Вышка - дифуры (1021455), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теорема: (условие ЛНЗ функций): y₁ ….. y_n – решение ЛОДУ будет ЛНЗ <=> при любом xє(a, b) W(x)≠0

Док-во: “<=” Дано: при любом xє(a, b) W(x)≠0 Но пусть при этом y₁ … y_n ЛЗ на (a, b) => α₁ ….α_n – не все равны 0 , т.ч. α₁y₁+ ….+ α_ny_n =0 по утв. о ЛЗ функциях y_n – лин. комб. y₁ … y_n-1 => y_n=β₁y₁+ …. + β_n-1y_n-1 β_i = -α_i/α_n => W(x) = │y₁ ….. y_n-1 _ β₁y₁ + ...+ β_n-1y_n-1 ; y₁′ ….. y′_n-1 _ β₁y₁′ + ...+ β_n-1y′_n-1 ;......... ; y₁^(n-1) ….. y_n-1^(n-1) _ β₁y₁^(n-1) + ...+ β_n-1y_n-1^(n-1)│ => последний столбец – это комбинация первых (n-1) => W(x)=0 => это противоречие.

“=>” Дано: y₁ … y_n ЛНЗ Пусть сущ. x₀ є (a, b) : W(x₀)=0 => │y₁(x₀) ….. y_n(x₀); y₁′(x₀) ….. y_n′(x₀); ……; y₁^(n-1)(x₀) ….. y_n^(n-1)(x₀)│=0 Рассмотрим СЛЧ относительно C₁ …C_n: Определитель системы равен W(x₀)=0: { C₁y₁(x₀) ….. C_ny_n(x₀)=0 ; C₁y₁′(x₀) ….. C_ny_n′(x₀)=0 ; ……; C₁y₁^(n-1)(x₀) ….. C_ny_n^(n-1)(x₀) =0 } => она имеет бесконечно много решений. => Пусть C₁ …. C_n – ненулевое решение. (не все равны 0) Пусть y=C₁y₁ + … + C_ny_n – т.к. C₁ …. C_n –решение той системы => { y(x₀)=0 ; y′(x₀)=0 ; y^(n-1)(x₀)=0 } => т.к. в ЛОДУ р, р₁,…, p_n – непрер. на (a, b) => то любая задача Коши имеет единственное решение => имеем: y=C₁y₁ + …. + C_ny_n - это решение задачи Коши (x₀; 0,…, 0), но очевидно, что φ(x)≡0 – тоже решение этой задачи Коши => y(x)≡φ(x) => C₁y₁ + …. + C_ny_n ≡0 , на (a, b) => не все C_i =0 => y₁ .. y_n – ЛЗ. => получено противоречие.

Теорема: (общее решение ЛОДУ): L(y)=0 (**) Пусть y₁ … y_n -ФСР , => y= C₁y₁ + …. + C_ny_n –общее решение уравнения (**)

Док-во: Проверим 1) y= C₁y₁ + …. + C_ny_n - очевидно (см. сво-ва решений) 2) Любая задача Коши x₀є (a, b) y₀=y₀′ =…= y₀^(n-1) сущ. (C₁ …C_n ) т.ч. y= C₁y₁ + …. + C_ny_n - решение задачи Коши: Система: { C₁y₁(x₀) ….. C_ny_n(x₀)= y₀ ; C₁y₁′(x₀) ….. C_ny_n′(x₀)= y₀′ ; ……; C₁y₁^(n-1)(x₀) ….. C_ny_n^(n-1)(x₀) = y₀^(n-1)} - ЛСУ относительно C₁ …C_n. её det A = │ y₁(x₀) ….. y_n(x₀); y₁′(x₀) ….. y_n′(x₀); ……; y₁^(n-1)(x₀) ….. y_n^(n-1)(x₀)│= W(x₀) y₁ … y_n – ФСР => W(x₀)≠0 => по т. Кромера существ решен. C₁ … C_n

11. Линейные уравнения с постоянными коэфф.:

y⁽ⁿ⁾ +a₁y^(n-1) +…+ a_n-1y′ +a_ny = f(x) L(y)=f(x) (*) L(y)=0 (**) Рассмотрим уравнение второго порядка (n=2): y′′ +py′+qy=0 (**)

Метод Эйлера: Решение ищется в виде y=e^λx λ-? => подставим это в (**) => y′=λe^λx y′′= λ²e^λx e^λx(λ²+pλ+q)=0 λ²+pλ+q=0 ($)

Опр: Ура-ние: (алгебраическое): λⁿ +a₁λ^(n-1)+….. + a_nλ⁰ =0 – называется характеристическим уравнением.

