Горбатов В.А. - Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика - 2000 (1019108), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Относительное линейное расстолние И (А, В) определяется как з(,(А, В) = н 1 Н,(А, В). Для примера 1.16 Ы (А, В) = 6 1 2.1 = 0.35. Очевидно, что 0 < Н,л(А, В) < 1. Евклидовым (квадрагпным) расстолнием Ы,(А, В) между нечеткими подмножествами А, В С 1 называется число где и — размерность пространства 1. Очевидно, что 0 «ЦА, В) < /й. Озпносительное свзслидово рассзполние зз„(А, В) определяется как с(зо(А~В) = (1/й) ' с(з(А~ В). Очевидно, что 0 < зз', (А, В) < 1. Пример 1.17. Вычислимо,(А, В) и о„(А, В) длпнечетвих подмноиесгв, ввденвыл в примере 1. 16: цА, В) = Олз+ОА +02 +Об +ОЗз+08 =Л1бзп 107, Изз(А, В) = б 1,07 0.18. Легка показать что детерминированное подмнажесхво А является ближайшим в смысле наименьшего значения евклидова рассхаяния от нечеткога подмножества А' при характеристической функции ) 1, если рл~(х;) > 0.5, ззл (х') '( О, если,ил~(хз) < 0 5.
Пример 1.18. Пусть нечеткое подмноиество А' имеет внд А' 0„2 0.8 0,4 0.8 0.6 0.9 тогда блннвйзпнм детермивироввннмм подмноиестеом будет А 0 1 0 0 1 1 Рассмотрим еще два определения "расстоянняо — линейный индекс нечепзкосзни Л(А'), вычисляемый через относительное линейное расстояние зз (А', А), и квадратичный индекс нечеткости )((А'), определяемый посредством охносительного евклидова расстояния с(, (А', А): п Л(А') = 2 (и) ~ ~(~узл (х;) — рл(х;)~), зю1 Х(А') =2 Ю где и — размерность пространства. Козффициент 2 в выражениях проставлен для того, чтобы выполнялось 0 < Л(А') < 1, 0 < )((А') < 1, так как относительное линейное расстояние Н (А', А) и относихельнае евклидова расстояние з(, (А', А) принимают значения на отрезке (О; 0.5).
, Пример 1.19. Вычислим линейный и кввдрвтнчный индексы нечеткости лодмноиествв А'. А' 0,1 0.8 1.0 0,6 0.8 11.11. Задачи и упражненив 86 Гл. 1. Основы многосоргпных множесгпэ Нечеткое подмноиество А' определяет блинайшее детерминированное подмнанество А: А 0 1 1 1 0 Отсюда получаем линейный и квадратичный индексы нечеткости: Л(А') т 2 ° (5) г ()0.1 — О.О)+ )0.8 — 1.0)+ + ~1.0 — 1.0)+)0.6 — 1.0)+)0.5 — 0.0)) = 2 ° 5 1 2 =0.48, д(А') л 2 ° (г(5) М.48 т 0.83. Применение операций в алгебре нечегзнх мианестз изменяет индекс иечехкасти случайным образом. 31.11. Задачи и уирапиеиия 1.1. Доказать, что А С В ЬЬ А О В = В ЬЬ А О В т А ЬЬ А 1 В = Ы ЬЬ А О В ю 1. 1.3. Дакавать, что Агг(В1А)=ы, А~(ВОС)+(А~В)~С.
1.3. Решит систему уравиевий А1Х=В, АОХ= С, где А, В, С вЂ” заданные мноиестза и В С А С С. 1А. Доказать, что А = В ьь (А 1 В) О (В 1 А) = в. 1.$. Докааать, что если отыошекия Яь и Яг рефлексивны, то рефлексивиы и отношевияЯь О Яг, Яг ОВг. 1.6. Доказать, что если атыошенвя Вг и Вг симметричны, то симметричны и отношения Вг О Яг, Яг О Вг. 1.Т.
Доказать, что кагечное множество мощности и солерыит пЧ(р!(л — р)!) различных подмноыеств мошносты р < п. 1.$. Докаэахь, чхо 0 М; — наименьшее мнонестао содернашее все мноие) ства М;. 1.9. Докааать, по ПМ; — наибольшее мвонество содернащеесяво всех ) мнаыестаах Мо 1.10. Доказать, что если М, Мь, М, и Ма ие пусты, то: а) М» С Мь и М, С Ма ьь М» х М, С Мь х Ма; б)М тМьвМ,=МаььМ хМ»=МьхМа.
