Вышка - дифуры (1021455)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

0. Название неизвестно:

Опр: Уравнение F(x,y,y′,….y⁽ⁿ⁾)=0 где x- независимая переменная; y(x) – искомая функция, y′,….y⁽ⁿ⁾ – производные – называется обыкновенным дифф. уравнением.

Зам: (ОДУ неизв. функции одной переменной): Если неизвестная функция нескольких переменных д.у. в частных производных. y′′+y=0 – ОДУ; (∂z/dx)x +(∂z/dy)y =0 – ура-ние в частных производных:

Опр: Нормальная форма д.у.: y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′,….y^(n-1)) – разрешенная относительно y⁽ⁿ⁾; (y′′)²+2y ′ +x*sin(x)=0 – ненормальная форма. (1+x²)y′′+2y+1-x=0 → y′′=(-2y-1+x)/(1+x²) – нормальная форма.

Опр: Порядок уравнения = порядку старшей производной (n). y′′+sin(x)+y=0 - второго порядка.

Опр: y = φ(x) => D(y)=(a; b) y, y′…y⁽ⁿ⁾ –непрерывны на (a; b) y = φ(x) – называется решением д.у. на (а; b), если при любом x=(a; b) F(x, φ(x), φ′(x), φ⁽ⁿ⁾(x))=0

Пример: y′′+y=0 => y=2sin(x)+cos(x) y′=2cos(x)-sin(x) y′′=-2sin(x)-cos(x) => решение на (-∞; ∞)

Опр: График решения называется интегральной кривой для д.у.

1. ОДУ первого порядка:

F(x,y,y′ )=0 (*) y′=f(x,y) – нормальная форма.

Опр: y=φ(x); D(y)=(a; b) y,y′- непрер. на (a; b) –является решением нашего ура-ния (*) на (a; b), если при любом x є (a; b): F(x; φ(x); φ′(x))=0

Геом. смысл уравнения первого порядка и его интегр. кривых: y = f(a; b) Рис: M₀(x₀, y₀) є G Пусть L – интегр. кривая. М₀ є L Проведем касательную: y=φ(x) в точке М₀ α- угол с oX; tg(α)=φ′(x₀) - геометрический смысл производный. Т.к. y=φ(x) реш. φ′(x₀) = f(x₀, y₀) => tg(α) = f(x₀,y₀)

Вывод: y′=f(x,y) f(x,y) – тангенс угла наклона к интегр. кривой, проходящей через точку (x₀,y₀) если такая кривая существует!

Опр: В любой точке М области G, рассмотрим отрезок единичной длины; М- середина; угол с oX=α ; tg(α) =f(M) – это множество отрезков называется полем направлений y(**)

Пример: y′=x (y = x²/2 +C) Рис: G=R² tg(α) = x; M(x,y) 1) на оси oY: x=0 tg(α)=0 2) на прямой: x=1 tg(α)=1 α=45 3) на x= -1: tg(α)= -1 α= -45

Теорема: (о сущ. и един-ти инт. кривой): y′=f(x,y) G=R² f- непрер. в некот. окрестности точки (x₀,y₀) f_y′ - непрер. в этой окр-ти => существует решение y = φ(x) , определенное в окрестности точки G

Опр: y′= f(x,y) (**) Начальные условия: при x=x₀ y=y₀

Задача: Найти решение (**), удольтворяющее условию, называется Задачей Коши для (**)

Геом. смысл: происх. интегр. кривой, проход. через точку (x₀, y₀)

Пример: y′=x²+ln(x) x₀=1 y₀=5 – Задача Коши. y=x³/3 + ∫ln(x)dx ∫ln(x)dx=(по частям)= x*ln(x)-x+C Подставляем x₀ y₀ и находим С. С=14/3

Опр: Семейство функций y=φ(x,С) называется общем решением уравнения (**) если: 1) для любого С: y=φ(x,C) является решением (**) 2) для любых x₀ y₀ существует С₀: y₀=φ(x₀,C₀) – частное решение.

Опр: Особое решение (**) – решение, в любой точке которого нарушается условие т. единственности.

