Горбатов В.А. - Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика - 2000 (1019108), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Дадим строгое определение нечеткого подмножества. Пусть М вЂ” множество и х — элемент М. Тогда нечетпное подмножества А множества М определяется как множество упорядоченных пар (х, )зА(х)) Чх б М, где )зА(н) — характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения на упорядоченном множестве Р, которая указывает степень или уровень принадлежности элемента х к подмножеству А. Множество Р будет называться множеством принадлежностей.
Если Р = ~0, 1), то нечеткое подмножества А будет рассматриваться как не нечеткое", или "обычное" подмножество. Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия, используя математические структуры. Рассмотрим несколько примеров: 1) нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу и, где и б В (1( — множество действительных чисел); 2) нечеткое подмножество целых чисел, близких к 0; 3) пусть а — действительное числа и х — небольшое положительное приращение о; тогда числа а+ х образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел. Пусть М вЂ” множество, Р— множество принадлежностей, А и  — два нечетких подмножества М. Будем говорить, что А содержится в В, если (((х б М) ()зл(х) < рн(х)), и обозначать А С В.
Строгое включение соответствует случаю, когда по крайней мере одно неравенство строгое, и обозначается А СС В. Пусть М вЂ” множество, Р— множество принадлежностей, А и  — два нечетких подмножества. Скажем, что А и В ровны тогда и только тогда, когда (зх б М) ()зл(х) = рн(х)), и будем обозначать А = В. Если найдется по крайней мере один такой элемент х из М, что равенство р,((х) = )зн(х) не удовлетворяется, то мы будем говорить, что А и В не равны, и обозначать А ф В.
Определим операции над нечеткими подмножествами, аналогичные операциям алгебры Кантора. Дополнение. Пусть М вЂ” множество, Р = (О, 1) — множество принадлежностей, А и  — два нечетких подмножества; скажем, чта А и В дополняют друг друга: А = В или В = А, если (Ух б М) (рА(х) = 1 — рн(х)). Очевидна, что имеет место закон двайнага дополнения А = А. Для нечетких подмножеств можно построить визуальное представление, родственное представлению обычных подмножеств, используя диаграммы Эйлера. Визуальное представление операции дополнения показано на рис.
1.25; при этом использована прямо- 1 (з(х) 1 (з(х) (з(х о х л( Рнс. 1.2$ АПВ Р .126 шее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В (рис. 1.20): (Чх б М) (узлов(х) = ш(п()зл(х), )зн(х))). угольная система координат, на оси ординат которой откладываются значения )зл(х), а на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы множества М. Принадлежность каждого элемента определяется величиной его ординаты, заштрихованная часть наглядно изображает нечеткое подмножество А С М. ззр имер 1.11. М = (х,/ з = 1, ..., 5), Р хз (О, 1), А= ((хз)0 1), (хз)06), (хз)0 4), (хз)00), (хз)1 О)).
Твгдв двлвлнгннв мнвнесхвв А нмввт внл А = ((хз)0.9), (хз!0.4), (хз)0.6), (хз)1.0), (хз!0,0)). Пересечение. Пусть М вЂ” множество и Р = (О, 1) — соответствующее ему множества принадлежностей, А и  — два нечетких подмножества М. Пересечение А () В определяют как наиболь- $1.9. Нечетпкие подмножество 78 А1В Рис. 1.28 АЦВ м Рис.
1.27 Гл.1. Основы многосорзпных множесозе Пример 1.12. М = (х;! з = 1, ..., $), Р хз [О, 11, А = ((хз/0.2), (хз)0.8), (хз)1 0), (хз)0.$), (хз)0.0)), В = ((хз)0.6), (хз!0.4), (хз/0.2), (хз)0.7) (хз)0.9)) А СЗ В = ((хз !О 2), (хз )О 4) (хз(0 2) (хз )О $), (хз )О 0) ). Объединение. Пусть М вЂ” множество и Р = (О, 1] — соответствующее ему множество принадлежностей, А и  — два нечетких подмножества М. Определим объединение А(.) В как нечеткое под- множество, которое содержит как А, так и В (рис. 1.27): (зх Е М) ()зАцв(х) = шах()зА(х), )зв(х))). Результат операции объединения нечетких подмножеств А и В (см.
