В.И. Игошин - Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов - 2007 (1019105), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Решить задачи 3.11 — 3.15. 3.11. Имеются три следующие теоремы; «Во всяком треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против равных сторон лежат равные углы; 3) против меньшей стороны лежит меньший упи». Примените принцип полной дизъюнкции (т.е. теорему об обратимости системы импликаций, см. задачу 1.21) для доказательства того, что обратные теоремы для всех трех данных теорем верны. Решение.
Для удобства запишем данные утверждения в символической форме, используя связку «если..., то... » и четко вьщеляя условие и заключение каждого из них. Во всяком треугольнике: 1) если а > Ь, то а > б; 2) если а = Ь, то а = 13; 3) а < Ь, то а < 1), где а, Ь вЂ” стороны треугольника, а, б — углы, лежащие против сторон а и Ь соответственно. Тогда ясно, что из трех условий этих теорем: а > Ь, а =Ь и а < Ь вЂ” по меньшей мере одно непременно выполняется, а из трех заключений а > 1), а = 1), а < 1) никакие два не совместны, т.е. конъюнкция любых двух ложна. Поэтому можем применить к этим теоремам принцип полной дизъюнкции (теорему об обратимости системы импликаций) и на его основе заключить, что все три обратные утверждения также верны, т.е.
являются теоремами. 3.12. Даны три теоремы: «Во всяком треугольнике: 1) квадрат стороны, лежащей против острого угла, меньше суммы квадратов двух других его сторон; 2) квадрат стороны, лежащей против прямого угла, равен сумме квадратов двух других его сторон; 3) квадрат стороны, лежащей против тупого угла, больше суммы квадратов двух других его сторон», Примените теорему об обратимости системы импликаций (см. задачу 1.21) для доказательства того„ что обратные утверждения для данных теорем также верны, т.е. являются теоремами. Сформулируйте их. 3.13. Даны следующие теоремы: «В одном и том же круге или в равных кругах: 1) большая хорда ближе к центру; 2) равные хорды одинаково удалены от центра; 3) меньшая хорда дальше отстоит от центра».
Покажите, как применяется теорема об обрати- 75 мости системы импликаций (см. задачу 1.21) для доказательства того, что обратные утверждения также верны. Сформулируйте обратные теоремы. 3.14. Сформулируйте обратные теоремы к следующим трем теоремам: «Для положительного числа ес 1) если Ь < с, то аЬ < ас; 2) если Ь = с, то аЬ = ас; 3) если Ь > с, то аЬ > ас». Нуждаются ли обратные теоремы в доказательстве? Ответ обоснуйте.
3.15. Проанализируйте следующие группы теорем на предмет применимости к ним принципа полной дизъюнкции: а) Если Я > д, то прямая и окружность имеют две точки пересечения (Я вЂ” радиус окружности, И вЂ” расстояние от ее центра до прямой). Если В = д', то прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку). Если Я < И, то прямая и окружность не пересекаются (не имеют общих точек); б) Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше; в) Три теоремы о взаимном расположении двух окружностей (в зависимости от соотношений между суммой радиусов В+ г и расстоянием Н между центрами); г) Если в квадратном уравнении ах'+ Ьх+ с = 0 дискриминант Р > 0 (Р = 0 или Р < 0), то это уравнение имеет два вещественных корня (имеет один вещественный корень или, соответственно, не имеет вещественных корней).
Приведите свои примеры математических теорем, для которых обратные утверждения оказываются верными на основе теоремы об обратимости системы импликаций (принципа полной дизъюнкции, см. задачу 1.21). Необходимые и достаточные условия. Если справедлива теорема «Если А, то В»,'то говорят, что условие А достаточно для В, а условие В необходимо для А. 3.16.
Сформулируйте следующие высказывания, используя связку «если ..., то ... »: а) А достаточно для В; б) А необходимо для В; в) В достаточно для А; г) В необходимо для А. 3.17. Выделив условие и заключение теоремы, сформулируйте ее посредством связки «если..., то...»: а) Для того чтобы функция была дифференцируемой в некоторой точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке; б) Необходимым свойством прямоугольника является равенство его диагоналей; в) Для делимости многочлена Г(х) на линейный двучлен х — а достаточно, чтобы число а было корнем этого многочлена; г) На 5 делятся те целые числа, которые оканчиваются цифрой 0 или цифрой 5; д) Две прямые на плоскости тогда параллельны, когда они перпендикулярны одной и той же прямой; 76 е) Комплексные числа равны, только если равны соответственно их действительные и мнимые части; ж) Всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет не более двух действительных корней; з) Из того, что четырехугольник — ромб, следует, что каждая из его диагоналей служит его осью симметрии; и) Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого; к) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости; л) Для делимости произведения на некоторое число достаточно, чтобы по меньшей мере один из сомножителей делился на это число.