(1) ($) имеет 2 вещ. корня: λ₁ и λ₂ => y₁= e^λ1x y₂= e^λ2x -решения. (**) Проверим, что y₁ и y₂ - ЛНЗ (=> ФСР y=C₁y₁ + C₂y₂ - общее решение). Для проверки сост. определитель Вронского: W(x) =│y₁ , y₂ ; y₁′ , y₂′ │=│ e^λ1x , e^λ2x ; λ₁e^λ1x , λ₂e^λ2x │= λ₂e^(λ1+λ2)x – λ₁e^(λ1+λ2)x = e^(λ1+λ2)x (λ₂ - λ₁)≠0 => y₁ ; y₂ – ЛНЗ => Ответ: y=C₁e^λ1x + C₂e^λ2x

Зам: (о ЛНЗ двух функций): y₁ y₂ - ЛЗ <=> y₁=αy₂ при любом xє(a, b)

Док-во: => y₁ y₂ –ЛЗ => Пусть k₁ k₂ – не оба равны 0 k₁y₁+k₂y₂=0 => y₁ – k₂y₂/ k₁

<= y₁=αy₂ y₁ – αy₂=0 k₁=1 k₂= -α => ЛЗ

Пример: y′′-y=0 λ²-λ⁰=0 => λ²=1 λ₁=1 λ₂= -1 y₁=e^x y₂=e ^-x =>Ответ: y=C₁e ^x + C₂e ^-x

(2) ($) имеет 2 компл. корня: (его D<0)

//Отступление: Про C-числа:

Опр: Пусть α =b+ai є C e^α=e^a _*(cos b +i*sin b)

Опр: Пусть xєR Я функцию R→C (комплексная функция веществ. перем.)

y(x)=U(x)+i*V(x) U(x) и V(x) є R => y^(k)(x) =U^(k)(x) +i*V^(k)(x) y=e^α(x) (αєC) => y′=αe^αx

Зам: L(y(x))=0 <=> {L(U)=0 и L(V)=0} - очевидно. //

Эти корни будут выглядеть след. образом: λ_1,2 =a ± bi => e^λ1x и e^λ2x - решения (это комплексные функции). e^λ1x = e^(a+bi)x =e^ax+bxi =e^ax(cos bx +i*sin bx)= e^axcos bx +i*e^ax _*sin bx => получаем решение. y₁=e^ax *cos bx y₂= e^ax *sin bx -ЛНЗ (т.к. y₁ ≠αy₂ ) => ФСР => Ответ: y= e^ax(C₁cos bx +C₂sin bx)

(3) ($) имеет 2 одинаковых веществ. корня: (D=0) => q=p²/4 => λ²+pλ+q=0, (λ+p/2)²=0 λ_1,2 = -p/2 => y₁ = e^-px/2 – решение (**) y₂ =x*e^-px/2 - докажем y₂ – решение (**) L(y₂) =0 – проверим:

y′′+py′+p²y/4 =0 y′= e^-px/2 – (xp/2)*e^-px/2 y ′′= (-p/2)*e^-px/2 - (p/2)*e^-px/2 +(xp²/4)*e^-px/2 = -pe^-px/2 +(xp²/4)e^-px/2 => подставим e^-px/2 : e^-px/2(-p+xp²/4 +p-xp²/2 +p²x/4) =0 => y₂ –решение (**) y₁ y₂ – очевидно ЛНЗ => общее решение в 3 случае: y= e^-px/2(C₁ +C₂x)

Решение методом Эйлера в общем случае (для ЛОДУ n-ого порядка с пост. вещ. коэфф.): y⁽ⁿ⁾ +a₁y^(n-1) +…+ a_n-1y′ +a_ny = 0

1) Составим характеристическое ура-ние: λⁿ +a₁λ^(n-1) +a_n-1λ+ a_n=0 2) Решить его (n- корней с учетом кратностей) 3) Составить ФСР по правилам: ПРАВИЛО1: вещественному корню λ, кратности 1 соот 1 решение, кот. выглядит так: e^λx ПРАВИЛО2: веществ. корню λ, кратности k, будет соот. k решений: e^λx , xe^λx , x²e^λx , …. , x^(k-1)e^λx ПРАВИЛО3: паре комплексных сопряженных корней a±bi , соот. два решения: e^axcos bx ; e^axsin bx ПРАВИЛО4: паре комплексных сопряженных корней кратности k, соот. 2k решений: e^axcos bx ; xe^axcos bx ; x²e^axcos bx ; ….; x^k-1e^axcos bx и e^axsin bx ; xe^axsin bx ;……; x^(k-1)e^axsin bx

4) написать ответ: общее решение: (сложить все решения найденные в 3 шаге и домножить их на коэфф)

y=C₁y₁ +…+ C_ny_n где y₁ ….y_n –ФСР

12. Решение ЛНДУ с пост. коэфф.:

Утв: 1) нужно подобрать 1 частное решение φ; 2) решить ЛОДУ: y=C₁y₁ + …. + C_ny_n => Ответ: y= φ(x) + C₁y₁ + …. + C_ny_n

Метод неопределенных коэфф. для подбора частных:

(I) L(y)=f(x) (*) f(x)= e^axP_m(x) P_m- многочлен степени m. a: 1 случай: a – не явл. корнем характ. уравнения. Частное решение: φ(x)=e^axQ_m(x) Q-находится подстановкой. 2 случай: a – явл. корнем кратности k: φ(x)=x^ke^axQ_m(x)

