AOP_Tom1 (1021736), страница 14
Текст из файла (страница 14)
+ ап. Такую сумму более компактно можно записать следующим образом: ~а или ~ а!. (1) !<! <п Если и равно нулю, то по определению значение суммы тоже равно нулю. Наше определение суммы можно обобщить. Если Л(!) — это любое соотношение, зависящее от г, то запись (2) обозначает сумму всех аз, где !' — целое число, удовлетворяющее условию ЛЦ). Если таких целых чисел не существует, то значение суммы (2) по определению принимается равным нулю. Буква ! в (1) и (2) — — это так называемый немой индекс (или индексная переменная), который вводится только для удобства записи.
Для обозначения индексов суммирования обычно используются буквы г, г, и, пг, п, г, в, 1 (иногда с надстрочными индексами или штрихами). Занимающие много места обозначения сумм, как в (1) и (2), можно заменить более компактной записью У,"тп! ау или ~ л1 1 а!. Знак п~ " н немые индексы для обозначения операции суммирования в конечных пределах были введены Ж.
Фурье (3. Розг!ег) в 1820 году. Строго говоря, обозначение 2„!«.„ а, является недостаточно четким, так как г<г<п не совсем ясно, по какому индексу выполняется суммирование †у' или по п. В данном конкретном случае было бы неразумно считать это суммой значений, для которых п > ?1 Но можно привести более сложные примеры, в которых индекс суммирования определен недостаточно четко, как в случае 1 < (1+, „).
В подобных ситуациях отличить немые индексы от индексов, имеющих самостоятельное значение (т. е. таких, которые фигурируют не только в записи суммы), можно только по контексту. Запись из приведенного выше примера будет иметь смысл, только если либо г', либо Ь (но не оба) не является немым индексом, т. е. имеет самостоятельное значение. В основном, мы будем использовать запись (2) только тогда, когда сумма конечна, т. е. когда только конечное число значений ! удовлетворяет Л(1) и ау ~ О. Чтобы найти бесконечную сумму, например а, = ~~~ а! = а! + аг + аг + ' ' ' Е г>1 которая содержит бесконечно много ненулевых слагаемых, необходимо применить методы вычислений.
В этом случае выражению (2) мы будем придавать следующий смысл: "=(- "Н- ") лВ) иь й л0) 0<э<в — ь<З<в (при условии, что оба предела существуют). Если же хотя бы один предел не существует, то бесконечная сумма расходится; это означает, что вычислить ее нельзя. В противном случае (если оба предела существуют) сумма является сходяьцейся.
Если под знаком "~ " содержится несколько условий (больше одного), как в формуле (3), значит, должны выполняться все условия одновременно. Очень важное значение имеют четыре простые алгебраические операции над суммами; знакомство с ними позволяет найти решение многих задач, поэтому сейчас мы займемся обсуждением этих операций. а) Распределительный закон для произведений сумм: (Е„) (Еьь) = У' (Е „ь).
Чтобы понять этот закон, рассмотрим частный случай: < 2 ',,г 3 )(Еьь) =ь, ° ььь ь ь-ьь ь=ь = (а, Ьь + а, Ьз + аьЬз) + (азбь + азЬз + азЬз) =Г (Еаьь). Обычно скобки в правой части равенства (4) опускают и двойную сумму, например ~"„л<,, ( д, . аб), записывают в виде ~л,.~ ~ з, аиь Ъ) Зььмена индекса: а;=~ ~аз= ~ ~арВР нь ь л(з) иб ВИ В этом равенстве представлены два вида преобразований.
В первом случае просто происходит замена индекса суммирования ь на ь'. Второй случай представляет больший интерес. Здесь р(у) — это функция от у, задающая некоторую перестановку на области суммирования; точнее — для каждого целого ь, удовлетворяющего соотношению Н(ь), должно существовать единственное целое число у, удовлетворяющее соотношению р(у) = ь. Данное условие всегда выполняется в следующих важных случаях: рЦ) = с+ у и р(у) = с — у, где с — целое число, не зависящее от у. Эти случаи важны потому, что на практике они встречаются чаще всего, например а ь = ~~ь ау (б) а,= 1<у<в Ьйь-Ь<ьь 2<ь<реь Советую читателю внимательно изучить этот пример, Замену у на р(у) можно выполнить не для всех бесконечных.сумм. Такая замена всегда возможна, если р(2) = с х у (как в примере, приведенном выше), но в друь их ситуациях необходимо принять некоторые меры. [Например, см.
Т. М. Аров(о1, Мапйетабса! Апа)ув!в (Яеад(пй, Мазал АсЫ|воп-%еэ1еу, 1957), СЬар(ег 12. Достаточным условием справедливости соотношения (5) для любой перестановки целых чисел Р(У) ЯвлЯетсЯ сходимость 2 н(.) (а ).! с) Изменение порядка суммирования: аб = ~ ~~~ аьо и( ) Я(1) зб) нрй (7) Давайте рассмотрим очень простой частный свучай этого равенства: аб = ~~ (ап + агг), Н(г) уьи я(г) а; = ~ ап + ~ ань и( ) и( ) и() Согласно (7) правые части данных соотношений равны, т.
е. ~~> (Ьг+сг) = ~~ 6, + ~~~ с„ ль(г) н(й н(й (8) где бг = ап, а с; = аа Операция изменения порядка суммирования очень полезна, так как часто про- стае выРажениедлЯ сУммы 2н(г а, известно, адласУммы 2 . а, — нет. Необходимость в изменении порядка суммирования возникает также в более общем случае, когда соотношение 5Ц) зависит и от г, и от гй В подобной ситуации его можно обозначить через 5(г,у).
