Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

Контрольные вопросы к теме 1

1. Пусть a  А. Следует ли отсюда, что {a} А?

2. В каком случае А АВ?

3. Назовите множество, которое является подмножеством любого множества.

4. Может ли быть множество эквивалентно своему подмножеству?

5. Мощность какого множества больше: множества натуральных чисел или множества точек отрезка [0, 1]?

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

2.1. Отношения. Основные понятия и определения

Определение 2.1. Упорядоченной парой x, y называется совокупность двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Две упорядоченные пары x, y и u, v равны межу собой тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Пример 2.1.

a, b, 1, 2, x, 4 – упорядоченные пары.

Аналогично можно рассматривать тройки, четверки, n-ки элементов x₁, x₂, … x_n.

Определение 2.2. Прямым (или декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар, таких, что первый элемент каждой пары принадлежит множеству A, а второй – множеству B:

A  B = {a, b,  a А и b В}.

В общем случае прямым произведением n множеств А₁, А₂,… А_n называется множество А₁  А₂  … А_n, состоящее из упорядоченных наборов элементов a₁, a₂, …, a_n длины n, таких, что i- ый a_i принадлежит множеству А_i, a_i  А_i.

Пример 2.2.

Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}.

Тогда A  B = {1, 2, 1, 3,2, 2,2, 3}.

Пример 2.3.

Пусть А = {x 0  x  1} и B = {y 2  y  3}

Тогда A  B = { x, y , 0  x  1 и 2  y  3}.

Таким образом, множество A  B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2 и y = 3.

Французский математик и философ Декарт впервые предложил координатное представление точек плоскости. Это исторически первый пример прямого произведения.

Определение 2.3. Бинарным (или двуместным) отношением  называется множество упорядоченных пар.

Если пара x, y принадлежит , то это записывается следующим образом: x, y   или, что то же самое, x y.

Пример2.4.

 = {1, 1, 1, 2, 2, 3}

Аналогично можно определить n-местное отношение как множество упорядоченных n-ок.

Так как бинарное отношение – множество, то способы задания бинарного отношения такие же, как и способы задания множества (см. разд. 1.1). Бинарное отношение может быть задано перечислением упорядоченных пар или указанием общего свойства упорядоченных пар.

Пример 2.5.

1.  = {1, 2, 2, 1, 2, 3} – отношение задано перечислением упорядоченных пар;

2.  = {x, y x+ y = 7, x, y – действительные числа} – отношение задано указанием свойства x+ y = 7.

Кроме того, бинарное отношение может быть задано матрицей бинарного отношения. Пусть А = {a₁, a₂, …, a_n} – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n, элементы которой c_ij определяются следующим образом:

c_ij =

Пример 2.6.

А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение  тремя перечисленными способами.

1.  = {1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.

2.  = { a_i, a_j a_i < a_j; a_i, a_j  А} – отношение задано указанием свойства "меньше" на множестве А .

3. – отношение задано матрицей бинарного отношения C.

Пример 2.7.

Рассмотрим некоторые бинарные отношения.

1. Отношения на множестве натуральных чисел.

а) отношение  выполняется для пар 1, 2, 5, 5, но не выполняется для пары 4, 3;

б) отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар 3, 6, 7, 42, 21, 15, но не выполняется для пары 3, 28.

2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.

а) отношение "находиться на одинаковом расстоянии от точки (0, 0)" выполняется для точек (3, 4) и (–2, 21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);

б) отношение "быть симметричным относительно оси OY" выполняется для всех точек (x, y) и (–x, –y).

3. Отношения на множестве людей.

а) отношение "жить в одном городе";

б) отношение "учиться в одной группе";

в) отношение "быть старше".

Определение 2.4. Областью определения бинарного отношения  называется множество D_ = {x существует y, что x y}.

Определение 2.5. Областью значений бинарного отношения  называется множество R_ = {y существует x, что x y}.

Определение 2.6. Областью задания бинарного отношения  называется множество M_ = D_ R_.

Используя понятие прямого произведения, можно записать:

  D_  R_

Если D_ = R_ = A, то говорят, что бинарное отношение  задано на множестве A.

Пример 2.8.

Пусть  = {1, 3, 3, 3, 4, 2}.

Тогда D_ = {1, 3, 4}, R_ = {3, 2}, M_ = {1, 2, 3, 4}.

2.2. Операции над отношениями

Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы для отношений.

Пример 2.9.

₁ = {1, 2, 2, 3, 3, 4}.

₂ = {1, 2, 1, 3, 2, 4}.

₁  ₂ = {1, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 4}.

₁  ₂ = {1, 2}.

₁ \ ₂ = {2, 3, 3, 4}.

Пример 2.10.

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:

₁ – "  "; ₂ – " = "; ₃ – " < "; ₄ – "  "; ₅ – " > ".

Тогда

₁ = ₂  ₃;

₂ = ₁  ₄;

₃ = ₁ \ ₂;

₁ = ;

Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению  (обозначается  ^–1), если

 ^–1 = {x, y  y, x  }.

Пример 2.11.

 = {1, 2, 2, 3, 3, 4}.

 ^–1= {2, 1, 3, 2, 4, 3}.

Пример 2.12.

 = {x, y  x – y = 2, x, y  R}.

 ^–1 = {x, y  y, x  } =  ^–1 = {x, y y – x = 2, x, y  R} = {x, y – x + y = 2, x, y  R}.

Определение 2.8. Композицией двух отношений  и  называется отношение

  = {x, z существует такое y, что x, y   и  y, z }.

Пример 2.13.

 = {x, y y = sinx}.

 = {x, y y = x}.

  = {x, z существует такое y, что x, y   и  y, z } = {x, z существует такое y, что y = sinx и z = y} = {x, z  z = sinx}.

Определение композиции двух отношений соответствует определению сложной функции:

y = f(x), z = g(y)  z = g(f(x)).

Пример 2.14.

 = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 1}.

 = {1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3}.

Процесс нахождения   в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x, y, z. для каждой пары x, y   нужно рассмотреть все возможные пары  y, z  (табл. 2.1).

Таблица 2.1

x, y  	 y, z 	x, z  
1, 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 3 3, 1 3, 1	1, 2 1, 3 2, 2 3, 2 3, 3 1, 2 1, 3	1, 2 1, 3 1, 2 1, 2 1, 3 3, 2 3, 3

Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:

  = {1, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 3}.

2.3. Свойства отношений

Определение 2.9. Отношение  называется рефлексивным на множестве X, если для любого x X выполняется x x.

Из определения следует, что всякий элемент  x, x   .

Пример 2.15.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 3}. Отношение  рефлексивно. Если X – конечное множество, то главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение рефлексивно, т.к. каждое число равно самому себе.

в) Пусть X – множество людей и  отношение "жить в одном городе". Это отношение рефлексивно, т.к. каждый живет в одном городе сам с собой.

Определение 2.10. Отношение  называется симметричным на множестве X, если для любых x, y  X из xy следует y x.

Очевидно, что  симметрично тогда и только тогда, когда  = ^–1.

Пример 2.16.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и  = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 1, 3, 3}. Отношение  симметрично. Если X – конечное множество, то матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и  отношение равенства. Это отношение симметрично, т.к. если x равно y, то и y равно x.

в) Пусть X – множество студентов и  отношение "учиться в одной группе". Это отношение симметрично, т.к. если x учится в одной группе с y, то и y учится в одной группе с x.

Характеристики

Список файлов книги