В.И. Игошин - Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов - 2007 (1019105), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Далее, из ЦА! -+ Аз) = 1 и ЦАЗ) = О следует, что Л(А,) = О, а из ЦА~-+ А~) = О следует, что Л(А~) = О. Тогда ЦА~ ч Аз) = Л(А~) ч ч Л(А~) = О ч О = О, что противоречит предположению Л(А, ч А~) = 1. Таким образом, проведенное в данной задаче рассуждение справедливо. К такому выводу мы приходим, если в доказанном логическом следствии вьпюлним подстановку: Х= А, г'= В, У= С, И~= Р. 3.33. Если цех П не будет участвовать в выпуске нового образца продукции, то не будет участвовать и цех 1. Если же цех П будет участвовать в выпуске нового образца, то в этой работе непременно должны быль задействованы цехи 1, П1. Необходимо ли участие цеха П1, если в выпуске нового образца будет участвовать цех 1? 3.34. Если Антон ляжет спать сегодня поздно (А), то утром он будет в нерабочем состоянии (В).
Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что он много времени теряет бесполезно (С). Следовательно, или Антон завтра будет в нерабочем состоянии, или ему будет казаться, что он много времени теряет напрасно. Справедливо ли такое заключение? 3.35. Если я пойду завтра на первое занятие (А), то должен буду рано встать (В), а если я пойду вечером на дискотеку (С), то лягу спать поздно (Р). Если я лягу спать поздно и встану рано, то буду вынужден довольствоваться пятью часами сна. Следует ли отсюда, что я должен или пропустить завтра занятие, или не ходить вечером на дискотеку? Р е ш е н и е.
Посылки нашего рассуждения можно записать в следующем символическом виде: (А -+ В) л (С-+ Р), (Р л В) -+ Е, зЕ. Нам нужно выяснить, вытекает ли отсюда утверждение -зА ~ ~ С. Предположим, что высказывание ~А ~ з С ложно, в то время как все посылки истинны. Тогда Л(~А ч ~ С) = О, т.е. Л(А) = 1 и Л(С) = 1, в то время как Л((А -+ В) л (С-+ Р)) = Л((Р л В) -+ Е) = Л(-зЕ) = 1. 83 Из этих условий заключаем, что ЦЕ) = О, а Л(Р л В) = О.
Следовательно, Л(1)) = О или ЦВ) = О. Если ЦР) = О, то Л(С-+ Р) = Л(С) -+ -+ Л(Р) = 1 -+ О = О и Ц(А -+ В) л (С-+ Р)) = О, что противоречит предположению. Если же Л(В) = О, то аналогично Л(А -+ В) = О и Л((А -+ В) л (С-+ Р)) = О, что снова противоречит предположению. Следовательно, не может быть ложно высказывание ~А ~ -т С, если все данные посылки истинны. Значит, вывод ~А ч -~ С верен.
3.36. Если будет холодно (А), то я надену теплое пальто (В), если рукав будет починен (С). Завтра будет холодно, а рукав не будет починен. Следует ли отсюда, что я не надену теплое пальто? Р е ш е н и е. Посылки нашего рассуждения символически записываются следующим образом: А — » (С -+ В), А л -т С. Спрашивается: следует ли отсюда утверждение -чВ? Предположим, что высказывание -~В ложно, в то время как все посылки являются истинными высказываниями. Тогда Л(-чВ) = О, а Л(В) = 1.
Значит, первая посылка А -» (С -» В) действительно истинна, а вторая будет истинной, если А истинно, а Сложно. Таким образом, ситуация, когда посылки все истинны, а высказывание -~В ложно, вполне возможна. Это означает, что высказывание ~В не следует из данных посылок. 3.37. Андрей или очень переутомился (А), или болен (В). Если он переутомился, то он раздражается (С). Он не раздражается.
Следует ли отсюда, что он не болен? 3.38. Если 2 — простое число (А), то 2 — наименьшее простое число (В). Если 2 — наименьшее простое число, то 1 не является простым числом (С). Следует ли отсюда, что 2 — наименьшее простое число? Следует ли отсюда, что 2 — простое число? 3.39. Если выиграет самарский «Спартак» (А), то Самара будет торжествовать (В). Если же выиграет саратовский «Сокол» (С), то торжествовать будет Саратов (Р). Выиграет или «Спартак», или «Сокол», Однако если выиграет «Спартак», то Саратов не будет торжествовать, а если выиграет «Сокол», то торжествовать не будет Самара. Вытекает ли отсюда, что Самара будет торжествовать тогда и только тогда, когда не будет торжествовать Саратов? 3.40.
Или Анна и Антон одного возраста (А), или Анна старше Антона (В). Если Анна и Антон одного возраста, то Наташа и Антон не одного возраста (С). Если Анна старше Антона, то Антон старше Николая (Р). Следует ли отсюда, что либо Наташа и Антон не одного возраста, либо Антон старше Николая? 3.41. Если 6 — составное число (А), то 12 также составное число (В). Если 12 — составное число, то существует простое число больше, чем 12 (С).