Р е ш е н и е. л) Заключением теоремы является утверждение о делимости произведения на некоторое число. Условием такого заключения служит утверждение о делимости на это число по меньшей мере одного из сомножителей. Данную теорему можно сформулировать так: «Если по меньшей мере один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это числок 3.18. Определите, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны: а) Наличие атгестата зрелости достаточно для поступления в университет; б) Наличие аттестата зрелости необходимо для поступления в университет; в) Периодичность — достаточное условие всякой тригонометрической функции; г) Периодичность — необходимое свойство всякой тригонометрической функции; д) Непрерывность — необходимое и достаточное свойство всякой тригонометрической функции; е) Для существования действительного логарифма числа необходимо и достаточно, чтобы это число было действительным и положительным; ж) Для того чтобы натуральное число р было простым, необходимо и достаточно, чтобы число р+ 1 было четным; з) Для того чтобы медиана треугольника была равна половине стороны, которую она делит пополам, необходимо и достаточно, чтобы она выходила из прямого угла; и) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны; к) Для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен 30'; л) Дифференцируемость функции в точке есть необходимое условие для ее непрерывности в этой точке.
77 У к а з а н и е. Прежде чем отвечать на вопрос, непременно сформулируйте теорему с использованием связки «если..., то...», выделив условие и заключение. 3.19. В следующих высказываниях вместо многоточия вставьте одно из выражений: «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно», чтобы получилось истинное высказывание: а) а — четное число...
для того, чтобы За было четным числом (а — целое число); б) а делилось на с... для того, чтобы а Ь делилось нас с (а, Ь, с — целые числа); в) а и Ь делятся на с... для того, чтобы а + Ь делилось на с (а, Ь, с — целые числа); г) х > 1... для того, чтобы х' — 1 > 0; д) а 1 Ь и Ь |! с... для того, чтобы а '1 с (а, Ь, с — прямые); е) Совпадение центров вписанной и описанной около треугольника окружностей... для того, чтобы треугольник был правильным; ж) а = 11 ... для того, чтобы з1п а = з)п р; з) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ..., чтобы его диагонали были равны; и) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы все его стороны были равны; к) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ..., чтобы все его углы были равны; л) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.
Указание. В задачах 3.18, з, и, к, л имеется в виду выпуклый четырехугольник. 3.20. Даны утверждения: А: Треугольник равнобедренный; В: Два внутренних угла треугольника равны между собой; С: Три внутренних угла треугольника равны между собой; Р: Два внешних угла треугольника равны между собой; Е: Две высоты треугольника равны между собой; Х: Три высоты треугольника равны между собой; Е: Один из углов треугольника равен 45'. а) Какие из перечисленных утверждений и из каких логически следуют? Составьте из соответствующих пар истинные условные высказывания. б) Какие из утверждений В, С, ..., Е служат для утверждения А достаточными условиями; необходимыми; необходимыми и достаточными условиями одновременно? 3.21.
Даны утверждения: А: Пирамида правильная; В: Все боковые ребра пирамиды равны между собой; С: Высоты всех боковых граней пирамиды равны между собой; 78 Ю: Проекция каждого из боковых ребер пирамиды на основание есть биссектриса соответствующего угла основания; Е: Вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. а) Какие из перечисленных утверждений и из каких логически следуют? Составьте из соответствующих пар истинные условные высказывания. б) Какие из утверждений А, В, ..., В являются для утверждения Е достаточными условиями; необходимыми; необходимыми и достаточными условиями одновременно? 3.22.
Используя слова: 1) всякие; 2) если..., то...; 3) только если; 4) необходимо; 5) достаточно; б) те, которые; 7) только те, которые; 8) тогда, когда; 8) только тогда, когда; 10) если нет..., то нет... (без... нет...); 11) содержится, сформулируйте следующие теоремы: а) Вертикальные углы равны; б) Диагонали ромба взаимно-перпендикулярны; в) Равные треугольники подобны; г) Если целое число делится на б, то оно делится на 3; д) Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть центр его симметрии; е) Невырожденная матрица имеет обратную матрицу. 323. Каждое из следующих высказываний сформулируйте в форме равнозначности (с использованием связки «... тогда и только тогда, когда...«): а) Перпендикуляр, проведенный к отрезку через его середину, есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка; б) Две прямые, параллельные данной прямой и находящиеся по разные стороны от нее на расстоянии г, есть геометрическое место центров окружностей радиуса г, касающихся данной прямой в данной плоскости; в) При прибавлении одного и того же числа и к обеим частям уравнения Ях) = 8(х) получаем новое уравнение, имеющее те же корни, что и исходное, и не имеющее никаких других корней; г) При умножении обеих частей данного неравенства 7(х) ) я(х) на одно и то же положительное число т получаем неравенство того же смысла, обладающее тем же самым множеством решений, что и исходное неравенство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