Пример: 1) y′′-5y′+6y=6x²-10x+2 y′′-5y′+6y=0 λ²-5 λ+6=0 λ₁=2 λ₂3 y=C₁e^2x + C₂e^3x - решение ЛОДУ. Правая часть: e^0xP₂(x) a=0 - не корень => φ(x) = Ax² +Bx+C A,B,C - ? y′=2A+B

y′′=2A 2A-10Ax-5B+6Ax²+6Bx+6C=6x²-10x+2 A=1 B=0 C=0

2) y′′-4y′+4y=2e^2x λ_1,2= 2 y= e^2x(C₁+C₂x) Подбор частного решения: a=2 – корень кратности 2 => y=x²(e^2x*b)=bx²e^2x b-? находим производные и подставляем в уравнение => b=1 y₁=x²e^2x Ответ: у=у^2x(C₁+C₂x +x²)

(II) L(y)=f(x) f(x)=e^ax(P_mcos bx +Q_msin bx) α=a+bi – контрольное число: 1 случай: α-не корень. y₁=e^ax(R_s cos bx + R_s′ sin bx) R_s , R_s′ - неизвестные многочлены степени S ; S=max(m,n) 2 случай: корень кратности k (характ. ура-ния) => y₁=x^ke^ax(R_scos bx +R_s′sin bx)

Пример: 1) y′′+y′-2y=e^x(cos x – 7sin x) => λ²+λ-2=0 λ₁= -2 λ₂=1 => y= C₁e^x +C₂e^-2x α=1+i - не корень => y₁=e^x(a*cos x+s*sin x) a, b-? Берем производные => a=2 b=1 y₁= e^x(2cos x+sin x) Ответ: y= C₁e^x +C₂e^-2x + e^x(2cos x+sin x)

2) y′′+y=2sin x => λ= ±i y= C₁cos x + C₂sin x α=i (корень кратности 1) 2sin x=e⁰(2sin x+0cos x) y₁=x(a*cos x +b*sin x) a, b-? b=0 a= -1 y₁= -x*cos x Ответ: н=C₁cos x +C₂ sin x - x*cos x

Утв: (принцип наложения): L(y)=f₁+f₂ (ЛНДУ в общем случае) => y=φ(x, C₁, … ,С_n) – общее решение ЛОДУ. Пусть y₁ – частное решение: L(y)=f₁ y₂- частное решение: L(y)=f₂ , тогда φ=y₁+y₂ –частное решение исходного уравнения. Док-во: Проверим факт: L(φ) =f₁+f₂ : L(y₁+y₂)=L(y₁) +L(y₂) =f₁+f₂ Пример: 1) y′′- 4y+8y=sin 2x α=2i – не корень y₂=a*sin 2x +b*cos 2x a, b-? a=1/10 b=1/20 y₂=(sin 2x)/20 +(cos 2x)/10 Ответ: y=e^2x(C₁cos 2x +C₂sin 2x) + e^2x/4 + y₂

13. Метод вариации произвольных постоянных:

Рассмотрим частную ситуацию: Пусть n=2 y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x) (*)

1) Решить ЛОДУ: y′′+p(x)y′+q(x)y=0 Пусть y₁ и y₂ – ФСР => │y₁ , y₂ ; y₁′ , y₂′ │≠0 при любом xє(a, b) y=C₁y₁ +C₂y₂

2) Считаем С₁ и C₂ – функциями от x , т.е. решение ищется в виде: y=C₁(x)y₁ +C₂(x)y₂ (3) C₁(x) и С₂(x) - ? подставим: y′=C₁′y₁ +C₁y₁′+C₂′y₂ +C₂y₂′ Дополнит. условия: С₁′y₁ +C₂′y₂ =0 (предположение) => y′=C₁y₁′ + C₂y₂′ (2) => y′′C₁′y₁′ +C₁y₁′′ +C₂′y₂′ +C₂y₂′′ (1) Подставим (1) (2) (3) в ура-ние (*): С₁′y₁′′+C₁y₁′′+C₂y₁′+C₂y₂′′+p(x)C₁y₁′ + p(x)C₂y₂′ +q(x)C₁y₁ +q(x)C₂y₂ =f(x) => C₁′y₁′+C₂′y₂′+C₁(y₁′′+py₁′+q) + C₂(y₂′′+py₂′+q)=f(x) y₁′′+py₁′+q=0 и y₂′′+py₂′+q=0 т.к. y₁ и y₂ – решения ЛОДУ => C₁′y₁′+C₂′y₂′ = f(x) имеем систему: { C₁′y₁+C₂′y₂ = 0 и C₁′y₁′+C₂′y₂′ = f(x) } Определитель: │y₁ , y₂ ; y₁′ , y₂′│ ≠0 => система имеет единственное решение. С₁′=φ₁(x) C₂′=φ₂(x) => C₁=∫φ₁dx +k₁ C₂=∫φ₂dx +k₂ Ответ: y=y₁C₁ + y₂C₂

В общем случае, при любом n: L(y)=f(x) - порядок n

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)