Вышка - дифуры (1021455), страница 2

Файл №1021455 Вышка - дифуры (Шпоры по Дифурам 3й семестр) 2 страницаВышка - дифуры (1021455) страница 22017-07-102017-07-10СтудИзба

Шпоры по Дифурам 3й семестр

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 2)

Утв2: (решение ЛОДУ первого порядка): y′+p(x)y = 0 y′= -p(x)y dy/dx= -p(x)y Поделим на y≠0 => ∫dy/y = - ∫p(x)dx ln|y| = - ∫p(x)dx + C |y| = e^-∫^p⁽^x⁾^dx⁺^C |y|=e^Ce^-∫^p⁽^x⁾^dxy = ±k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx k≠0

Утв3: (связь между ЛОДУ и ЛНДУ) Пусть y′ + p(x)y = q(x) y₁(x) – его частное решение. Общее решение ЛНДУ: y=y₁+k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx

Док-во: y′+p(x)y=q(x) замена: y=z+y₁ z-? y′=z′+y₁′ - подставим в уравнение. z′+y₁′ + p(x)*(z+y₁) = q(x) z′+y₁′+p(x)z + p(x)y₁ =q(x) т.к. y₁ – частное решение => y₁′ + p(x)y₁ = q(x) => ура-ние имеет вид. z′ +p(x) =0 - ЛОДУ, из утв2 => z = k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx y=y₁+k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx

Решение ЛНДУ: (1) Способ Бернулли: y′+p(x)y=q(x) ищем y в виде: y=UV U, V-? => ура-ние U′ V +V′ U + p(UV)=q(x) U′ V +U(V′ +pV)=q(x) 1) Выберем V(x) так чтобы V′+pV=0 т.е. найдем частное решение ЛОДУ V=e^-∫^p⁽^x⁾^dx при k=1 => ура-ние U′ V + U(V′ +pV)=q(x) => U′ C=q(x) U′=q(x)/V = q(x)*e^∫^p⁽^x⁾^dx => U′=q(x)*e^∫^p⁽^x⁾^dx => U= ∫q(x)*e^∫^p⁽^x⁾^dx dx +C => y=UV= e^-∫^p⁽^x⁾^dx (∫q(x)*e^∫^p⁽^x⁾^dx +C) – общее решение ЛНДУ.

(2) Способ Лагранжа: (метод вариаций произвольной постоянной) y′+p(x)y=q(x) (**) 1) решаем ЛОДУ y′+p(x)y=0 => y = k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx 2) решаем ЛНДУ: y=k(x)*e^-∫^p⁽^x⁾^dx (*) Надо найти k(x)-? => Подставим (*) и (**): y′=k(x)′ *e^-∫^p⁽^x⁾^dx + k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx*(-∫p(x)dx)′ = k′*e^-∫^p⁽^x⁾^dx- p(x)*k*e^-∫^p⁽^x⁾^dx => k′*e^∫^pdx=qx (обязательно должно произойти сокращения!!!) => k′ *e^-∫^pdx=q(x) => k′=q(x)*e^-∫^pdx => k(x) =∫q(x)*e^∫^pdx dx +C => общее решение ЛНДУ: y=(∫q(x)*e^∫^pdx dx +C)*e^-∫^pdx

(3) Уравнения сводящиеся к линейным: 1) Уравнение Бернулли: y′+p(x)y=q(x)y^m m≠0 m≠1 Делим на y^m(y=0 отдельно) => y^-^my′+p(x)y^1-^m=q(x) Замена: y^1-^m=z z-? Дифф. это равенство. z′ =(1-m)*y^-^m*y′ => y^-^m*y′= z′/(1-m) => уравнение имеет вид: z′/(1-m) + p(x)z =q(x) - линейное уравнение.

2) Уравнение вида: f ′(y)*y′+p(x)*f(y) =q(x) Замена: z=f(y) z-? => z′=f ′(y)*y′ => ура-ние сводится к виду: z′+p(x)z=q(x) – линейное уравнение

3) Уравнение вида: y′+p(x) = q(x)*e^ny Поделим на e^ny => e^-^ny*y′+e^-^ny*p(x) = q(x) => z = e^-^ny z′= -e^-^ny*n*y′ => -z′/n +p(x)*z =q(x) –линейное уравнение.

