ЧИСЛЕН~1 (1023543), страница 3
Текст из файла (страница 3)
с точностью ε=10-4 .
f=2x2+4y2-12 fx=4x fy=8y
g=xy+2 gx=y gy=x
D=fx*gy-gx*fy Dx= -f*gy+g*fy Dy=fx*(-g)-gx*(-f) dx=Dx/D dy=Dy/D
| x | y | dx | dy | D | Dx | Dy | Ex | Ey | f(x,y) | g(x,y) |
| -2,500000 | 0,5 | 0,293478 | 0,380435 | 23 | 6,75 | 8,75 | 0,293478 | 0,380435 | 13,5 | -1,25 |
| -2,206522 | 0,880435 | 0,169733 | 0,121625 | 13,27363 | 2,252972 | 1,614405 | 0,169733 | 0,121625 | 12,83814 | -1,942698 |
| -2,036789 | 1,00206 | 0,036212 | -0,00327 | 8,561045 | 0,310011 | -0,02802 | 0,036212 | 0,003273 | 12,31351 | -2,040984 |
| -2,000577 | 0,998787 | 0,000575 | 0,001814 | 8,028632 | 0,004614 | 0,014568 | 0,000575 | 0,001814 | 11,99492 | -1,99815 |
| -2,000002 | 1,000601 | 1,97E-06 | -0,0009 | 7,990412 | 1,57E-05 | -0,00722 | 1,97E-06 | 0,000903 | 12,00483 | -2,001205 |
| -2,000000 | 0,999698 | 2,7E-07 | 0,000452 | 8,004831 | 2,16E-06 | 0,00362 | 2,7E-07 | 0,000452 | 11,99759 | -1,999397 |
| -2,000000 | 1,000151 | 6,84E-08 | -0,00023 | 7,997592 | 5,47E-07 | -0,00181 | 6,84E-08 | 0,000226 | 12,00121 | -2,000301 |
| -2,000000 | 0,999925 | 1,7E-08 | 0,000113 | 8,001206 | 1,36E-07 | 0,000904 | 1,7E-08 | 0,000113 | 11,9994 | -1,999849 |
| -2,000000 | 1,000038 | 4,26E-09 | -5,6E-05 | 7,999398 | 3,41E-08 | -0,00045 | 0,000000 | 5,65E-05 | 12,0003 | -2,000075 |
| -2,000000 | 0,999981 | 1,06E-09 | 2,82E-05 | 8,000301 | 8,51E-09 | 0,000226 | 2,000000 | 0,999981 | 11,99985 | -1,999962 |
Интерполяция-1.
Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, приблизить функцию, заданную таблично.
Вычислить приближённое значение функции в точке х0
( вычисления вести с четырьмя знаками после запятой ).
| X | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 0 | 7 | 4 | 1 |
X0=6.75
Метод наименьших квадратов.
Применяя метод наименьших квадратов, приблизить её многочленами 1й и 2й степени. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности, построить график.
| Xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| Yi | 11.0 | 6.5 | 3.2 | 1.8 | 3.5 |
|
| 11.18286 | 6.14857 | 3.1571 | 2.20857 | 3.30286 |
| y=-1.97x+5.2 | 9.14 | 7.17 | 5.2 | 3.23 | 1.26 |
Многочлен 2й степени.
Q (x,a,b,c)=ax2+bx+c 
=0,12076
Многочлен 1й степени.
Q(x,b,c)=bx+c 
b=-1.97 c=5.2 y=f(x)=-1.97x+5.2 =0.77385
Численное интегрирование.
Вычислить интеграл от многочлена P5(x) в пределах от 1.0 до 2.2 с шагом h=0.2 , используя формулы:
а) центральных прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона.
Оценить погрешности результатов. Проверить справедливости оценок, сравнив полученные приближённые значения интеграла с точным значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.
P5(x)=x5+2x4+2x3+3x2+2x+3 
Формула Ньютона-Лейбница.
Формула центральных прямоугольников.
Остаточный член 
;
Оценка погрешности 
M2=361.96
Формула трапеций.
Остаточный член 
;
Оценка погрешности 
M2=361.96
Формула Симпсона.
Остаточный член 
;
Оценка погрешности 
M4=312
Задача Коши.
Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
y(a)=ya
на отрезке [a,b] с шагом h=0.2, h=0.4 :
а) метод Эйлера ;
б) исправленным методом Эйлера ;
в) методом Эйлера-Коши
Оценить погрешность по правилу Рунге.
Найти точное решение задачи. Убедиться в правильности полученной оценки. Построить графики точного и приближённых решений.
Правило Рунге 
p –порядок точности
f(x,y)=-2y-x+12 a=1.2 b=2 ya=5.1
Решение ОДУ 
Метод Эйлера.
xi=xi-1+h yi=yi+h*f(xi,yi)
Правило Рунге 
h=0.2
| i | Xi | yi | yi(h/2) | f(Xi,yi) | (хi) | G~i | Gi |
| 0 | 1,2 | 5,100000 | 5,160000 | 0,600000 | 5,100000 | 0,060000 | 0,060000 |
| 1 | 1,4 | 5,220000 | 5,236000 | 0,160000 | 5,181324 | 0,016000 | 0,054676 |
| 2 | 1,6 | 5,252000 | 5,241600 | -0,104000 | 5,202869 | 0,010400 | 0,038731 |
| 3 | 1,8 | 5,231200 | 5,204960 | -0,262400 | 5,184343 | 0,026240 | 0,020617 |
| 4 | 2 | 5,178720 | 5,142976 | -0,357440 | 5,138957 | 0,035744 | 0,004019 |
h=0.4
| i | Xi | yi | yi(h/2) | f(Xi,Yi) | (xi) | G~i | Gi |
| 0 | 1,2 | 5,100000 | 5,220000 | 0,600000 | 5,100000 | 0,120000 | 0,120000 |
| 1 | 1,6 | 5,340000 | 5,284000 | -0,280000 | 5,202869 | 0,056000 | 0,081131 |
| 2 | 2,0 | 5,228000 | 5,136800 | -0,456000 | 5,138957 | 0,091200 | 0,002157 |
Исправленный метод Эйлера.
h=0.2
| i | Xi | yi | yi(h/2) | f(Xi,yi) | (xi) | G~i | Gi |
| 0 | 1,2 | 5,100000 | 5,149000 | 0,600000 | 5,100000 | 0,049000 | 0,049000 |
| 1 | 1,4 | 5,176000 | 5,193320 | 0,248000 | 5,181324 | 0,017320 | 0,011996 |
| 2 | 1,6 | 5,195680 | 5,191458 | 0,008640 | 5,202869 | 0,004222 | 0,011411 |
| 3 | 1,8 | 5,177062 | 5,158191 | -0,154125 | 5,184343 | 0,018871 | 0,026152 |
| 4 | 2 | 5,132402 | 5,103570 | -0,264805 | 5,138957 | 0,028832 | 0,035387 |
h=0.4
| i | Xi | yi | yi(h/2) | f(Xi,Yi) | (xi) | G~i | Gi |
| 0 | 1,2 | 5,100000 | 5,176000 | 0,600000 | 5,100000 | 0,076000 | 0,076000 |
| 1 | 1,6 | 5,164000 | 5,155520 | 0,072000 | 5,202869 | 0,008480 | 0,047349 |
| 2 | 2,0 | 5,101280 | 5,048870 | -0,202560 | 5,138957 | 0,052410 | 0,090087 |
Метод Эйлера-Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
