ВМ (1023545), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Конечные разности рассчитываются по приведенным выше формулам.

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную

В этом случае:

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде:

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y = f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n]. Однако, более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученной формуле) ограничиться случаем t < 1, то есть использовать эту формулу для x₀, x, x₁. Для других случаев вместо x₀ принять x_i, если x_i x x_i+1 при i = 0,n-1.

М етод выбранных точек и средних. Он состоит в следующем: по заданным табл. данным X₀Y наносится система т.

После этого проверяется линия, соответствующая внешнему виду (x) и наиболее близко проходящая от заданных точек:

На проведённой линии выбираются нов. т., не принадлежащие системе табличных данных, а их число д.б = кол-ву не известных параметров эмпирической зависемоти. Значение координат в этих точках тщательно измеряются. Они используются для записи системы уравнений , исходя из условия прохождения графика (x) через эти точки. Решая полученную систему ур., находим неизвестные параметры . Другим методом явл. метод средних. Он базируется на предположении, что параметры функции (x) можно определить из равенства 0 суммы погрешности _i во всех точках X_i:

Из полученного ур. можно вычислить не известные параметры Однако, однозначно рассчитать все m+1 параметр из одного ур. нельзя. Поэтому полученные равенства путём группировки погрешностей _I разделяют на систему m-1 ур-я. Решая полученную систему, находим неизвестные параметры.

ВОПРОС №15. Метод наименьших квадратов.

Для определения параметров эмпирической ф-лы а₀,а₁,…,а_м запишем сумму квадратов отклонений x_i, i=0, n:

Параметры a₀,a₁,...,a_m будем искать при условии минимума функции S = S(a₀,a₁,...,a_m).

Поскольку в этом случае параметры a₀,a₁,...,a_m выступают в роли независимых переменных функции S (1), то ее min найдем, приравнивая к 0 частные производные по этим переменным:

Полученные соотношения представляют собой систему уравнений для определения a₀,a₁,...,a_m.

На практике широко распространен случай, когда в качестве ЭФ используется полином:

Рассмотрим применение МНК для этого случая. Построим сумму квадратов для отклонений:

Найдем частные производные функции S = S(a₀,a₁,...,a_m).

Приравнивая к 0 эти выражения и собирая коэффициенты при неизвестных a₀,a₁,...,a_m, получаем систему уравнений:

Решая полученную СЛАУ получим коэффициенты a₀,a₁,..., a_n многочлена S = S(a₀,a₁,a₁,...,a_n), которые являются исходными параметрами эмпирической формулы.

ВОПРОС №17. Численное интегрирование и дифференцирование.

Численное интегрирование.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

Он может выражать площадь, объем, работу переменной силы и т.д.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и ее можно выразить через известные функции, то для вычисления интеграла (1) можно воспользоваться формулой Ньютона- Лейбница:

Однако в действительности очень часто получить решение (1) с помощью формулы (2) или других аналитических методов невозможно.

Примером может служить широко применяемый для исследования процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей интеграл:

значение, которого не может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

Помимо этого вычисления интеграла (1) в аналитической форме могут быть длительным и трудоемким процессом, приводящим к приближенному результату, или не дающими такового совсем.

На практике помимо аналитических методов широко применяются специальные численные методы. Наиболее широко применяются квадратурные формулы вида:

- некоторые т., ∊[a; b] – узлы квадратной ф-лы;

А_i – числовые коэф., называемые весами квадратной формулы.

Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из геометрических соображений. Известно, что интеграл (1) - площадь криволинейной трапеции, ограниченная сверху функцией f(x) (рис.1).

Разобьем отрезок [a;b] на элементарные отрезки [x_i-1,x_i ] точками

При этом интеграл будет представлять сумму своих составляющих.

Будем считать шаг h = x_i - x _i-1 постоянным и введем обозначения f_i = f (x_i), f_i-1/2 = f (x_i-1/2),

где x_i-1/2 = (x_i-1/2 + x_i) / 2 - середина элементарного отрезка.

Численное дифференцирование.

Во многих задачах решение включает необходимость вычисления производных. Если функциональная зависимость f(x) имеет простой вид, то в вычислительных алгоритмах можно использовать явный вид производной f `(x) для определения ее числовых значений. Однако, в реальных ситуациях, функция f(x) может быть представлена математической моделью или конечным множеством точек (x_i; f_i(x)). В этом случае отсутствует возможность пользоваться аналитическим выражением производной.

Вспомним определение производной:

можно использовать приближенное числовое значение:

- пр-я слева - слева

Вторую производную в точке x_i можно рассчитать по этой же формуле:

и так далее.

Данные формулы дают достаточно высокую точность при задании h→0

Выходом в данной ситуации может быть использование алгоритмов интерполяции.

ВОПРОС №18. Общая постановка задачи Коши. Метод Эйлера для её решения.

Численное решение задачи Коши. При рассмотрении технических систем и технологических процессов инженеру часто приходится сталкиваться с их характеристиками, которые непрерывным образом меняются во времени t. Такие явления подчиняются физическим законам, описываемым дифференциальными уравнениями. Одной из основных математических задач, решаемых для таких уравнений, является задача Коши. Обычно, к ней приходят, когда известно начальное состояние системы в момент времени t₀ и требуется предсказать ее поведение в момент времени t > t₀.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка: (1)

Решением уравнения (1) является дифференцируемая функция y(t), которая при подстановке в уравнение (1) превращается в тождество. График y(t)

называется интегральной кривой рис. (1), а процесс решения называется интегрированием.

Заметим, что уравнение (1) задает в каждой точке (t, y) тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку.

Если в каждой точке (t, y) задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определенной значением f (t, y), то получится поле направлений.

Геометрическая задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Для того чтобы выделить из семейства решений дифференциального уравнения (1) конкретное решение, задают начальное условие: y(t₀)=y₀

Метод Эйлера решения задачи Коши. Воспользуемся формулой Тейлора:

(2)

R_(p+1)(t,h) - остаточный член. Если его отбросить, то получим приближенное равенство:

Если значение решения у в т. t известно, то в силу равенства (1) можно считать известными y’(t). Для нахождения производных продифференцируем Ур. (1) по t. Получим:

Выражения усложняются по мере роста порядка K.

Использование приближенной формулы (3) приводит к формуле:

Метод Эйлера является первым и простейшим методом решения задачи Коши. Его можно получить, если в приближенном равенстве (4) положить p = 1, то есть оставить два первых слагаемых. Получим:

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [tn, tn+1] касательной y = yn + y' (tn) (t-tn), проведенной в точке (tn,yn) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, после выполнения N шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией, для которой угловой коэффициент k_n очередного n - го звена равен значению f (t_n, y_n). (рис. 3)

Погрешность аппроксимации в этом случае имеет вид:

ВОПРОС №19. Общая постановка задачи Коши. Метод Рунге – Кутта для её решения. Метод Рунге – Кутта 4-го порядка точности.

Численное решение задачи Коши. (ВОПРОС №18)

Метод Рунге - Кутта решения задачи Коши. Является наиболее популярным из одношаговых методов. Пусть y (t) - решение дифференциального уравнения y' = f (t,y), удовлетворяющее условию y (t_n) = y_n. Из формулы Ньютона - Лейбница

следует: (6)

Если интеграл в формуле (6) можно было вычислить точно, то получилось бы простое выражение. Однако, в действительности это невозможно, поэтому будем строить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой. Введем на отрезке [t_n,t_n+1] m вспомогательных узлов

где

Заменяя, входящий в равенство (6) интеграл квадратурной суммой с узлами t_n⁽¹⁾, ... ,t_n^(m), получим приближенное равенство:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)