Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Итак, в правильном дедуктивном умозаключении следствие должно быть истинным при условии истинности всех посылок. Отсюда не следует делать вывод, что если среди посылок имеются ложные, то следствие должно быть ложным, хотя и такая ситуация возможна. Следующий пример показывает, что даже при всех ложных посылках правильное умозаключение может дать истинное следствие. Пример 7.8 "Если треугольник равносторонний, то он прямоугольный»; "Если треугольник прямоугольный, то его внутренние углы равны».
"Если треугольник равносторонний, то его внутренние углы равны». 75 Данное умозаключение правильное, так как основано на схеме: Х вЂ” > У, У вЂ” > У - Х » У (правило 6.!4 цепного заключения). В случае когда среди посылок умозаключения имеются ложные, говорят о наличии в умозаключении фактической ошибки; если же неправильным является само дедуктивное умозаключение, то говорят о логической ошибке. В заключение обратим внимание на то, что в отличие от высказываний (суждений), которые делятся на истинные и ложные, умозаключения делятся на правильные и неправильные. Это терминологическое различие не является случайным.
Дело в том, что каждое высказывание утверждает наличие или отсутствие у предметов или явлений тех или иных свойств или отношений между ними. Поэтому каждое высказывание имеет в качестве своего «прообраза» некоторые связи и отношения между предметами и явлениями реального мира и допускает, хотя бы в принципе, проверку на истинность (мы рассматривали такие задачи в начале курса — см. Задачник, М«1.1, М» 1.2).
Именно это обстоятельство подчеркивают, говоря, что данное высказывание является истинным или ложным. В то же время в реальном мире не происходит никаких реальных процессов и явлений, которые можно было бы считать «прообразами» логической операции перехода от одних высказываний к другим. Эта логическая операция является чисто умственной, она происходит лишь в нашем сознании и даже в принципе не допускает «проверки на истинность».
Выделение правильных умозаключений является одним из видов познавательной деятельности, который связан с другими видами познания и основан в конечном итоге на громадном практическом опыте человечества. Правильные н неправильные дедуктивные умозаключения. В ~ 6 разработана теория, позволяющая давать ответ на вопрос, является ли та или иная формула логическим следствием данной совокупности формул или нет, а также находить все логические следствия из данных формул. Применим ее к рассуждениям, представляющим собой последовательности высказываний (суждений), для того чтобы определить, правильно рассуждение или нет, т.е.
правильное или неправильное умозаключение сделано с помощью данного рассуждения из данных посылок. Пример 7.9. Рассмотрим следующее рассуждение: «Если четырехугольник АВС.0 — параллелограмм, то его противоположные углы равны. Четырехугольник АВСЮ вЂ” параллелограмм. Следовательно, его противоположные углы равны». Чтобы ответить на вопрос, верно ли это рассуждение, нужно выяснить, будет ли формула алгебры высказываний, отражающая структуру заключения данного рассуждения, логическим следствием формул алгебры высказываний, отражающих структуры его посылок.
Структура посылок выражается формулами Х Х -+ У, а структура заключе- 76 ния — формулой К (Легко убедиться в этом, если вместо пропозициональной переменной Х подставить в формулы высказывание «Четырехугольник АВСР— параллелограмм», а вместо т'— высказывание: «Противоположные углы четырехугольника АВС1) равны».) Известно (см. правило 6.8), что формула г'является логическим следствием формул Х, Х-+ К Поэтому приведенное рассуждение является правильным, и сделанное заключение действительно следует из посылок. Рассуждения такой формы нередки в математике.
Приведем еще одно подобное рассуждение: «Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3. 10 делится на 3. Следовательно, !00 делится на 3». Проведенное рассуждение правильно, но его заключение ложно. Это обстоятельство не должно нас смущать: ведь правильное рассуждение приводит к истинному утверждению при условии, что все посылки рассуждения были истинными. В данном случае из двух посылок одна не является истинной. Пример 7.10. Рассмотрим следующее рассуждение: «Если курс математической логики неинтересен, то он полезен.
Курс математической логики бесполезен или нетруден. Курс математической логики труден. Следовательно, этот курс интересен», Введем обозначения: Х: «Курс математической логики интересен»; Р: «Курс математической логики полезен»; У: «Курс математической логики труден». Тогда для ответа на вопрос, правильно ли приведенное рассужпение, нужно выяснить, справедливо ли следующее логическое следование: Х вЂ” » ); — У« — У, У Х. Покажем, что оно справедливо. На основании равносильности из теоремы 4.4, у вторую посылку можно заменить на т — > —,Е Далее по правилу 6.14 имеем ~Х вЂ” » г', г' — » У~ ~Х» У.
Затем по правилу 6.13 ~Х вЂ” > У~ У-» Х Последняя формула, на основании равносильности из теоремы 4.4, а, равносильна формуле У вЂ” » Х. Наконец, привлекая еще не использованную третью посылку У, получаем на основании правила 6.8 У, У вЂ” > Х ~ Х Учитывая свойство выводимости, установленное в теореме 6.5, б, заключаем, что рассматриваемое логическое следование справедливо, и, таким обРазом, данное рассуждение правильно.
