Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 17
Текст из файла (страница 17)
рассмотрим еще один пример. ПРимер 7.1. Пусть требуется найти необходимое и достаточное У~ловие того, что выпуклый четырехугольник является квадратом (4) Находим ряд необходимых условий для этого утверждения: «Диагонали четырехугольника перпендикулярны»; В2' .«Диагонали четырехугольника равны»; 67 В;. «Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам».
Ясно, что каждое из утверждений А » Вь А -+ Вн А — » Вз верно. Анализируем обратные утверждения. Очевидно, неверны следующие из них: Неверны также и следующие утверждения: И только соединение (конъюнкция) всех трех необходимых для А условий Вь 5',, В, дает условие, достаточное для А. Это В, «В, », В;. «Диагонали четырехугольника перпендикулярны, равны и делятся пополам точкой их пересечения».
Таким образом, истинно утверждение (В, л В2», Вз) » А. Кроме того, из истинности утверждений А » В„А » Вь А -» Вз вытекает истинность утверждения А » (В, л Вз л В,). Итак, необходимым и достаточным условием для А является условие В, », Вз л Вз. Противоположны н обратная противоположной теоремы. Закон контрапознцнн. Для теоремы, сформулированной в виде импликации Х вЂ” > ); кроме обратного утверждения т' — » Хможно сформулировать противоположное утверждение. Им называется утверждение вида — Х-» — К Утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, т. е. быть истинным высказыванием, но может таковым и не быть. Это следует из того, что формулы Х вЂ” > 'г'и ~Х» Уне являются равносильными, в чем нетрудно убедиться, составив таблицы истинности данных формул (составьте их).
В этом можно убедиться и на примерах. Возьмем теорему А, -» В, из предыдущего пункта: «Если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны». Составляем противоположное утверждение -А, — > ~В,: «Если в четырехугольнике все стороны не равны, то его диагонали не перпендикулярны». Последнее утверждение неверно, т. е. теоремой не является. Рассмот- 68 рим еще олпу теорему: «Если сумма цифр натурального числа делится на три, то и само число делится на три». Противоположное утверждение для этой теоремы также справедливо, т.е. является теоремой, противоположной данной: «Если сумма цифр натчрального числа не делится на три, то и само число не делится на три». Итак, в том случае, когда утверждение Х-» г'истинно, утверждение -Х вЂ” > — )'может быть как истинным, так и ложным.
Это означает, что утверждение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении. При составлении противоположных утверждений к теоремам, условия и заключения которых представляют собой конъюнкции или дизъюнкции нескольких высказываний, нужно пользоваться законами де Моргана (см. теорему 4.4, р, с). Вспомним, например, теорему Аз -» ~ (см.
э" 7, первый пункт), более подробная запись которой имела вид (А~ ч А ~'- А~" ) -» (В~ ч В -; 'ч В~" ): (а= 90'. ч б = 90' ч у = 90') -» ((а' = Ьт + сз) ч (Ьз = аз + сз) ч (сз = а' + Ь')). Противоположное утверждение для данной теоремы формулируется следующим образом: (и х 90' л ~) х 90 л у х 90') -» ((аз х Ьз+ » с') л (Ь~ х а~+ с') «(с~ х а~+ Ь~)). Предлагается выяснить, справедливо ли это утверждение, т.е. является ли оно теоремой. Остается рассмотреть еще один вид теорем, связываемых с прямыми теоремами вида Х-» ); и установить взаимоотношения между этими видами. Имеется в виду теорема, обратная противоположной: ~ У-» ~Х Мы не случайно назвали теоремой утверждение, обратное противоположному.
Оно действительно будет исгинным тогда и только тогда, когда истинно исходное утверждение, что вытекает из равносильности Х-» У= — У вЂ” » — Х(см. теорему 4.4, б)„называемой законом контрапозиции. Таким образом, на основании закона контрапозиции предложение, обратное какой-либо противоположной теореме, само является теоремой, и вместо доказательства данной теоремы можно доказывать теоречу, обратную противоположной ей.
Модификация структуры математической теоремы. Приведем ряд завносильностей, которые помогают модифицировать структуру чатематической теоремы, не нарушая при этом ее логики. Проверьте равносильными преобразованиями их справедливость: 1) Х-+ (Ул У) ьз (Х-» г ) л (Х » У). Эта равносильность зозволяет теорему, имеющую два следствия (заключения )'и У), засчленить на две теоремы Х» )'и Х» у.