» и и 1.11. Показать, что П М, х П Мь; = П(М»ь х Мь;). ) г 1.13. Докавать, что (М. х Мь)О(М, х Ма) С(М.оМ.) х(МьыМа). Установихь, в каком случае в этой формуле имеется равенство. 1.13. Доказать, что: а)(М ОМь) хМ»=(М, хМ»)О(МьхМ,); б) М х (Мь О М») = (М х Мь) ц (М х М,); в) (М ОМь) х(М»ыМа) =(М,хМ»)ц(МьхМ»)ьг(М»хМа)О(МьхМа); г) 0 М»п х 0 Мь; = П (М, х Мь,); и п д) П М ) х П Мь, = П (М, х Мьь) 1.14.
Построить бинарное отношение: а) рефлексюпюе, симметричное, иетрэнэитывюе; 6) рефлексиввое, трвнэитлэиое, несюаьгетрычное; з) иерефлексивиое, аитисимметрнчюе, иетраиаытивное. 1.1$. Накые ив следуюшых атыошепвй являются однозначными, кавие обрат- но одноэначюами и какие зазывно одновиачвыми: (х, у) Е Я ьь у есть степ х, (х у) Е Я ьь у есть сын х (х, у) Е Я гь х = уг, (х у)ЕВььхг=у, (х, у) Е В ьь )х + 5) ) )3 — у)Т 1.16. Найти число всевоэмоивых агпысимметричвых бвнарных отношений меиду эаемеихамы канедюго маонества, состоящего вэ и элементов.
1.1Т. Пусть М вЂ” мнонество всех параллелограммов иа плоскости, А)в мноиество квадратов, Аг — мноиества прямоугольннкав) Аэ — мнонество ром- бов на плоскости. Найти результаты следующих операций: А;ОА, АьОАг, А;ОА, ь,у=1,2,3. 1.19. Доказать, что дза мнаиества равны тогда и только тогда, когда результаты их пересечения и объединения совпадают.
1.19. Известно, чта иэ 100 студентов нивописью увлекаются 28, спортом 42, музыкой 30, иивописью и спортом 10, вшвокисыо и мувыкой 8, спорхом и музыкой 5, ниваписью, спартак и муэьппЖ 3. Овредеюпь: а) колйчество студентов, увлекающихся только сюртом; б) ничем ие увлекающихся. 130. Установить, обраэуех ли группу алгебра с носителем (О, 1, 2, ..., р-1) и сигватурой — океракней слнкения ко модулю р. 1.31.
Выяснить, образует ли грудку алгебра с насихелем (О, 1, 2, ..., у- 1) и сигнатурой — операцией умноыеиня ко модулю р. 1.33. Является ли юным алгебра с носителем (О, 1, 2, ..., р — 1) ы сгынахурой — операциями словения и умноиения по модулю рТ 1.23. Показать, что атюшеиие < в мионесхзе целых чисел ат 1 до $ манна задать треуголыюй матрицей смеыйости. 1.34. Допевать, па любое юдьппвкество частично упорядоченного мнонества имеет не более одной верхней и одной витый грани. 1.35. Длы мноиества двоичных векторов длины 4 посхроить граф, задающий отношение Х, < Хь ьь (Ух.ь.
хь;)(х», < хь,) Выяснить, задает ли этот граф алгебру, если да, то устаюзить резулюат операций умповения и словения. 1.36. Обоэиачюг через (М х Мь, р) = и, х Вь, Я» =(М„<), Вь=(Мь,<), мноиество, для каторога (пь„, ть,)р(т»,, ть,) ьь т ь < т,.5стьь < тьп Покааать, что: 89 3 1.11. Эодачп и рпралснеипл Гл. 1. Основы лногосортных мнолсестз 88 а) В, х Вь — частично упорядоченное множество; б) Н, х Вь является цепью тольао в том случае, если Н или Вь состоит нз одного элемента. 1.2Т. Допааать, что шобая цепь является дистрибутивной решеткой.