7. Уравнения не разрешенные относительно производных:

1) F(x,y,y′) =0 – уравнение не разрешенное

2) y′=f(x,y) - уравнение разрешенное относительно производной.

(1) Если удается выразить y′=f_k(x,y) => проинтегрировать ф_k(x,y,C)=0 => общий интеграл исходного уравнения: ∏_{_k_=1;_m_}Ф_k(x,y,C) =0 = Ф(x,y,C)

Условие для поиска особых решений: Нужно составить такую систему уравнений { Ф(x,y,C)=0 Ф_с^′(x,y,C)=0 } => исключить из нее C

Пример: (y′)²+xy=y²+xy′ (y′)²-xy′+xy-y²=0 - квадратное уравнение. a) y₁′=x-y z=x-y z′=1-y′ dz/(1-z) =dx z=1-ke^-^x => y=x+1+ke^-^x б) y₂′=y - раздел. переменные. y=ke^x

(2) Метод введения параметра: Общее решение может выглядеть 1) y=φ(t,C) 2) Ф(y,x,C) – неявно задана.

(2.1) Рассмотрим x= φ(y′) введем параметр y′=t => y=φ(t) осталось выразить через t. x=φ(t) y′=t y′=dy/dx =t => dy=t*dx но x=φ(t) => dx=φ(t) dt => dy=tφ(t)dt => y=∫tφ(t)dt +C Общее решение x=φ(t) y=∫tφ(t)dt+C

Зам (условие для поиска особого решения): Пусть F(x,y,y′)=0 – исходное уравнение t=y′ {F(x,y,t)=0 F_t′(x,y,t)=0 -исключить t }

(3) y=ψ(y′) Пусть y′=t – параметр => y=ψ(t) => осталось выразить x(t) y′=dy/dx => dy=tdx но: y=ψ(t) => но: dy= ψ(t)dt => ψ(t)dt=tdx – ура-ние с разделю переменными. => x=∫(ψ(t)dt/t)dt+C y=ψ(t) -общее решение.

(4) Уравнение Лагранжа:

Опр: y=φ(y′)x+ψ(y′) – уравнение Лагранжа. φ(y′)≠y′

Решение: y′=t y=φ(t)x+ψ(t) => dy=(φ(t)x+ψ(t))dt + φ(t)dx y′=t=dy/dx dy=tdx => tdx=(φx+ψ)dt +φdx Поделим на dt => x=x(t) tx= φx+ψ+φx x(t-φ) = φx + ψ Поделим на (t-φ(t)) Решение t=φ(t) – находится отдельно. x-φx/(t-φ) =ψ/(t-φ) -φ/(t-φ)=f(t) ψ/(t-φ)=g(t) => x+f(t)x=g(t) - ЛНДУ после его решения получим x=α(t,C) => y= φ(t)*α(t,C)+ψ(t)=β(t,C) => x=α(t,C) y=β(t,C) -общее решение.

(5) уравнение Клеро: (частный случай (4)): y=y′x+ψ(y′) y′=t y=tx+ ψ(t) => dy=xdt +tdx + ψ′(t)dt dy=tdx => xdt + ψ′(t)dt=0 => dt(x+ ψ′(t))=0 1 случай: dt=0 t=C y=xC+ ψ(C) –общее решение. 2 случай: x+ ψ′(t)=0 x=- ψ(t) => y= -tψ(t)+ψ(t) - особое решение.

8. Уравнение высших порядков:

Общий вид: F(x,y,y′….y⁽ⁿ⁾)=0 (*) – уравнение n-ого порядка. Выразим старшую производную через ост. производные: y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′…y⁽ⁿ^-1)) - уравнение в нормальной форме (разреш. относит. старшей производной)

Опр: (Задача Коши): Найти решение ура-ния (*), удовлетворяет начальным данным: y=φ(x) - ? при x=x₀ φ(x₀) =y₀ φ′(x₀)=y₀′ φ′′(x₀)=y₀′′ …. φ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

Пример: y′′′=1 => y′′=x+C₁ => y′=x²/2+xC₁+C₂ => y=x³/6 +C₁x²/2 +xC₂+C₃ Если имеются начальные условия => найдем C₁ C₂ C₃

Теорема: Рассмотрим y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′…y⁽ⁿ^-1)) Рассмотрим задачу Коши: (x₀y₀ y₀′ ….y₀⁽ⁿ^-1)) =M₀є Rⁿ (точка n-мерного про-ва) Пусть f –непрер. в нек. окрестности точки M₀и f₀′ f_y_′′ f_y_^(_n_-1)′ -непрер в этой окр-ти. => задача Коши имеет единственное решение. y=φ(x) определ. в нек. окр-ти точки x.