Число следствий может Ьыть любым конечным. В частности, Х-» (Ул Ул Р) сч (Х вЂ” > У) л ° (Х- Х) (Х- и); 2) (Х ч У) -» Уев (Х-» У) л (г-» У). Эта равносильность так ке, как и предыдущая, позволяет теорему, в которой условие тредставляет собой дизъюнкцию двух условий, расчленить на две теоремы: Х вЂ” » У и У вЂ” > Е Она также допускает обобщения типа: 69 (Х ~ У ~ У) » $'= (Х» Р) л (У-» К) л (У вЂ” » К).
На практике данная равносильность скорее применяется в обратном направлении — для объединения ряда теорем с общим заключением в одну. Например, рассмотрим следующие три теоремы. А — » 0 (В -» Р, С-«Ю): «Если две биссектрисы (высоты, медианы) треугольника равны, то треугольник — равнобедренный». На основании рассматриваемой равносильности их можно объединить в одну (А ~ В ~ С) » -» Вс «Если в треугольнике две биссектрисы, или две высоты, или две медианы равны, то треугольник — равнобедренный»; 3) (Хл К) -+ Уп (Хл .2) -» — К Эта равносильность представляет собой обобщение понятия теоремы, обратной противоположной (в последнем случае равносильность имеет вид У-+ У га =- -2 — » — У).
Рассмотрим, например, следующую геометрическую теорему: «Если прямая! перпендикулярна двум прямым а и Ь, лежащим в плоскости я (утверждение А), и прямые а и Ь не параллельны т.е. а ~~ Ь (утверждение В), то прямая ! перпендикулярна всякой прямой с, лежащей в плоскости к (утверждение С). На основании рассматриваемой равносильности будет справедлива следуюшая теорема: «Если прямая (перпендикулярна двум прямым а и Ь, лежащим в плоскости я (утверждение А), и не перпендикулярна некоторой прямой с, лежащей в этой плоскости (утверждение С), то прямые а и Ь параллельны т.е.
а (! Ь (утверждение — В)». Ясно, что на основании той же равносильности будет справедлива и такая теорема (В л С) -» А: «Если две прямые а и Ь, лежашие в плоскости я, не параллельны, т.е. а 4' Ь (утверждение В) и прямая! не перпендикулярна хотя бы одной прямой с, лежащей в плоскости я (утверждение — С), то ( не перпендикулярна одной из прямых а или Ь (утверждение -А)». 4) (Х л К) -» У и (Х-» У) ~ (У-» У). Данная равносильность служит ярким примером того, что к трактовке логических равносильностей в рассмотренном выше духе следует все же относиться с осторожностью. Рассмотрим в связи с данной равносильностью, например, следующие утверждения: А: «Четырехугольник — прямоугольник»; В: «Четырехугольник — ромб»; С: «Четырехугольник — квадрат».
Тогда утверждение в левой части равносильности примет вид (А л В) -+ С: «Если четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он является квадратом». Оно, несомненно, истинно. В то же время утверждение в правой части принимает вид (А -+ С) ~ (В -» С): «Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом, или же он является квадратом, если он является ромбом», Это утверждение конечно же ложно.
При этом исходная равносильность справедлива, что можно проверить простыми равносильными преобразованиями. 70 Последняя равносильность является еще одним свидетельством того, что математическая логика отражает процесс человеческого мышления с определенной степенью приближенности. Методы доказательства математических теорем. Метод доказательства от противного, несомненно, один из самых распространенных в математике методов доказательства теорем. Сугь его состоит в следующем. Для того чтобы доказать утверждение (теорему) Х вЂ” > У, т.е.
«Если Х, то У», предполагается, что верно утверждение Х Отсюда нужно логическими рассуждениями прийти к утверждению К Вместо этого делается предположение, противное (т.е. противоположное) тому, которое требуется доказать, т.е. предполагается К Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы приходим к нелепому выводу Х «Нелепость» (абсурдность) вывода состоит в том, что он противоречит исходному данному утверждению Х Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное предположение — Уи принять то, которое требовалось доказать, — У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