2. Неполное уравнение:

1) y′=f(x) Пусть f непрер. => существует первообразная F(x) => все решения: y=F(x)+C – общее решение. 2) y′=g(y) =>

2.1) g(y) – непр. не обращ. в 0 dy/dx=g(y) => dy/g(y)=dx => равны интегралы: ∫(dy/g(y))=∫dx => x+C=∫dx/g(y)

Примеры: y′=3(y²+1) dy/(y²+1)=3dx => arctg(y)=3x+C => общее решение

Опр: Решение урав-ния (**) записано в неявном виде: Ф(x,y) =0 – называется интегралом д.у. (**) => решить дифф. уравнения = проинтегрировать.

2.2) Пусть g(y) =0 – имеет решение. y=m – проверка является ли оно решением. y′=0 => 0=g(m)=0 => φ=m – в ответ!

Пример: y′=y a) y≠0 dy/y=dx ∫(dy/y)=x+C ln|x| =x+C => |y|=e^x+C => |y|=e^с *e^x =(e^с=k k>0) Ответ: |y|=ke^x

б) y=0 – решение. Не существует k>0 ke^x=0 => y=0 – особое решение. В виде одной формулы: |y|=k₁e^x k₁≥0 y=0 содержится в этой формуле {k₁}

3. Уравнения с разделяющими переменными:

(1) Ур-я с разделяющими переменными:

Опр: это ур-ние, выглядящее так: M(x)dx+N(y)dy=0 (*) Пусть M,N –непрер. => Существ. первообразные M(x)dx=N(y)dy => ∫M(x)dx = -∫N(y)dy+C ∫M(x)dx+∫N(y)dy=C – общий интеграл уравнения (*)

Зам: ∫fdx – какая-то одна первообразная.

Пример: (2x+1)dx+(3y²+2y)dy=0 начальное условие: y(0)=0 x²+x+y³+y²=C y(0)=0 => x²+x+y³+y²=0 – решение задачи Коши.

(2) Общий случай:

Опр: ура-ние вида: M₁(x)N(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 или y ′= f(x)*g(y) => уравнение с разделяющими переменными.

Зам: y ′= f(x)*g(y) => dy/dx= f(x)*g(y) => f(x)*g(y)dx – dy=0

Решение д.у.: Если M₁ M₂ N₁ N₂ – непрер. 1) N₁(y)*M₂(x)≠0 => делим на это произведение: (M₁(x) / M₂(x))dx + (N₂(y) / N₁(y))dy =0 => получено ура-ние типа (1) с разделяющимися переменными. Интегрируем его: ∫(M₁(x) / M₂(x))dx + ∫(N₂(y) / N₁(y))dy =С – общий интеграл ура-ния.

2) M₂(x) =0 x=α M₁(y)=0 y=β - надо проверять дополнительно. 1- являются ли решением -? 2 – будут ли они особым решением-?

Пример: x(1+y²)dx+y(1+x²)dy=0 поделим на (1+y²)(1+x²) ≠0 => (x/(1+x²))dx+(y/(1+y²))dy =0 ∫(x/(1+x²))dx + ∫(y/(1+y²))dy = 0 0,5ln(x²+1) + 0,5ln(y²+1) = C ln((x²+1)(y²+1))=C₁ (x²+1)(y²+1)=e^C1= k > 0

(3) Ур-я, сводящиеся к ур-ям с разделяющимися переменными: y′=f(ax+by+c) z = ax+by+с => z(x)-? y′=f(z) => z′=a+by′ => y′=(z′-a)/b (z′-a)/b=f(z) - ура-ние типа (2) с разделяющимися переменными z′= b*f(z) +a dz/dx=b*f(z)+a dx=dz / (a+b*f(z)) ∫dx=∫(dz / (a+b*f(z))) Отдельно разбирается f(z) = -a/b