Опр: (общее решение): y=φ(x,С₁….С_n) –общее решение в области DcRⁿ если: 1) при любом C₁…C_n :

y=φ(x) является решением (подходит в ура-ние)

2) при любом M₀єRⁿ (x₀, y₀′…y₀⁽ⁿ^-1)) Существует константы С₁⁰ … C_n⁰: y=φ(x,C₁⁰ , …, C_n⁰) –явл. решением. y(x₀)=y₀ y′(x₀)=y₀′ … y⁽ⁿ^-1)=y₀⁽ⁿ^-1)

Уравнение допускающие понижение порядка.

(1) Ура-ние вида: y⁽ⁿ⁾=f(x) -решается последовательным интегрированием. Введем z=y⁽ⁿ^-1)(x)-? z′=f(x) y⁽ⁿ^-1)(x)=∫f(x)dx+C₁ y⁽ⁿ^-2)(x)=∫(∫f(x)dx) +xC₁+C₂ и т.д.

(2) Уравнение не содержащее y,y′….y⁽ⁿ^-1) Общий вид такого уравнения: F(x,y⁽^k⁾..y⁽ⁿ⁾)=0 Обозначим z=y⁽^k⁾ => z′=y⁽^k⁺¹⁾ …. z⁽ⁿ^-^k⁾=y⁽ⁿ⁾ => уравнение примет вид: F(x,z,z′…z⁽ⁿ^-^k⁾)=0 Оно решаемо если: z=φ(x,C₁ …C_n_-_k) обратная замена: y⁽^k⁾=φ(x,C₁ …C_n_-_k) => получен случай (1) => k раз интегрировать.

Пример: xy′′′=y′′ z=y′′-? => xz′=z dz/z=dx/x z=k₁x y′′=k₁x => y′=k₁x²/2 +k₂ => y=k₁x³/6 +k₂x+k₃

(3) Уравнение не содержащее x: Общий вид: F(y,y′…y⁽ⁿ⁾)=0 Замена: y′=z(y) z-? Пусть n=2 F(y,y′,y′′)=0 Выразим y′′ : y′′=(y′)′=dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx)=z(*)*z => F(y, z, z(*)z) =0 => Если его удается решить, то получим z(y)=φ(y,C₁) y′=φ(y,C₁) - ура-ние разд. переменными => dy/φ(y,C₁)=dx x+C₂=∫(dy/φ(y,C₁))

Пример: yy′′+(y′)²=1 dy ′/dx=dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx)=z(*)*z => yz(*)z+z²=1 zyz(*)=1-z² => dz/(1-z²) =dy/y (z= ±1) => ∫(2zdz/(1-z²) =∫2dy/y => ln|z²-1|=-2ln|y| +C z²-1=k/y² => z²=k₁/y² +1 => (y′)² =(k₁+y²)/y² y′= ± √(k₁+y²)/y dy*y/√(k₁+y²) = ±dx => x+k₂= ±√(y²+k₁) => (x+k₂)² =y²+k₁ - Ответ – это общее решение в неявном виде.

9. Линейные уравнения n-ого порядка
Опр: y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y⁽ⁿ^-1)+p₂(x)y⁽ⁿ^-2) +…+p₍_n_-1)(x)y′ +p_n(x)y=f(x) (*) D(p₁)=…=D(p_n)=D(f) =(a, b) , все функции непрер. => уравнения такого вида наз. ЛУ n-ого порядка.