пример 1.12) имеет вид А 1.1 В =((х1!О.б), (хз)0.8), (хз!1.0), (х4!0.7), (хз)0.9) ). Разность. Операция разности А 1 В, А, В С М определяется соотношением (Чх Е М) ()зл1в(х) = пил()зА(х), 1 — )зв(х)) т. е. А 1 В = А й В (рис. 1.28). Пример 1.13. М ш (х;! з= 1, ..., $), Р =(О, 1), А ж ((хз)0.7), (хз)0.1), (хз)1.0), (хз)0.0), (хз)0.7)), В = ((хз(0.2), (хз/0.8), (хз/1.0), (хз)0.3), (хз)0.6)), В = ((хз!О 8), (хз!О 2), (хз!О 0), (хз)0 7), (хз)0.4)), А ~ В = ((хз)0 7), (хг(0 1), (хз)0 0) (хз)О О) (зз)0 4)) Введенные операции дополнения, пересечения и объединения удовлетворяют законам: комм утатив носзпи АивхзвиА, АГ)ВхзВГ1А; ассоциативности Аи(ВиС) =(Аив) иС, АП(В(1С) =(АПВ) !1С; идемпотентности А (.) А хз А, А П А = А; дистрибутивности А(1(В11С) = АПВ 0АПС, А1)В ПС= (АЦВ) П (А1)С); действия с констанзпами А П Ы хз й1, А (.) И хз А; И вЂ” пустое множество, й1 ь+ (зх;)()за(хз) = О), А П 1 зх А, А (.) 1 хз 1, 1 — универсальное множество, 1 ь+ (зх;) ()зз(х;) = 1); двойного дополнения (инволюиии) А=А; де Моргана АПВ =А()В, АОВ =АОВ; поглои(ения АОАпв = А, Ап(АОВ) =А.
81 11.9. Нечеткие оодмножество Гл. 1. Основы многосортных множеств 80 Докажем, например, закон поглощения: А О А П В +Ф тах()зл(х), ш)п(рл(х), рВ(х))). При рА(х) > рВ(х) имеем шах()зА(х), рп(х)) = )зл(х) ~-) А. При р,4(х) < рВ(х) имеем тах(р,4(х),,ид(х)) = рд(х) 4+ А. Выше было показано, что булеан В(1) универсального множества 1 является дистрибутивной решеткой с дополнениями, *. е. булевой решеткой.
Однако множество нечетких множеств является дистрибутивной решеткой без дополнений; соотношения АПА=Ы, АОА=1 (1.9) в этом случае не выполняются. В силу несправедливости соотношений (1.9) в этой решетке не выполняются законы склеивания АПВОАПВ ФА, (АОВ) П(АОВ) ФА и законы Порецкого АОАПВ = АОВ, АП(АОВ) = АПВ. Действительно, согласно дистрибутивности пересечения относительно объединения получаем А П В О АП В = АП(В О В), В О В ф 1. Следовательно, АПВОАПВ 74 А. Аналогично доказываются и другие соотношения. Множество нечетких подмножеств представляет собой вектор- ную решетку.
° ° Векторной решеткой называется алгебра (М, х, +), где но- ситель М вЂ” множество нечетких подмножеств, сигнатура — опе- рация алгебраического произведения А х В, А, В С М: (зх Е М) (,и ° (х) = )зл(х) )зВ(х)) и алгебраической суммы А+ В, А, В С М: (Чх б М) (и ° (х) =,ид(х) + рВ(х) — рл(х) °,иВ(х)).
Пример 114.М=(х/з=1,2,3,4),Рш(0,1), А,ВСвз, А = ((хз11.0), (хз)ОА), (хз)0.8), (хз)0.3)), В = ((ез)0.4), (вз)0 6)в (хз)0.0), (хз)0 5)), А х В = ((хз)0.40), (ез)0.06), (хз/0.0), (хз)ОА$)), А + В = ((хз)1.0), (хз/0.64), (хз)0.8), (хз)0.65)). Сигнатура векторной решетки удовлетворяет законам: коммртативности АхВ=ВхА, А+В=В+А; ассоциативности А х (В х С) = (А х В) х С, А+ (В + С) = (А+ В) + С; действие с константами Аха=а, А+а=А, Ах1=А. Расширим сигнатуру введенной алгебры унарной операцией до- полнения, определенной в начале этого параграфа (дополнением, определяемым свойством нечеткости подмножества; не путать с дополнением, определенным в 3 1А). Тогда к перечисленным за- конам добавляются еще два: элкок инволюции А=А; эаконы де Моргана А х В = А + В, А+ В = А х В.
Докажем законы де Моргана. Пусть р,4(х) = а, рВ(х) = 6; тогда 1 — аЬ = (1 — а) + (1 — 6) — (1 — а)(1 — 6) = =1 — а+1 — 6 — 1+а+Ь-а Ь=1 — а 6; 1 — (а + Ь вЂ” аЬ) = (1 — а) . (1 — Ь) = 1 — а — 6+ аЬ. Законы дистрибутивности в векторной решетке не выполняются. Действительно, рассмотрим закон дистрибутивности А х (В+ С) = А х В + А х С. Для левой части соотношения имеем а (Ь+ с — Ьс) = аЬ+ ас — аЬс, а для правой— аЬ+ ас — (а6) (ас) = а6+ ас — а Ьс с = р,(х).
