КГ_3глава (1024106), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для решения систем линейных уравнений известно множество способов. Используем способ, основанный на вычислении определителей. Решение первой системы для коэффициентов А, В и С можно записать в виде

определители detA, detB и detC получаются заменой соответствующих столбцов в det столбцом свободных членов

Если главный определитель равен нулю, то это означает, что решение системы невозможно. Это может быть, например, тогда, когда все три точки (x₁, y₁), (x₂,, y₂) и (х₃, у₃) располагаются вдоль прямой линии (грань видна с торца). Однако в этом случае рисовать текстуру и не нужно. Вычислить оп­ределитель третьей степени можно, например, по "правилу Саррюса" [3]. Для этого справа нужно дописать первые два столбца, а затем сложить (вычесть) произведения по диагоналям:

Вычислим главный определитель

Преобразуем выражение так, чтобы уменьшить число умножений:

Аналогично вычисляются определители detA и detB. Определитель detC яв­ляется самым сложным из всех. Но его вычислять не обязательно. Запишем решение системы в следующем виде:

Таким же способом решаем систему уравнений для D,E и F.

Заметьте, что здесь главный определитель det совпадает с определителем первой системы уравнений — для А, В и С.

Наложение текстур в перспективной проекции сложнее, чем для аксономет­рической проекции. Рассмотрим рис. 3.27, на котором изображен текстурированный прямоугольник.

Рис. 3.27. Прямоугольник в различных проекциях

Прямоугольник в аксонометрической (параллельной) проекции всегда вы­глядит как параллелограмм, поскольку для этой проекции сохраняется па­раллельность прямых и отношение длин. В перспективной (центральной) проекции это уже не параллелограмм и не трапеция (в косоугольной — тра­пеция), поскольку параллельность и отношение длин здесь не сохраняются.

А что сохраняется? Как изображать плоские грани?

В этой книге мы рассматриваем проекции на плоскость. Для таких проекций

прямые линии остаются прямыми линиями, поэтому грани можно выводить как полигоны.

Здесь уместно вспомнить, как формируется изображение в некоторой проек­ции средствами компьютерной графики. Как уже нами было рассмотрено в главе 2, последовательность преобразований координат выглядит так:

Если считать, что точки текстуры должны соответствовать точкам на объек­те, то координаты текстуры должны связываться с мировыми координатами. Однако поскольку для аксонометрической проекции в цепочке от мировых координат до экранных все преобразования линейны, то вполне допустимо связать координаты текстуры с экранными координатами одним аффинным преобразованием.

Для перспективной проекции так делать нельзя. Преобразование координат из видовых координат в координаты плоскости проецирования не линейно. Поэтому экранные координаты вначале следует преобразовать в такие, кото­рые линейно связаны с мировыми — это могут быть, скажем, видовые. А за­тем видовые координаты (или непосредственно мировые) связать с коорди­натами текстуры аффинным преобразованием, используя, например, метод трех точек.

Рассмотрим, как можно выводить в перспективной проекции полигон с текстурой. Будем использовать алгоритм заполнения полигона горизонтальными линиями, уже рассмотренный нами. На рис. 3.28 изображена одна из горизонталей (АВ). Вершины полигона (1-2-3-4) здесь заданы экранными двумер­ными

координатами. Для краткости изложения по-

ложим, что экранные координаты совпадают с ко- Рис. 3.28. Полигон ординатами в плоскости проецирования.

В ходе вывода полигона для связи с текстурой будем вычислять видовые координаты произвольной точки (Р) этого полигона. Для этого будем использовать в ка­честве базовой такую операцию: по известным видовым координатам концов отрезка находим видовые координаты точки отрезка, заданной координатами в плоскости проецирования.