Разберите приведенные в Задачнике решения задач )ч» 3.32, 3,35, 3.36, 3.44, 348 Обратим особое внимание на два типа наиболее часто встречающихся неправильных рассуждений. Первое рассуждение выглядит так. Мы исходим из некоторого предположения и, правильно Рассуждая, приходим к правильному выводу. Отсюда делаем вывод, что сделанное предположение верно. С точки зрения математической логики схема этого рассуждения такова: из истинности 77 утверждений Х-» Уи уделяется вывод об истинности утверждения Х Чтобы ответить на вопрос о правильности такой схемы рассуждений, рассмотрим два примера рассуждений, основанных на этой схеме. Пример 7.11. «Если число натуральное, то оно рациональное (А -» — » В).
Число!7 рациональное (В). Следовательно, число 17 натуральное (А)». Пример 7. 12. «Если число натуральное, то оно рациональное (А -+ — » В). Число 3/4 рациональное (В). Следовательно, число 3/4 натуральное (А)». В каждом из этих рассуждений обе посылки являются истинными утверждениями. Но в первом случае мы приходим к истинному заключению (число 17 — натуральное), а во втором — к ложному (число 3/4 не натуральное). Это означает, что неверной является сама схема построения умозаключения, примененная в этих примерах.
Неверность, неправомочность схемы означает, что между посылками и заключением нет отношения логического следования. Здесь еще раз уместно подчеркнуть, что правильность умозаключения определяется формой умозаключения, а не истинностью входящих в него утверждений. Иначе говоря, анализируя правильность рассуждения, нужно помнить о том, что его правильность не совпадает с истинностью полученного заключения. Схема умозаключения — это и есть то, что изучает логика, а истинность утверждений, входящих в рассуждение, — это прерогатива той науки (или практики), откуда взяты эти утверждения. Развивая эту мысль, можно заметить, что и термин «следует» употребляется в разных смыслах.
Важно понимать существенное различие между следованиями: «из Г-» б следует - 6 — > —,Р» и «из а < 3 следует а < 5». Первое — утверждение логики, т.е. логическое следование, второе — как свойство отношения порядка < в каком-то числовом множестве, есть некое математическое следование (т.е. следование в рамках некоторой математической теории). Мы придем к подробному рассмотрению этой связи в гл. б при уточнении понятия доказательства.
Итак, неправильность рассмотренной схемы рассуждений приводит к тому, что относительно исходного предположения Хнельзя сделать вывод о его истинности: оно может быть как истинным, так и неистинным, причем его истинность или ложность никак не связаны с проведенным рассуждением. Этот же вывод подтверждает математическая логика: логическое следование Х» 'г', У~ Х несправедливо„потому что формула ((Х-» У) л )') -» Х не является тавтологией (проверьте!). Тем не менее рассуждения по указанной схеме нередко встречаются в школьной практике, особенно в алгебре и тригонометрии.
Так, при доказательстве тождества рассуждения начинаются 78 именно с этого тождества: обе его части преобразуют так, что оно превращается в некоторое очевидное тождество. После этого лелается заключение о том, что исходное тождество верно. Узнаете рассмотренную схему? Например, при доказательстве тригонометрического тождества 51пх+ созх 1вЗ.+гв1.+ге +1 созз х можно встретить такие рассуждения. «Умножим обе его части на созз х Получим: яп х + сов х = яп' х + яп х сов х + яп х сов~ х + сов' х. Сгруппируем слагаемые в правой части: яп х+ сов х = яп' х (яп х+ соя х) + созз х (яп х+ соз х). Продолжим группировку в правой части: яп х+ сов х = (яп1 х+ созз х) (яп х+ сов х).
Поделим обе части наяпх+созх. Получим: 1=япзх+соззх— известное тождество. Отсюда делается вывод, что исходное тождество доказано». В данном случае правильным доказательством будет проведение рассуждений в обратном направлении, от известного (очевидного) тождества к исходному, данному тождеству. Эти рассуждения-преобразования здесь проделать можно и тем самым действительно доказать данное тождество. Но нередко умозаключение по такой неверной схеме приводит к ошибкам, т.е.
к ложным утверждениям. Такие рассуждения иногда относят к разряду занимательной математики, где они получили название «паралоксов» или «софизмов». Пример 7.13. Рассмотрим пример софизма. Докажем, что 3 = 7. Из чисел 3 и 7 вычтем одно и то же число 5. Получим: 3 — 5 = -2, 7 — 5 = 2. Возведем числа — 2 и 2 в квадрат. В результате получим Равные числа: (-2)1= 4 и 21 = 4. Следовательно, должны быть равны и исходные числа: 3 = 7. Ясно, что полученное заключение ложно. Проанализируем проведенное рассуждение, чтобы обнаружить допущенную ошибку. Рассуждение состоит из трех шагов. Выделим эти шаги более отчетливо. П е р в ы й ш а г (вычитание из целых чисел 3 и 7 целого числа 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