Если существует простое число больше 12, то существует составное число больше 12 (Р). Если 6 делится на 2 (Е), то 6 — составное число. Число 12 составное. Следует ли отсюда, что 6 — составное число? 3.42. Если я поеду автобусом (А), а автобус опоздает (В), то я пропущу назначенное свидание(С). Если я пропущуназначенное 84 свидание и начну огорчаться (Р), то мне не следует ехать домой (Е). Если я не получу работу (Р), то я начну огорчаться и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду автобусом и автобус опоздает, то я получу работу? 3.43. Если Александр выиграет теннисный турнир (А), то он будет доволен (В), а если он будет доволен, то он плохой борец в последующих турнирах (С).
Но если он проиграет этот турнир, то потеряет поддержку своих болельщиков (Ю). Он плохой борец в последующих турнирах, если потеряет поддержку своих болельщиков. Если он плохой борец в последующих турнирах, то ему следует прекратить занятия теннисом (Е). Александр или выиграет этот турнир, или проиграет его. Следовательно, ему нужно прекратить занятия теннисом. Справедливо ли приведенное рассуждение с точки зрения логики? Нахождение всех следствий из посылок.
Решить задачи 3.44— 3.51. 3.44. Найдите все следствия из посылок: «Если сумма цифр целого числа делится на 3, то это число делится на 3 или на 9»; «Если целое число делится на 9, то оно делится на 3». Найденным следствиям придайте содержательный смысл. Р е ш е н и е. Введем обозначения для простых высказываний: Х: «Сумма цифр целого числа делится на 3»; )'.
«Целое число делится на 3»; У: «Целое число делится на 9», Тогда первая посылка символически запишется в виде формулы Х-+ ( У~ Я), а вторая — в виде формулы У вЂ” » У. Задача сводится к тому, чтобы из этих формул получить все формулы, являющиеся их логическими следствиями. Для данных посылок эта задача решена нами в задаче 2.34, л. Остается придать этим формулам содержательный смысл: Х » (У~ У); «Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3 или на 9»; У-+ (Хч У): «Если число делится на 9, то оно делится на 3 или сумма цифр делится на 3»; (Х х 2) -+ У: «Если сумма цифр делится на 3 и число делится на 9, то оно делится на 3», (Х++ Е) ч У: «Сумма цифр делится на 3 тогда и только тогда, когда число делится на 9 или число делится на 3»; Х-+ У: «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3»; У-+ У: «Если число делится на 9, то оно делится на 3»; (Хч Я) -» У: «Если сумма цифр числа делится на 3 или число делится на 9, то число делится на 3», 3.45.
Найдите все следствия из посылок и выразите их в содержательной форме: «Если последняя цифра целого числа чет- на, то число делится на 2 или на 4»; «Если целое число делится на 4, то оно делится на 2», У к а з а н и е. Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и сравните их с посылками предыдущей задачи. 3.46. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»1 «Целое число делится на 2 и не делится на 5», Выразите полученные следствия в содержательной форме. У к а з а н и е.
Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к задаче 2.34, з. 3.47. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник — параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны».
Указание. См. задачу 2.34, ж. 3.48. Какая связь между высказываниями «Данный четырехугольник — ромб» и «Данный четырехугольник — квадрат» логически следует из перечисленных далее посылок: «Если данный четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно-перпендикулярны»; «Если диагонали данного четырехугольника не взаимно- перпендикулярны, то он не является квадратом»; «Если данный четырехугольник — квадрат, то его можно вписать в окружность»; «Неверно, что данный четырехугольник имеет взаимно-перпендикулярные диагонали или не может быть вписан в окружность».
Р е ш е н и е. Введем обозначения для простейших высказываний, входящих в посылки: Х; «Четырехугольник — ромб»; У: «Четырехугольник — квадрат»; У: «Диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны»; 'г': «Четырехугольник можно вписать в окружность», Тогда посылки можно записать символически следующим образом: Х-+ У, -~У-» -~ У, 1'-» 1; -цХ ~ -~ У). Последняя посылка равносильна такой: -~У л 1; и поэтому задача сводится к тому, чтобы из данных посылок получить следствие, зависящее лишь от переменных Хи К Эта задача решена нами в задаче 2.35, л. Остается придать полученной формуле ~Хи -з 1'содержательный смысл: «Четырехугольник не является ни ромбом, ни квадратом».
3.49. Из посылок задачи 3.48 найдите правильное заключение о связи между высказываниями: «Данный четырехугольник — ромб» и «Данный четырехугольник можно вписать в окружность», 3.50. Даны посылки: «Если целое число л больше 1, то оно простое либо составное»; «Если целое число четное, то оно не простое»; «Если целое число больше 1 и не больше 2, то оно четное»; «Если целое число 2, то оно больше 1». Из этих посылок найдите следствие, связывающее высказывания: «Целое число больше 2», «Целое число четное» и «Целое число составное», Указан не. Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к задаче 2.36, л.
3.51. Даны следующие посылки: «Если данный четырехугольник — ромб, то его диагонали перпендикулярны»; «Если данный четырехугольник — квадрат, то его диагонали равны»; «Если диагонали данного четырехугольника не равны, то он не квадрат»; «Диагонали данного четырехугольника не перпендикулярны и равны». Найдите следствие из этих посылок, состоящее из высказываний: а) «Данный четырехугольник — ромб» и «Данный четырехугольник — квадрат»; б) «Данный четырехугольник — ромб» и «Диагонали данного четырехугольника равные, Нахождение посылок для следствий. Решить задачи 3.52 — 3.53. 3.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
