diskr_edit (1023554), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Определение 2.11. Отношение  называется транзитивным на множестве X, если для любых x, y, z  X из xy и y z следует x z.

Одновременное выполнение условий xy, y z, x z означает, что пара x, z принадлежит композиции  . Поэтому для транзитивности  необходимо и достаточно, чтобы множество   являлось подмножеством , т. е.    .

Пример 2.17.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3}. Отношение  транзитивно, т. к. наряду с парами x, y и y, z имеется пара x, z. Например, наряду с парами 1, 2, и 2, 3 имеется пара 1, 3.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение  (меньше или равно). Это отношение транзитивно, т.к. если x y и y z , то x z.

в) Пусть X – множество людей и  отношение "быть старше". Это отношение транзитивно, т.к. если x старше y и y старше z , то x старше z.

Определение 2.12. Отношение  называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X.

Пример 2.18.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 2, 2, 3, 3}. Отношение  является отношением эквивалентности.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение эквивалентности.

в) Пусть X – множество студентов и  отношение "учиться в одной группе". Это отношение эквивалентности.

Пусть  – отношение эквивалентности на множестве X.

Определение 2.13. Пусть  – отношение эквивалентности на множестве X и x X. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y  X, для которых xy. Класс эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [x].

Таким образом, [x] = {y X  xy}.

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X, т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X.

Пример 2.19.

а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [x] = {x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой x, y определяется соотношением:

[x, y] = .

Каждый класс эквивалентности, порожденный парой x, y, определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

Определение 2.14. Отношение  называется антисимметричным на множестве X, если для любых x, y  X из xy и y x следует x = y.

Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара x, y принадлежит одновременно  и ^–1, должно выполняться равенство x = y. Другими словами,   ^–1 состоит только из пар вида  x, x .

Пример 2.20.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3}. Отношение  антисимметрично.

Отношение  = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3} неантисимметрично. Например, 1, 2 , и 2, 1 , но 1 2.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение  (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т.к. если x  y, и y  x, то x = y.

Определение 2.15. Отношение  называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X. Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом , если это не приводит к недоразумениям.

Отношение, обратное отношению частичного порядка будет, очевидно, отношением частичного порядка.

Пример 2.21.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3}. Отношение  есть отношение частичного порядка.

б) Отношение А  В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.

в) Отношение делимости на множестве натуральных чисел есть отношение частичного порядка.

2.4. Функции. Основные понятия и определения

В математическом анализе принято следующее определение функции.

Переменная y называется функцией от переменной x, если по некоторому правилу или закону каждому значению x соответствует одно определенное значение y = f(x). Область изменения переменной x называется областью определения функции, а область изменения переменной y – областью значений функции. Если одному значению x соответствует несколько (и даже бесконечно много значений y), то функция называется многозначной. Впрочем, в курсе анализа функций действительных переменных избегают многозначных функций и рассматривают однозначные функции.

Рассмотрим другое определение функции с точки зрения отношений.

Определение 2.16. Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.

Такое свойство отношения называется однозначностью или функциональностью.

Пример 2.22.

а) {<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – функция.

б) {<x, y>: x, y  R, y = x²} – функция.

в) {<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – отношение, но не функция.

Определение 2.17. Если f – функция, то D_f – область определения, а R_f – область значений функции f.

Пример 2.23.

Для примера 2.22 а) D_f – {1, 3, 4, 5}; R_f – {2, 4, 6}.

Для примера 2.22 б) D_f = R_f = (–, ).

Каждому элементу x D_f функция ставит в соответствие единственный элемент y R_f. Это обозначается хорошо известной записью y = f(x). Элемент x называется аргументом функции или прообразом элемента y при функции f, а элемент y значением функции f на x или образом элемента x при f.

Итак, из всех отношений функции выделяются тем, что каждый элемент из области определения имеет единственный образ.

Определение 2.18. Если D_f = X и R_f = Y, то говорят, что функция f определена на X и принимает свои значения на Y, а f называют отображением множества X на Y (X  Y).

Определение 2.19. Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество D, и для любого x  D справедливо равенство f(x) = g(x).

Это определение не противоречит определению равенства функций как равенства множеств (ведь мы определили функцию как отношение, т. е. множество): множества f и g равны, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2.20. Функция (отображение) f называется сюръективной или просто сюръекцией, если ля любого элемента y Y существует элемент x  X, такой, что y = f(x).

Таким образом, каждая функция f является сюръективным отображением (сюръекцией) D_f  R_f.

Если f – сюръекция, а X и Y – конечные множества, то  .

Определение 2.21. Функция (отображение) f называется инъективной или просто инъекцией или взаимно однозначной, если из f(a) = f(b) следует a = b.

Определение 2.22. Функция (отображение) f называется биективной или просто биекцией, если она одновременно инъективна и сюръективна.

Если f – биекция, а X и Y – конечные множества, то = .

Определение 2.23. Если область значений функции D_f состоит из одного элемента, то f называется функцией-константой.

Пример 2.24.

а) f(x) = x² есть отображение множества действительных чисел на множество неотрицательных действительных чисел. Т.к. f(–a) = f(a), и a  –a, то эта функция не является инъекцией.

б) Для каждого x R = (– , ) функция f(x) = 5 – функция-константа. Она отображает множество R на множество {5}. Эта функция сюръективна, но не инъективна.

в) f(x) = 2x + 1 является инъекцией и биекцией, т.к. из 2x₁ +1 = 2x₂ +1 следует x₁ = x₂.

Определение 2.24. Функция, реализующая отображение X₁  X₂ ... X_n Y называется n-местной функцией.

Пример 2.25.

а) Сложение, вычитание, умножение и деление являются двуместными функциями на множестве R действительных чисел, т. е. функциями типа R²  R.

б) f(x, y) = – двуместная функция, реализующая отображение R  (R \ ) R. Эта функция не является инъекцией, т.к. f(1, 2) = f(2, 4).

в) Таблица выигрышей лотереи задает двуместную функцию, устанавливающую соответствие между парами из N² (N – множество натуральных чисел) и множеством выигрышей.

Поскольку функции являются бинарными отношениями, то можно находить обратные функции и применять операцию композиции. Композиция любых двух функций есть функция, но не для каждой функции f отношение f^–1 является функцией.

Пример 2.26.

а) f = {1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>} – функция.

Отношение f^–1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>} не является функцией.

б) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>} – функция.

g^-1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>} тоже функция.

Характеристики

Список файлов книги