Изменение порядка суммирования всегда можно выполнить, по крайней мере теоретически, следующим образом: ай= ~ ~~ аен н(г) з(нз) 3'(г) Я'(ьг) (9) где 5'(у) означает, что "существует целое (, такое, что справедливы как !1((), так и 5(г,у)"; а !г'((,у) означает, что "верны как Я((), так н 5((,у)". Например, если вычисляется сумма ~,, ~,, а,„то условие 5'(г) звучит так: "существует целое г, такое, что 1 < г < и и 1 < г < г", т. е. 1 < у < и, а Л'((,у) превращается в условие 1 < 1 < п и 1 < у < г, т. е. г < г < и.
В результате получаем и и и а, = ~~~ ~~~ а,. (Замечание. Как и в случае (Ь) (замена индекса), операция изменения порядка суммирования не всегда справедлива для бесконечных рядов. Если ряд абсолютно сходигпсл, т. е. если сходитсЯ 2 и(, 2 з(,) (а; ~, то можно показать, что Равенства (7) и (9) верны. Кроме того, если одно из соотношений В(() и 5(~) определяет конечную сумму в (7) н хам~дав бесконечная сумма сходится, то операция изменения порядка суммирования также законна. В частности, для сходящихся бесконечных сумм соотношение (8) всегда справедливо.1 11) Манипуляции областью сумееирования. Кслн В(2') и 5Ц) — произвольные соотношения, то имеем ау+~~1 а. = ~~1 а + ~ ~а . Я(1) 5(1) Н(1) ннн 5(2) Л(1) н 5(1) Например, если 1 < 1п < и, то (12) Здесь область ойдо) и Я(З)п просто принимает вид "1' = т", поэтому вторая сумма свелась только к одному слагаемому на ".
В большинстве случаев равенства (11) или соотношения Л(у) и Я(у) одновременно выполняются только для одного-двух значений у либо вообще не существует таких у, для которых справедливы и Л(у), и 5(у). В последнем случае вторая сумма в правой части равенства (11) просто исчезает. А теперь, когда мы изучили четыре основных правила выполнения операций нэд суммами, давайте рассмотрим примеры их использования. Пример 1.
а = ~~1 а + ~~1 а согласно правилу (е)) О<2<о )нечетное 0<1< О<1<о тчетное а1. + ~ ~а2,.11 согласно правилу (Ь) 0<21<о 21 четное 0 < 21-~-1 < и 21Е1 нечетное 021 + ~ аоть1. Ойуйп/2 О<1<о/2 На последнем шаге выполняется упрощение соотношений, находяшихся под знаками суммы. Пример 2. Пусть 51 —— ~~1 ~~1 а1а) = ~ ~~~1 аеау согласно правилу (с) (см. (1й)) 1=о тпо а,ау согласно правилу (Ь). 1=0 Лп1 Здесь выполнена замена 1 на у и использован тот факт, что а,а1 = аоа,. Обозначая последнюю сумму через Я2, имеем и / ч и гг,пг,+г;~(~...,~~...,) =о у=о г=а согласно (8) а;ау + а,а; согласно правилу (д) [см.
(12)] и и п а,а, + ~ а;а, =о г=а =о согласно (8) а,~ ~~~ а ~ + ~ ~аг согласно правилу (а) =(~г) ( ") Таким образом, мы получили важное тождество: па = — ~ ~а, + ~па; согласно правилу (Ь). а+ах+ +ахи = ~~ ах' по определению (2) о<г<п = а+ ~ ахг согласно правилу (й) г<г<п =а+х ~~ ах' согласно частному случаю правила (а) 1<1<п = а+ х ~~~ ах' согласно правилу (Ь) [см. (6)] о<у< -ь = а+ х ~ ах' — ахпе согласно правилу (с)). 0<г<п Сравнивая первое и последнее выражения, получаем (1 — х) ~~~ аху = а — ахпег; 0<г<п отсюда следует важная формула ахг = а( о<г<п (14), Пример 3 (Сумма геометрической прогрессии). Предположим, что х ф 1, и > О.
Тогда Пример 4 (Сумма арийЬметпческой прогрессии). Предположим, что и > О. Тогда а+ (а+Ь) + + (а + пЬ) (а+ Ьу) по определению (2) 0<1<» — (а+ Ь(п — у)) по правилу (Ь) 0<»-у<» (а + Ьп — Ьт') в результате упрощения 0<1<» — (2а + Ьп) — ~~ (а + ЬЯ согласно (8) 0<1<» О<э<» = (и+ 1)(2а+ Ьп) — ~~~ (а+ЬД, 0<э<» так как первая сумма — это просто (и+ 1) одинаковых слагаемых, не зависящих от ~. Теперь, приравнивая первое и последнее выражения и деля их на 2, получаем (а+ Ьу) = а(»+1) + 1Ьп(я+1). Многие операции нвд суммами и другие формулы можно значительно упростить, если использовать следующее обозначение: (( 1, если утверждение истинно; утверждение) = ( О, если утверждение ложно. (16) Например, можно записать ау = ~ ~ау [Н(1)~ ЯОО 1 (17) Обратите внимание, что в правой части суммирование производится по всем целым у, и это ничего не меняет, поскольку те слагаемые, для которых утверждение Я(у) ложно, просто равны нулю. (Мы предполагаем, что ау определены для всех ~.) А это равно и + 1, умноженному на -'(а + (а + Ьп)), что можно интерпретировать как количество слагаемых, умноженное на среднее первого и последнего слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