Дня определения видовых координат X, Y, Z точки А должны быть известны видовые координаты концов отрезка (1-2). Тогда справедливы соотношения:

Выберем пропорцию, связывающую координаты X и Z. Тогда

где

Теперь запишем для перспективной проекции соотношение между видовыми координатами произвольной точки и координатой Х„ в плоскости проециро­вания:

где Z_k — это координата камеры (точки схода лучей проектирования), Z_пл -координата плоскости проецирования. Перепишем это равенство так:

где

Теперь решим систему уравнений:

Решением системы будет:

после чего вычисляется X, например, по формуле Х= а + Zb. Для определе­ния координаты Y достаточно заменить везде X на Y. Здесь можно отметить, что вычисление видовых координат (X, Y, Z) соответствует обратному про­ективному преобразованию.

Найдя видовые координаты точки А, мы можем точно так же вычислить видовые координаты и для точки В, лежащей на отрезке (3-4). Аналогично вычисляются видовые координаты точки Р.

Следует отметить, что, несмотря на то, что для преобразования координат необходимо вычислять дробно-линейные выражения, цикл вычислений можно сделать достаточно простым подобно Инкрементным алгоритмам. Сделаете это самостоятельно в виде упражнения.

Для точного наложения текстур на поверхности используются и более сложные преобразования координат. Некоторые из них нами будут рассмотрены в главе 5.

Одна из проблем наложения текстур заключается в том, что преобразование растровых образцов (повороты, изменение размеров и тому подобное) приводят к ухудшению качества растров. Повороты растра добавляют ступенчатость (aliasing); увеличение размеров укрупняет пикселы, а уменьшение размеров растра приводит к потере многих пикселов образца текстуры, появляется муар. Для улучшения текстурованных изображений используют метод_; фильтрации (интерполяции) растров текстур [41, 47]. Также используются несколько образцов текстур для различных ракурсов показа (mipmaps) 4 компьютерная система во время отображения находит в памяти наиболее пригодный растровый образец.

Для использования текстур необходим достаточный объем памяти компьютера — количество растровых образцов может достигать десятков, сотен и более в зависимости от количества типов объектов и многообразия пространственных сцен. Чтобы как можно быстрее создавать изображение, необходимо сохранять текстуры в оперативной памяти.

Для экономии памяти, выделяемой для текстур, можно использовать блочное текстурирование. Текстура здесь уже не представляет всю грань целиком, лишь отдельный фрагмент, который циклически повторяется в грани. Эта напоминает процесс размножения рисунка кисти при закрашивании полиго­нов, рассмотренный нами в этом разделе

Разумеется, далеко не для всех объектов можно использовать такой способ отображения, однако, например, для образцов современной массовой "коро­бочной" архитектуры в этом плане имеются практически неограниченные возможности (рис. 3.29).

Современные видеоадаптеры оснащены графическими процессорами, кото­рые аппаратно поддерживают операции с текстурами.

Рис. 3.29. Блочное текстурирование

3.8. Фракталы

Фрактал можно определить как объект довольно сложной формы, получаю­щийся в результате выполнения простого итерационного цикла. Итерационность, рекурсивность обуславливают такие свойства фракталов, как самопо­добие— отдельные части похожи по форме на весь фрактал в целом. Латин­ское fractus означает "составленный из фрагментов". В 1975 году французский математик Бенуа Мандельброт издал книгу "The fractal Geometry of Nature". С того времени слово "фрактал" стало модным. Фракталом Мандельброта названа фигура, которая порождается очень про­стым циклом. Для создания этого фрактала необходимо для каждой точки изображения выполнить цикл итераций согласно формуле:

где к = 0, 1, ..., п. Величины z*— это комплексные числа, z_k= x_k + i y_k, при­чем стартовые значения х₀ и у₀ — это координаты точки изображения. Для каждой точки изображения итерации выполняются ограниченное количество раз (n) или до тех пор, пока модуль числа z_k не превышает 2. Модуль комплексного числа равен корню квадратному из х²+у². Для вычисления квадрата величины z* можно воспользоваться формулой z = (х + iy) (х + iy) -= (х² - у²) + i (2у), поскольку i² = -1. Цикл итераций для фрактала Мандель-

Характеристики

Список файлов книги