В.И. Игошин - Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов - 2007 (1019105), страница 14
Текст из файла (страница 14)
На основании закона контрапозиции заключаем, что верно и прямое утверждение. 3.5. Для каждой из следующих теорем найдите все теоремы, т.е. верные утверждения, обратные и противоположные ей (если они есть), и теорему, противоположную обратной: а) Если а = 0 и Ь = О, то а' + Ь' = 0 (а и Ь вЂ” действительные числа); б) Если а делится на Ь и Ь делится на с, то а делится на с (а, Ь, с — целые числа); в) Если аЬ делится на с и а не делится на с, то Ь делится на с (а, Ь, с — целые числа); г) Если а делится на с и Ь делится на с, то а+ Ь делится на с (а, Ь, с — целые числа); д) Если два угла вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу, то они равны между собой; е) Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм; 70 ж) Если две хорды принадлежат равным кругам и равны между собой, то они одинаково удалены от центров этих кругов; з) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой; и) Если плоскость а проходит через прямую 1, перпендикулярную плоскости О, то плоскости а и б перпендикулярны между собой.
Решение. а) Логическая структура этой теоремы (как и всех остальных в данной задаче) выражается следующей формулой алгебры высказываний: (А, л А,) — » В. Ввиду справедливости равносильностей (см. задачу 1.28, с, ц) (А~ л Аг) -+ В: А~ -+ (Аг -+ В) = = А, -+ (А, -» В) данная теорема имеет три равносильные формы, представляющие собой условные высказывания. Для каждой из них можно образовать одно обратное утверждение: В -» (А~ л Аг) (Аг -» В) -+ А~ (А~ -+ В) -+ Аг.
Кроме того, обратив во второй и третьей формах данной теоремы импликации в скобках А, -+ В и А, -» В, получим еще две обратные теоремы: А~ -+ (В -» А~) = (А~ л В) -+ Аг,' Аг -+ (В -+ А~) = (Ат л В) -+ А,. Таким образом, для теоремы (А, л А,) -+ В мы получили пять обратных форм (формул): В -+ (А, л А~), (А, л В) -+ Аъ (А~ л В) -+ -+ А„(А, -+ В) -+ А„(А, -+ В) -+ А,, которые не равносильны между собой, в чем можно убедиться, составив таблицы их истинности. Поскольку теоремы элементарной математики обычно принято формулировать так, чтобы их условия и заключения (если они являются составными высказываниями) сами не содержали условной связки «если..., то.„», а составлялись в виде конъюнкции (реже дизъюнкции) простых высказываний, то мы будем называть обратными утверждениями для данной теоремы (А, л л Аз) -+ В лишь утверждения трех первых форм: В -+ (А, л Ар), (А, л В) -+ А~', (Аз л В) -+ А,.
Произведя контрапозицию этих обратных форм, получим формы, противоположные данной теореме. Их также три: ~(А~ л Аз) -» -зВ =— (-~А~ -+ -зВ) л (-~Ат -+ -~В); ~Аз -+ ~(А~ л В) — = чА~ -+ ( )А~ ч ~В); -зА~ -+ -~(Аз л В) — = -зА~ -+ (~Аз ч ~В). Наконец, произведя контрапозицию исходной теоремы, получим одну теорему, противоположную обратной: -зВ -+ -з(А, л А,).
Найдем соответствующие утверждения для данной теоремы и выясним, какие из них сами являются теоремами: В -+ (А, л А~): «Если а~ + Ьз = О, то а = 0 и Ь = 0»; (А, л В) -+ Аз: «Если а = 0 и а~ + Ь~ = О, то Ь = 0»; (А, л В) -+ А,: «Если Ь = 0 и а' + Ьз = О, то а = 0». 71 Каждое из этих утверждений является теоремой, т.е. мы можем доказать его истинность, причем две последние теоремы из-за коммутативности сложения действительных чисел сливаются в одну: «Если сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю и одно из этих чисел равно нулю, то и другое число равно нулю».