Опр: L(y)=левая часть уравнения (*) – называется линейным дифф. оператором, примененным к функции y => (*): L(y)=f(x) –лин. неоднородное – ЛНДУ. На ряду с этим рассмотрим ура-ние (**) L(y)=0 - ЛОДУ

Утв1: (сво-ва лин. оператора): 1) L(ky)=k*L(y) 2) L(y₁+y₂)= L(y₁)+L(y₂) -это очевидно, т.к. оператор явл комбинацией произв.
Утв2: (единств. решения задачи Коши для ЛНДУ): Пусть L(y)=f(x) (x₀, y₀, y₀′, ….y₀⁽ⁿ^-1)) – имеет единственное решение y=φ(x), опред. на (a, b) при любом y₀, y₀′, ….y₀⁽ⁿ^-1) – этот факт следует из: y⁽ⁿ⁾= f(x)-p₁y⁽ⁿ^-1)-….-p_ny – удовлетворяет условию теор о существовнии (параграф 8)

Утв3: (свойства решений ЛОДУ):

1) Пусть y₁(x) – решение L(y)=0 , тогда: С₁y₁ –тоже решение.

2) y₁ и y₂ – решение (**) , тогда y=y₁+y₂ – тоже решение. Док-во: (2) – L(y₁)=0 L(y₂)=0 по условию => По утв1: L(y₁+y₂)= L(y₁)+ L(y₂) =0 => y=y₁+y₂– тоже решение ЛОДУ.

Следствие: Пусть y₁…. y_m - решения (**) тогда: y=C₁y₁+ …+ C_my_m - тоже решение.

Утв4: (связь между ЛНДУ и ЛОДУ): Пусть L(y)=f(x) L(y)=0 y=y₁(x) –частное решение (*) y=φ(x, C₁..C_n) –общее решение (**), тогда: y=y₁(x) + φ(x, C₁..C_n) –общее решение (*)

Док-во: рассмотрим L(y) =f(x) замена: y=z+y₁ z-? => ура-ние примет вид: L(z+y₁)=f(x) => L(z)+L(y₁)=f(x) но y₁ –частное решение ЛНДУ => L(y₁)=f(x) => исх. ура-ние примет вид: L(z)=0 – ЛОДУ По условию z= φ(x, C₁..C_n) => y= φ(x, C₁..C_n) +y₁

Пример: y′′-y= -x ЛОДУ: y′′-y=0 y′′=y общее решение будет выглядеть так: y=C₁e^x+ C₂e^-^x а частное решение: y₁=x => Ответ: y=C₁e^x+C₂e^-^x+ x

10. Решение ЛОДУ (L(y)=0 (**)):

Опр 1: y₁(x); … y_m(x) – наз. линейно незав. на (a, b) если верно: α₁y₁(x)+ ….+ α_my_m(x) ≡0 => α₁=…= α_m=0 иначе функция наз линейно завис (ЛЗ).

Пример: 1) e^xe^-^x -ЛНЗ на R т.к. α₁e^x+ α₂e^-^x ≠0 при (y₁)²+(y₂)²≠0 2) 2e^x3e^x => α₁=3 α₂= -2 => α₁y₁+ α₂y₂=0 => ЛЗ

Утв: (свойство ЛЗ систем): Пусть y₁ … y_m – ЛЗ , то одна из них явл. линейной комбинацией других.

Док-во: y₁ …. y_m - ЛЗ => существуют α₁ ….α_m – не все равны 0 : α₁y₁+ ….+ α_my_m ≡0 Пусть α_m≠0 => α_my_m = -α₁y₁ - … - α_m_-1y_m_-1 y_m= (-α₁/α_m)*y₁ - …. - (-α_m_-1/α_m)*y_m_-1

Опр: Пусть y₁… y_n – решение ЛОДУ (**) Пусть y₁… y_n – ЛНЗ на (a, b) тогда это наз. фундаментальной системой решений (ФСР)

Опр: Составим определитель (n×n) W(x) = │ y₁….. y_n ; y₁′….. y_n′ ; ……; y₁⁽ⁿ^-1)….. y_n⁽ⁿ^-1) │ - это определитель Вронского для y₁….. y_n

Характеристики

Тип файла

Документ

Размер

172,5 Kb

Материал

Шпоры по Дифурам 3й семестр

Тип материала

Ответы (шпаргалки) к экзамену

Предмет

Математический анализ

Высшее учебное заведение

РТУ МИРЭА

Список файлов ответов (шпаргалок)

shpory-po-difuram-3y-semestr-32473197-1499688929.rar

Шпоры по Дифурам 3й семестр

Вышка - дифуры.doc

Дифференциальные уравнения.doc

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.