2ДУ (1019540), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Определим произвольную постоянную С.
Так как 
, то имеем 
, 
Ответ: 
4. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде
.
Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде 
, где 
- неизвестная функция, а 
- некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора будет описан позже). Производная 
равна: =
. Подставляя 
и в исходное уравнение, получаем
+
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.
Подберем функцию из условия: 
.
(Это уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю).
Тогда для определения имеем уравнение
.
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее.
Задача 11. Найти решение задачи Коши:
, 
.
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: 
. Функцию определяем из условия: 
; 
; 
; 
; 
. Определим : 
; 
; 
+С; 
; 
. Следовательно, общее решение имеет вид 
. Из условия определяем произвольную постоянную С: 
; 
.
Ответ: 
.
Задача 12. Найти решение задачи Коши:
, 
.
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем искать в виде . Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: 
. Функцию определяем из условия: 
; 
; 
; 
; 
. Определим : 
; 
; 
+С; 
; 
.( Знак плюс при извлечении квадратного корня выбран исходя из начальных условий). Следовательно, общее решение имеет вид 
. Из условия определяем произвольную постоянную С: 
; 
Ответ: 
.
Задача 13. Найти решение задачи Коши:
, 
.
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать 
в виде 
. Тогда 
. Подставляя и 
в исходное уравнение, получаем:
; 
.
Функцию 
определяем из условия: 
,
; 
;
; 
. Определим 
:
; 
; 
.
Интегрируем правую и левую части полученного соотношения
.
Приведем схему вычисления полученных интегралов.
.
Для вычисления 
сделаем замену переменных 
, 
, 
. Тогда получаем
Подставляя полученные интегралы в исходное выражение, получаем 
, 
. Следовательно , общее решение имеет вид 
. Используя начальные условия задачи Коши, определим С.
Так как , то 
, С=0.
Тогда имеем 
.
Ответ: .
15
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
