2ДУ (1019540)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

15

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется соотношение вида

.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.

Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего условиям, при .

Доказано, что если в некоторой области функция непрерывна вместе со своей частной производной , то в этой области задача Коши имеет решение и при том единственное.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в некоторой области называется совокупность функций (С – произвольная постоянная), удовлетворяющая двум условиям:

1.При любом значении произвольной постоянной С функция является частным решением дифференциального уравнения;

2. Для любых начальных условий задачи Коши при найдется такое значение произвольной постоянной такое что .

Если общее решение неявно определятся соотношением вида , то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Теперь перейдем к конкретным типам дифференциальных уравнений первого порядка

1.Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:

.

Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:

,

где С – произвольная постоянная.

Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

Замечание. Если функция равна нулю в точках , то функции , ,…., являются решениями исходного уравнения. При изложенном методе такие решения могут быть потеряны, поэтому их рекомендуется выписать отдельно.

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде (x,y)=C).

.

Для того, что бы убедиться, что данное уравнение действительно является уравнением с разделяющимися переменными, выразим . Имеем

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла: = .

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Уравнение запишем в виде

.

Тогда , . Заметим, что при . Следовательно, функция является решением данного дифференциального уравнения.

В случае разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла

После вычисления интегралов имеем: .

Потенцируя данное выражение, получаем . Отметим, что решение содержится в полученном выражении общего решения при С=0.

Ответ: .

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Задача 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Поясним, что такая запись подразумевает под дифференциал независимой переменной, под - дифференциал неизвестной функции ( = ).

Перенесем выражения, содержащие в левую часть уравнения, выражения, содержащие - в правую часть. После некоторых простых преобразований, получаем

.

Разделяем переменные

.

Интегрируя правую и левую части, получаем .

Приведем схему вычисления интеграла

.

После вычисления интегралов имеем

.

Потенцируя полученное выражение, имеем .

Ответ: .

2. Однородные уравнения.

Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующий метод его решения. Неизвестную функцию будем искать в виде , где - неизвестная функция. Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Данное уравнение представим в виде

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции . Метод его решения рассмотрен ранее.

Задача 5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Полученное уравнение преобразуем к виду

.

Разделяем переменные

.

Интегрируем правую и левую части

+ .

(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначит не С, а , где . Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

.

Потенцируя, имеем

.

Избавляясь от знака модуля, получаем

.

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

.

Заметим, что в уравнении , выражение при , . Следовательно, функции и являются решениями дифференциального уравнения для неизвестной функции , а значит, функции и являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Решение содержится в решении , если положить С=0.

Ответ: , , где С – произвольная постоянная.

Задача 6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Поскольку данное уравнение является однородным, то неизвестную функцию будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Полученное уравнение преобразуем к виду

Разделяем переменные

Интегрируем правую и левую части

.

Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

.

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

.

Ответ: , где С – произвольная постоянная.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Данное уравнение преобразуем к виду

.

Поскольку правая часть не равна нулю ни при каких значениях , то, разделяя переменные, получаем

.

Интегрируя, имеем

+С.

Приведем схему вычисления интеграла

.

После вычисления интегралов получаем

.

Поскольку , то выражение записываем в виде

.

Ответ: .

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде

,

где Р(х) и Q(х) – известные функции.

Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде , где неизвестная функция, а - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора будет описан позже). Производная равна: = . Подставляя и в исходное уравнение, получаем

+ .

Полученное уравнение преобразуем к виду

.

Подберем функцию так, чтобы было выполнено: .

(Это уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю). Тогда для определения имеем уравнение . Из этого уравнения при известной функции находим :

= ,

где С – произвольная постоянная.

Тогда общее решение имеет вид:

Задача 8. Найти решение задачи Коши:

, .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда = . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: + ; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Произвольную постоянную С определим из условия :

; .

Ответ: .

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда = . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: ; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Ответ:

Задача 10. Найти решение задачи Коши

, .

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .

Найдем функцию :

; ; .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги