2.2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При первичной обработке результатов наблюдения ограничиваются достаточно узким кругом характеристик случайного процесса. К ним в первую очередь относятся:

1. Математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, среднеквадратическое отклонение .

2. Корреляционная функция, радиус корреляции, энергетический спектр.

3. Функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Математическое ожидание и дисперсия стационарной реализации случайного процесса характеризуют соответственно центр рассеяния и величину рассеяния данных (если иметь в виду измерения, то математическое ожидание можно соотнести с истинным значением измеряемой величины, а дисперсия характеризует степень возможного отклонения конкретного результата наблюдения от истинного значения). Математическое ожидание оценивается простым усреднением всех выборочных функций при произвольном фиксированном значении t₀

.

Дисперсия случайного процесса оценивается усреднением по всем выборочным функциям величины

.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Для математического ожидания случайной величины  применяют обозначения m₁{ }, m_ . Кроме того, если необходимо подчеркнуть характер усреднения, применяют обозначения

- при усреднении по множеству выборочных функций,

- при усреднении по одной выборочной функции (эргодический случайный процесс).

Случайная величина называется центрированной.

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

Дисперсия является центральным моментом второго порядка. Для дисперсии применяются следующие обозначения m₁{(- m_)²},

M₂{}, D, ².

некоррелированы³

4.2.3. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР

Корреляционная функция R(t₁,t₂) характеризует степень связи между двумя значениями случайного процесса в точках t₁ и t₂ в случае стационарного процесса R(t₁,t₂)=R(t₁-t₂)=R(). Следует отметить, что эта связь носит стохастический, а не детерминированный характер. Энергетический спектр G() является преобразованием Фурье от корреляционной функции, он характеризует распределение энергии случайного процесса по частоте.

СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

.

Для стационарного случайного процесса формула упрощается

.

Из последнего выражения следует, что

,

обозначим через R₀() нормированную функцию корреляции

Введем стандартизованную случайную величину

Рассмотрим неотрицательную величину

Откуда следует, что значение нормированной функции корреляции R₀() лежит в интервале

.

Корреляционная функция является симметричной функцией

Две случайные величины называются некоррелированными, если для них выполняется условие

.

Энергетический спектр случайного процесса G() в соответствии с теоремой Хинчина- Винера связан с функцией корреляцией соотношением

Энергетический спектр является неотрицательной функцией частоты. Энергетический спектр белого шума

4.2.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ, ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть  - случайная величина и x - произвольное действительное число. Вероятность того, что  примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины 

.

Пусть задана неотрицательная функция w(x), удовлетворяющая условию

.

Если выполняется условие

,

то w(х) называется плотностью вероятности случайной величины.

Преобразование Фурье от плотности вероятности называется характеристической функцией случайного процесса

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Характеристики

Список файлов лекций