Утверждениями, противоположными данной теореме, являются: -з(А, л А,) -+ ~ — «Если ни одно из действительных чисел не равно О, то и сумма квадратов этих чисел не равна 0»; зА~ -+ -+ (-зА~ и ~В), зА~ -+ (-за ч -зВ) — «Если одно из двух действительных чисел не равно О, то либо и другое не равно О, либо сумма квадратов этих чисел не равна 0». Наконец противоположной обратной является следующая теорема: -зВ -+ (-зА, ч -зА,)— «Если сумма квадратов действительных чисел не равна О, то по меньшей мере одно из этих чисел не равно 0», 3.6. Составив таблицы истинности для обратных форм (формул), рассмотренных в решении предыдущей задачи: У-» (Х~ л л Хз), (Х, л )') -+ Хм (Х~ л У) -+ Х„(Ха -+ У) -+ Хп (Х, -+ У) -+ -+ Ха, определите, какие из этих форм являются логическими следствиями и каких форм.
3.7. Для каждой из следующих теорем найдите все обратные и противоположные теоремы (если они есть), а также теорему, противоположную обратной: а) Если три прямые лежат в одной плоскости и две из них перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны„ б) Если прямая а, лежащая вне плоскости я, параллельна прямой Ь, лежащей в плоскости я, то прямая а и плоскость и параллельны; в) Если прямая лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей и параллельна другой из них, то она параллельна и линии их пересечения; г) Если прямая а пересекает плоскость л и перпендикулярна двум непараллельным прямым Ь и с, принадлежащим этой плоскости, то прямая а перпендикулярна плоскости я; д) Если отрезки параллельных прямых заключены между параллельными прямыми, то они равны между собой.
Р е ш е н и е. д) Логическая структура этой теоремы выражается формулой (А~ л А~ л Аз) -+ В, где использованы следующие обозначения для составляющих высказываний: А,: «Отрезки (АЩ и (СР1 заключены между прямыми 1, и 1~ (т.е. А, С я 1п В, Р я 1з)»; А~: 4АВ1 )~ [СР]; Аз: «1, ~! 1з»; В: «(АВ1 = (СР1». Если исходная теорема имеет структуру (А, л А, л ... л А„) -+ В, то считаем по определению, что обратные ей теоремы содержатся среди тех обратных форм, которые образованы из формы исходной теоремы путем замены всего ее условия или любой части условия заключением, а заключения — соответствующей частью условия или 72 полным условием. При л = 3, согласно этому определению, теоремы, обратные исходной, содержатся среди следующих форм: 1) В-+ (А~ лАз лАз); 5) (А~ л Аз л В) -+ Аз, 2) (А, л В) -+ (А, л Аз)' 6) (Аз л Аз л В) -+ Аз' 3) (Аз л В) -+ (А, л Аз)' 7) (Аз л Аз л В) -+ А,.
4) (Аз л В) -+ (А~ л Аз); Сформулируем соответствующие высказывания для данной исходной теоремы: 1) Если отрезки равны, то они параллельны и заключены между параллельными прямыми; 2) Если равные отрезки заключены между двумя прямыми, то как отрезки, так и заключающие их прямые параллельны; 3) Если два отрезка равны и параллельны, то они заключены между параллельными прямыми; 4) Если два отрезка равны и некоторые две прямые параллельны, то данные отрезки параллельны и заключены между этими прямыми; 5) Если равные и параллельные отрезки заключены между двумя прямыми, то эти прямые параллельны; 6) Если равные отрезки заключены между параллельными прямыми, то эти отрезки параллельны; 7) Если два отрезка равны и параллельны и некоторые две прямые параллельны, то они заключают данные отрезки.