Пример: y′-y=2x+3 y′=y+2x+3 => z=2x+y+3 z′=2+y′ => z′-2=z dz/dx= z+2 dz/(z+2) =dx (z=-2 – разбирается отдельно) ln|z+2|=x+C CєR |z+2|=e^x+C |x+2|=С₁*e^x C₁=e^c >0 z+2=ke^x k= ±C₁ k≠0 z=ke^x -2 Проверим: z = -2 1) решение (очевидно) 2) не особое решение: (получается из формулы z=ke^x -2 при k=0 ) Ответ: 2x+y+3=ke^x -2 y=ke^x -2x-5 kєR

Зам: Пусть задана задача Коши: y(0)=7 7=k-5 k=-12 => y=12e^x -2x-5 - Частное решение задачи Коши.

4. Однородные уравнения:

Опр: f(x,y) – называется однородной функцией степени k, если при любом α: f(αx; αy) ≡f(x,y)*α^k

Пример: 1) x²y+y³=f(x,y) – однородная функция 3 степени. (αx)²(αy)+(αy)³ =α³(yx³+y³) 2) sin(y/x) + e^(y/x) +x/y – однородная функция нулевой степени. f(αx; αy) =α⁰*f(x,y)=f(x,y) => если

подставить пропадает коэффициент. => ничего не изменится.

Зам: (1) если f(x,y) –однородная функция нулевой степени, то существует φ(t): f(x,y) = φ(y/x)

Док-во: при любом α: f(αx, αy)= f(x,y) α=1/x => f(1; y/x)=f(x,y) пусть φ(t)=f(1; t) => f(x,y)=φ(y/x) (2) M(x,y) N(x,y) – однородные, одной степени k => M(x,y)/N(x,y) – однородная нулевой степени.

Док-во: f(αx, αy)= M(αx,αy)/N(αx,αy) = (α^k*M(x,y))/(α^k*N(x,y)) =M(x,y)/N(x,y) = f(x,y)

Пример: (x²+xy-y²)/(x²+y²) = (1+y/x-y²/x²)/(1+y²/x²)=φ(y/x)

I Опр: 1) M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 где M,N – однородные, одной степени. 2) y′=f(y/x) (1) и (2) – называются однородными уравнениями.

Зам: (3) Пусть M,N – непрер. N(x,y) – не обращается в ноль 1) => M(x,y) +N(x,y) dy/dx=0 => y′= -M(x,y)/N(x,y) из Зам (2) => (т.к. M,N – однородные, одной степени => -M/N – нулевой степени) => существует f(t): -M(x,y)/N(x,y)=f(x,y) y′=f(y/x)

Решение урав-ния: y′=f(y/x) Замена: z = z(x)-? z = y/x y=xz y′= xz′ +z => урав-ние (2) сводится к xz′+z=f(z) – уравнение с разделяющимися переменными. x*dz/dx= f(z)-z {x=0 рассмотрим отдельно} dz/(f(z)-z) =dx/x f(z)=z z=α y=αx {f(z)=z – может оказаться особым решением}

II Опр: y′= f((ax+by+c)/(a₁x+b₁y+c₁)) – уравнение сводящееся к однородному. Рассмотрим систему { ax+by+c a₁x+b₁y+c₁ } Пусть у нее ровно 1 решение. x=α y=β Замена: x=x₁+α y=y₁+β => сводится к однородному. φ₁(x₁) - ? y′=y₁′ Правая часть: f((ax+by+c)/(a₁x+b₁y+c₁)) = f ((a+by₁/x₁)/(a₁+b₁y₁/x₁) = φ(y₁/x₁) => уравнение свелось к: y₁′=φ(y₁/x₁) – однородное уравнение.

Пример: y′= (x+2y+1)/(2x+y-1) Система: {α+2β+1=0 и 2α+β-1=0} => β= -1 α=1 => Замена: x=x₁+1 y=y₁-1 => y₁′= (x₁+2y₁)/(2x₁+y₁) –однородное уравнение. => делаем замену: z=y₁/x₁ y₁=zx₁ y₁′=z + x₁z′ и т.д…..

