diskr_edit (1023554), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рис. 1.3

Очевидно, что n₁+n₂+n₃ = (n₁+n₂) +(n₂+n₃) – n₂, что и доказывает формулу ().

Формула (1.1) справедлива и для случая, если множества A и B не пересекаются. В этом случае

АB = А + B .

Пусть n = 3 и A, B и С – три пересекающихся множества. В этом случае справедливо следующее соотношение:

АB С= А + B + C – АB – АC – BC + АB C . (1.2)

Из рис. 1.4 видим, что

АB С= n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆+n₇;

А = n₁+n₂+n₄+n₅;

B = n₂+n₃+n₅+n₆;

С=n₄+n₅+n₆+n₇;

АB = n₂+n₅;

АC = n₄+n₅;

BC = n₅+n₆;

АB C = n₅.

Рис. 1.4

Очевидно, что

n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆+n₇ =(n₁+n₂+n₄+n₅) + (n₂+n₃+n₅+n₆) +(n₄+n₅+n₆+n₇) – (n₂+n₅) – (n₄+n₅) – (n₅+n₆) + n₅,

что и доказывает формулу (1.2).

Формула (1.2) справедлива и для случая, если множества A, B и С попарно не пересекаются. В этом случае

АB С= А + B + C .

В общем случае мощность объединения n множеств определяется по формуле:

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n– (А₁ А₂+ А₁ А₃+ … +А_n–1А_n)+ АB C + (А₁ А₂  А₃ + … + А_n–2А_n–1А_n) – … + (–1)^{n – 1} А₁А₂ …А_n. (1.3)

Эта формула выводится индукцией по n, [3].

Если множества А_i попарно не пересекаются, т.е. А_i А_j = , i  j, то получим частный случай формулы (1.3):

А₁ А₂ …А_n= А₁+А₂+…+ А_n.

В общем случае справедливо неравенство

А₁ А₂ …А_n А₁+А₂+…+ А_n.

Понятие эквивалентности годится и для бесконечных множеств. Пусть, например, A = {1, 2, 3, …, n,…}, B = {– 1, –2, …, –n, …}. Тогда A  B. Взаимно однозначное соответствие устанавливается по правилу: элементу n A соответствует элемент – n B, т.е. n  – n.

Пример 1.18.

A = {1, 2, 3, …, n,…}, B = {2, 4 …, 2n, …}. Тогда A  B. Взаимно однозначное соответствие устанавливается по правилу: n  2 n.

Пример 1.19.

A = {1, 2, 3, …, n,…} – множество натуральных чисел, B = {…, –n, …– 2, –1, 0, 1, 2, …, n, …} – множество всех целых чисел.

Перепишем множество B следующим образом:

B = {0, –1, 1, – 2, 2, …, –n, n, …}, так, что 0 будет на первом месте, –1 на втором, 1 на третьем, –2 на четвертом и т.д. Нетрудно заметить, что отрицательные числа будут стоять на местах с четными номерами, а 0 и положительные числа – на местах с нечетными номерами. Поэтому взаимно однозначное соответствие между множествами A и B устанавливается по правилу: для всякого n  0 элементу a = 2n +1 из множества A (т.е. нечетному элементу) соответствует элемент b = n из множества B; элементу a = 2n из множества A (т.е. четному элементу) соответствует элемент b = –n из множества B. Таким образом, реализуется взаимно однозначное соответствие между множествами A и B: 1  0, 2  –1, 3  1, 4  –2 и т.д.

Примеры 1.18 и 1.19 показывают, что множество может быть эквивалентно своему подмножеству. Так, в примере 1.18 B A, а в примере 1.19 A  B. И в том, и в другом случае A  B.

Установить эквивалентность множеств, т.е. установить взаимно однозначное соответствие между их элементами можно различными путями. На рис. 1.5 показано, что множества точек двух отрезков [a, b] и [c, d] эквивалентны.

Рис.1.5

Таким же образом можно установить эквивалентность множеств точек двух интервалов. На рис.1.6 показано, что множества точек любого интервала (a, b) эквивалентно множеству точек всей прямой.

Рис. 1.6

Для установления эквивалентности двух множеств можно применять следующую теорему.

Теорема Бернштейна. Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны.

Применим теорему Бернштейна для доказательства того, что множество точек любого отрезка эквивалентно множеству точек любого интервала.

Пусть A = [a, b] – произвольный отрезок, а B = (c, d) – произвольный интервал.

Пусть A₁ = [a₁, b₁] – любой внутренний интервал отрезка [a, b], A₁ A. Тогда A₁  B.

Пусть B₁ = (c₁, d₁) – любой внутренний отрезок интервала (c, d), B₁ B. Тогда B₁  A.

Таким образом, выполняются условия теоремы Бернштейна. Поэтому A  B.

Итак, все интервалы, отрезки и вся прямая эквивалентны между собой.

1.6. Счетные множества

Определение 1.3. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным.

Можно сказать также, что множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.

Пример 1.20.

Следующие множества являются счетными.:

1. A₁ = {–1, –2, …, – n, …};

2. A₂ = {2, 2², …, 2ⁿ,…};

3. A₃ = {2, 4, …, 2n,…};

4. A₄ = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…};

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел. Для примера 1.19 взаимно однозначное соответствие устанавливается по следующим правилам: для множества A₁: –n  n; для множества A₂: 2ⁿ  n; для множества A₃: 2n  n; счетность множества A₄ установлена в примере 1.19;

Установить счетность множеств можно также, используя следующие теоремы о счетных множествах (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Пример 1.21.

Множество A = {3, 6, …, 3n,…} счетно, т.к. A – бесконечное подмножество множества натуральных чисел, A  N.

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

Пример 1.22.

Множество A = {0, 1, …, n,…} неотрицательных целых чисел счетно, множество B = {0, –1, …, –n,…} неположительных целых чисел тоже счетно, поэтому множество всех целых чисел С = АB = {…, –n, …– 2, –1, 0, 1, 2, …, n, …} тоже счетно.

Теорема 3. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.

Теорема 4. Если А = {a₁, a₂, …} и B = {b₁, b₂, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(a_k, b_n), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.

Пример 1.23.

Геометрический смысл пары (a_k, b_n) – точка на плоскости с рациональными координатами (a_k, b_n). Поэтому можно утверждать, что множество всех точек плоскости с рациональными координатами счетно.

Теорема 5. Множество всех многочленов P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ любых степеней с рациональными коэффициентами a₀, a₁, a₂, … a_n счетно.

Теорема 6. Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

1.7. Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка [0, 1] счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x₁, x₂ … x_n, … .

Рис. 1.7

Разобьем отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка x₁, она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок ₁, не содержащий точку x₁ (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок ₁ и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок ₂, не содержащий точку x₂. Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков ₁  ₂  ₃ …_n … . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n  . По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку ₁, ₂, ₃,…, _n, …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x₁, x₂, … x_n, …, т. е. последовательность x₁, x₂ … x_n, …не исчерпывает всех точек отрезка [0, 1], что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.24.

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x² эквивалентно множеству точек прямой – < x <  и, следовательно, имеет мощность континуума.

Рис.1.8

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n-мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Характеристики

Список файлов книги