1.26. Интервал (а, Ь) в частично упорядоченном множестве состоит иа всех элементов з, удовлетворяющих условию о ( х ( Ь. Докааать, что: а) сечение дву:с внтервалов является пйтервэлом (быть монт, пустым); б) любой интервал в решетке является подрешеткой. 1.23.
Рассмотрим объединение множеств вэавмно простых чисел М и множества всех произведеввй, сомножителями которых являются элементы множества М; определим слоненке н умножение в этом объедяненви кап вычисление наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя соответственно. Установить, является ли совокупность объединения рассмотренных множеств и операций словения и уь»по!кения булевой алгеброй.
1.30. Доказать, что в любом поммутатнвиом кольце »-! / (а+Ь)" то" + ~~ ~, о»»Ь'+Ь". »/ ьы 1.31. Допевать, что в любом коммутатнвиом польце »!» т+» ( Ь)» «Ь» (»»)» т» 1.32. Рассмотрев совокупность (М, О, +, х), где 0 + 0 О и 0 х 0 = О, выяснить, является ли она: кольцом; телом; полем. 1.33. Доказать, что минимальное число цепей э представлении кокечиого частично упорядоченного множества в виде суммы целей равно максимальному числу попарно несравнимых элементов. 1.34, Доказать» что в каждой решетке: а) (о < Ь)6»(с <»з) -+ а о с < Ь о»1; б) (о < Ь)6»(с < Ь) -+ а о с < Ь; в) (о < Ь) -+ (Ус)(о и с) < (Ь О с); г) (о < Ь) 1»(с < 3) -+ а й с < Ь й»з; д) (а < Ь)6»(а ( с) -+ о ( Ь й с; е) (о < Ь) -+ (Ус)(айс) ( (Ьйс).
1.35. Допевать что в каждой решетке для любых элементов о, Ь, с: а) ООЬйс < ~оиЬ)й(аис); б) а й (Ь о с) > а й Ь о о й с; в) а < Ь-ь а ОЬйс < (а Ос) йЬ. 1.36, Доказать, что решены модулярна тогда и тольао тогда, когда для любых трех элементов а, Ь, с а йЬисй(аиЬ) = (ойЬис) Г»(а иЬ). 1.3Т. Доказать, что решетка дистрибутиана тогда н только тогда, когда для любых трех элементов а, Ь, с а й (Ь О с) и Ь й с = (с О а й Ь) й (а и Ь).
1.36. Найти мноиество»заарещенных фигур, выводящее частично упорядоченное множество из класса решеток. 1.36. Метрическое пространство является совокупностью множества М с заданным в нем расстоянием з(яь„ть) между двумя любымн элементами т, ть Е М, удовлетворяющим следующим условиям! з(»н», пьь) > О, если»н 14 пзь, и з(гл,„пьь) = О, еслиэлементы совпадают; з(пь, ть) = з(пзь, т ); з(т„, пьь) + з(пзь, т,) < з(»л„»н,) (условке треугольника).
Задать метрику в гиперкубе к установить, что опа собой представляет. 1.40. Доказать, что в совершенной НФК множества М прн замене каждой операции объединения иа симметрическую равность равенство ие нарушается. 1.41. Установить, является ли форма М(М», Мз, Мз) = М! й Мз й Мз о М! й М! й Мз и Мз совершенной. 1.42.
Установить» является лн форма М(М„М,, Мз) т М! й )Ьуз О М! О)(уз и Мз й Мз О М! й Мз сокращенной. 1А3. Минимизировать в классе нормальных форм Кантора множество М, заданное каэ объединение своих канституеит! М(м!, Мз, Мз, М») = О(0, 2, 7, 8, 11, 14, 15), где десятнчнь»е числа являются чнсловымя эквивалентамн двоичимх векторов, определяющих соответствующие поистятуенты этого множества.
1А4. Определить'сложность минимальной скобочной формы множества М, заданного своей нормальной формой: М = М! й Мз й Мз О М! й Мз Г! Мз О М! й Мз й М» й й М» О Мз й М» й М, й Ме. 1.45. Найти число тупиковых НФК множества М(м, Мз, Мю М» ) = М! й Мз й Мз и М, й М, й М» и Мз й Мз й й М! й М» О М! й Мз й М». 1.46. Определить ранг (чпсло констнтуеит) мзюжества М(мь, Мз,, М» ) = (М» й Ме О М! й Мз) Г! (М! й Мз О Мз й М»). 1.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