5. Уравнения в полных дифференциалах:

Опр: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 - называется в полных дифф, если сущ. U(x,y): dU=Mdx +Ndy

Зам: Если U(x,y) –известно => dU=0 => U(x,y) =C - общее решение.

Теорема: (признак ура-ния в полных дифф.) Пусть M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (*) M,N –непрер. в нек. области D; ∂M/∂y и ∂N/∂x -непрер. в области D, тогда (*) явл. уравнением в полных дифф. <=> ∂M/∂y =∂N/∂x

Док-во: “=>” Дано: * - в полных дифф. => существует U(x,y): dU=M(x,y)dx +N(x,y)dy Но: dU=(∂U/∂x)*dx +(∂U/∂y)*dy ∂U/∂x = M(x,y) ∂U/∂y = N(x,y) => ∂M/∂y=(∂/∂y)*(∂M/∂x)= (∂²U/∂y∂x) ∂N/∂x=(∂/∂y)*(∂N/∂y)= (∂²U/∂x∂y) Смешанные производные равны: т.к. непрер. ∂M/∂y=∂N/∂x

“<=” Дано: ∂M/∂y=∂N/∂x Надо док-ть: что сущ U(x,y): M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU т.е. U(x,y)-? ∂U/∂x = M(x,y) => (1) ∂U/∂y = N(x,y) => (2) Интегрируем: (1) по x: ∫(∂U/∂y)dx = ∫Mdx +φ(y) => U(x,y) = ∫Mdx +φ(y) => Дифф. это ура-ние по y: ∂U/∂y = (∂/∂y)*∫Mdx + φ′(y) = N(x,y) => φ′(y) = N(x,y) - (∂/∂y)*∫Mdx Убедимся, что правая часть = ψ(x,y) – зависит только от y => надо док-ть , что ∂ψ/∂x =0 => ψ(x,y)= ψ(y) и имеем φ′(y)=ψ(y) φ(y)=∫ψ(y)dy => сущ. U(x,y): ∂U/∂x = M ∂U/∂y = N => U(x,y) = ∫(∂/∂x)Mdx + ∫ψ(y)dy

Опр: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 - не явл уравнением в полных дифф.. Но сущ. μ(x,y): после умножения на μ мы получим уравнение в полных дифф. => μ(x,y) – интегрирующий множитель.

Утв: (формулы для поиска μ): μ*M(x,y)dx+ μ*N(x,y)dy=0 –ура-ние в полных дифф. {μ*M=P μ*N=Q} => ∂P/∂y = ∂Q/∂x (μM)′_y = (μN)′_x => μ′_yM + μM′_y = μ′_xN + μN′_x -ура-ние в частных производных.

Частные случаи: 1 случай: μ=μ(x) μ′_x =μ′(x) μ′_y =0 => μM′_y =μ′N+μN′_x μ′= μ(M′_y – N′_x)/N dμ/μ= ((M′_y – N′_x)/N)*dx Если (M′_y – N′_x)/N = f(x) - это Ур-ние с разделяющимися переменными => μ(x) – найдено.

2 случай: μ=μ(y) μ′_y =μ′(y) μ′_x =0 => μN′_x =μ′M+μM′_y dμ/μ= (N′_x – M′_y)/M)dy Если (N′_x – M′_y)/M = g(y) - это Ур-ние с разделяющимися переменными => μ(y) – найдено.

6. Линейные уравнения первого порядка:

Опр: y′+p(x)*y=q(x) где p(x) q(x) – непрер. на (a, b) => линейные уравнения первого порядка.

Утв1: Линейное уравнение первого порядка имеет единственное решение задачи Коши: (x₀,y₀) если x₀є(a, b) y₀ – любое.

Док-во: y′= -p(x)y + q(x) = f(x,y) => Рис: 1) f(x,y) – непрер. (a, b)*R=G 2) ∂f/∂y = -p(x) - непрер. => по т.о. задаче Коши сущ. решение.

Опр: (продолжение) Пусть q(x)≡0 y′+p(x)y - однородное уравнение – ЛОДУ. q(x) ≡0 => y′+p(x)y =q(x) - неоднородное уравнение.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)