Следовательно, закон дистрибутивности не выполняется, если ат ф а. Для операций алгебраического произведения х и алгебраической суммы + также не выполняются закон идемпотентности и соотношения, аналогичные (1.9): Ах Аф а, А+Аф1. Гл. 1, Основы многосортпных мнохсесотв ° ° 82 Связь между операциями х и + и операциями пересечения й и объединения 0 устанавливают законы: А х (В Г1 С) = (А х В) й (А х С), А х (В 0 С) = (А х В) 0 (А х С), А+ (В й С) = (А+ В) й (А + С), А + (В 0 С) = (А + В) 0 (А+ С). Докажем, например, последний закон.
Пусть рл(х) = а, ИВ(х) = Ь, р,(х) = с; тогда левая часть'соотношения имеет вид а + шах(Ь, с) — а шах(Ь, с), правая— 911 Рис. 1.29 сти множества принадлежностей Р. Характеристическая функция р(х) может принимать |Р~ значений; тогда если число порож- шах(а+ Ь вЂ” аЬ, а+ с — ас). При Ь > с слева получаем а+ Ь вЂ” аЬ, справа (учитывая, что а < 1) также а+ Ь вЂ” аЬ.
Аналогичный результат имеем и при Ь<с. Рассмотрим зависимость мощности множества нечетких подмножеств от мощности универсального множества 1 и мошно- 83 1 1.10. Метпрические простпрвнстпвв дающих множеств (размерность универсума) равно и, то мощность множества нечетких подмножеств ~Я(1)~ имеет вид Ф(1П =!Р!". На рис. 1.29 представлена векторная решетка, соответствующая универсальному множеству 1(М1, Мт, Мз) размерности 3 и множеству принадлежностей Р = 10; 0.5; Ц. Векторная решетка определена диаграммой Хассе, в которой каждой вершине н; соответствует вектор Х;: и (н„ов) — дуга, если Х, < Хв, при атом Х, < Хв +В (Чх... хв,.)(хсч < хт,.). Как была оговорена раньше, в диаграмме Хассе по сравнению с графом, определяющим отношение упорядоченности, не указываются петли и транзитивно замыкающие дуги.
8 1ДО. Метрические пространства Некоторые задачи информационной математики сводятся к определению "близости" нечеткого подмножества к подмножеству, выполняющему роль эталона (образца). При решении этих задач, как правило, используется понятие метрического пространства. Метрическим простпранстпвом называется многосортное множество (М, Ю), состоящее из злементов множества М (точек) и определенного в нем расстояния И(тп;, тп ) Е 1т' между любыми двумя точками тп;, тп Е М, удовлетворяющего условиям: нсотприцатпепьностпи У = О, если пт1 = тпт, 1) ), > О, если то; 9Етп~; симметпричностпи Ы(тп;, тп ) = Н(тпт, тп;); тпранзитпив ностпи И(тп;, ту) + Й(тпу, пть) > д(тпь тпь).
Введем широко используемые понятия "расстояния". Рассмотрим детерминированные (обычные) подмножества в пространстве 1. Расстполнием Хсмминга Нь(А, В) между подмно- ч жествами А, В С.1 называется число, равное ), йтл(х') ИВ(х')~, 1=1 где и — размерность пространства. 85 Гл. 1. Основы мноеосортных множеств 84 11.10. Метрические пространства Пример 1.1$. А, В С 1(Мз, Мз, Мз, Мз, Мз), ЦА, В) = ~1 — 0~+ ~0 — Ц+ 11 — 1!+~1 — О!+ ~Π— 1~ =4. Рассхояние Хемминга показывает количество разрядов, в которых соответствующие векторы отличаются. Относительным расстолнием Хемнинга 4, (А, В) между подмножествами А, В С 1 называется число, равное н 1 4, (А, В), где и — размерность пространства 1.
Для примера 1.15 зз (А, В) = 5 1 ° 4 = 0.8. Очевидно, что 0 < з(ь,(А, В) < 1. Обобщим понятие "расстояние Хеммингао для нечетких подмножеств. Обоби1енное рассгполние Хемминга (линейное расстолние) Н,(А, В) между нечеткими подмножествами А, В С 1 определяется значением 2, ~,ил(х;) —,иВ(х;)~, где и — размерность про- ем 1 схрансхва. Пример 1.16. А, В С 1(Мз, Мз, ..., Ме), аз(А, В) ж ~0 2 — 03~+ ~0 8 — 0 9~+ )1 Π— 0 8~+ ~0 Π— О 6~+ + )0.7 — 1.0~ + ~0.8 — 0.0) = 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