Среди этих высказываний истинными являются 3) и 5). Они и служат теоремами, обратными исходной. Среди утверждений, противоположных исходной теореме, теоремами являются лишь контрапозиции обратных теорем 3) и 5). Эти противоположные теоремы таковы: 3') з(А, л Аз) -+ (-зАз ~ -з В) — «Если отрезки не могут быть заключены между параллельными прямыми, то они или не равны, или не параллельны»; 5') ~Аз -» -з(А, л Аз л В) — «Если две прямые не параллельны, то они не могут заключить равные параллельные отрезки», Наконец теорема, представляющая собой контрапозицию исходной теоремы (противоположная обратной), имеет следующую форму: ~В -+ ~(А, л А, л Аз) и формулируется так: «Если два отрезка не равны, то они не могут быть одновременно параллельными и заключенными между параллельными прямыми», 3.8.
Для каждой из следующих теорем найдите все обратные и противоположные теоремы, а также теорему, противоположную обратной: а) Если целое число делится на 12, то оно делится на 3, а также на 4; б) Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно-перпендикулярны и делят углы пополам; 73 в) Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали равны, взаимно-перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам; г) Если пирамида рассечена плоскостью, параллельной основанию, то ее боковые ребра и высота делятся этим сечением на пропорциональные части, при этом сечением является многоугольник, подобный основанию, а площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.
Р е ш е н и е. а) Логическая структура этой теоремы выражается формулой А -+ (В, л В~). Так как справедлива равносильносп (см. задачу 1.28, е) А -+ (В, л В~) — = (А -+ В,) л (А -+ Вз), то исходная теорема распадается на две теоремы: А — » В~ и А -+ В„ввиду чего обратные теоремы могут иметь форму: 1) (В, л В,) -+ А; 2) В~ -+ А; 3) Вз -+ А, причем форма 1) является следствием как формы 2), так и формы 3). Если формы 2) и 3) одновременно истинны, то их можно заменить одной формой: (В, ч Вг) -+ А.
В нашем случае имеем единственную обратную теорему: (В, л В,) -+ А — «Если целое число делится на 3 и 4, то оно делится на 12», Формы противоположных теорем: -~А -+ ~(В, л В,), -зА -+ -зВп ~А -+ ~Вь В нашем случае из противоположных утверждений истинно (т.е. является теоремой) лишь утверждение первой формы: -зА — » (~В, ~ зВ,) — «Если целое число не делится на 12, то оно не делится на 3 или на 4».
Наконец теорема, противоположная обратной, имеет форму ~(В, л В~) -+ ~А или (-~В, ~ -зВз) -+ -~А — «Если число не делится на 3 или на 4, то оно не делится на 12». 3.9. Составьте все теоремы, обратные и противоположные следующим: а) Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник или квадрат; б) Всякий параллелограмм с взаимно-перпендикулярными диагоналями есть ромб или квадрат; в) Если четырехугольник вписывается в окружность, то он правильный или суммы его противоположных углов равны. Р е ш е н и е. а) Логическая структура этой теоремы выражается формулой А -+ (В, ~ В,). Тогда возможны следующие обратные формы: (В, ~ В,) -+ А, В, -+ А, В, -+ А. Соответственно возможны следующие формы противоположных теорем: -~А -+ (-~В, л -зВ,), ~А -+ зВп ~А -+ зВ,. При этом одновременная истинность двух последних форм (обратных и противоположных) влечет за собой истинность первой формы и обратно.
В нашем случае имеем обратную теорему: (В, ~ В,) -+ А — «Если параллелограмм является прямоугольником или квадратом, то его диагонали равны». Противоположная теорема: зА -+ (-~В, л -зВ~)— «Если диагонали параллелограмма не равны, то этот параллелограмм не является ни прямоугольником, ни квадратом».
74 3.10. Установите логическую форму следующих теорем и найдите все обратные и противоположные им теоремы: а) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то они попарно равны; б) Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей, то она параллельна каждой из этих плоскостей; в) Плоскость я и прямая а параллельны, если существует прямая, лежащая в плоскости я и параллельная прямой а; г) Если существует прямая, принадлежащая одной из двух пересекающихся плоскостей и перпендикулярная другой, то эти плоскости перпендикулярны; д) Прямая а перпендикулярна плоскости я, если а пересекает я и существуют две непараллельные прямые, лежащие в плоскости я и перпендикулярные прямой а. Принцип полной днзъвнкцнн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
