Семенов С.А. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. Том 2 (1018600), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

или по рис.4.Обобщенная функция желательности (таблица) определена по формуле(1.10) и имеет вид1D  exp{ [exp( 3.445  0.0098y1 ) 3 exp( 145.  0.02 y 2 )  exp( 125.  0.01y 3 )]}11www.mitht.ru/e-library(1.16)Наибольшее значение обобщенной функции желательности получено вчетвертом опыте (D=0.810). Хорошие композиции получены также в опытах10 и 13.Номерd1d2d3D10.4100.670.970.64520.4200.670.980.64730.4230.550.960.61040.7300.750.960.81050.4190.680.970.65060.2700.630.970.55070.6400.530.970.68680.3700.710.980.63890.3710.710.970.638100.7400.630.920.759110.7200.530.730.650120.7600.310.240.381130.7800.550.930.732140.8600.580.170.440композиции12www.mitht.ru/e-libraryРис. 4.

Функцияжелательности2. Cложные планыДля определения оптимальной комбинации качественных факторовприменяют методы планирования эксперимента по схеме латинских, гипергреко-латинских квадратов и кубов [2]. Рассмотрим предварительно понятие латинских и греко-латинских квадратов.2.1. Латинские и греко-латинские квадратыКак упоминалось ранее [1], дробный факторный эксперимент (ДФЭ) используется для сокращения числа опытов при выполнении экспериментальной работы. ДФЭ по схеме латинского квадрата был введен впервыеФишером.

Латинский квадрат n  n - это квадратная таблица, составленная из n элементов (чисел или букв) таким образом, что каждый элементповторяется в каждой строке и каждом столбце только один раз [2]. Из трехэлементов образуется латинский квадрат 3  3 :A B CB C AC A B13www.mitht.ru/e-library(2.1)Из четырех элементов - латинский квадрат 4  4 :A B C DB C D AC D A BD A B C(2.2)Cтандартными или каноническими латинскими квадратами называютсятакие квадраты, у которых первая строка и первый столбец построены валфавитном порядке (элементы квадрата - буквы) или в порядке натурального ряда (элементы квадрата и числа).

Квадраты (2.1) и (2.2) являютсястандартными. Построены эти квадраты путем одношаговой циклическойперестановки: вторая строка строится перестановкой в конец строки первого элемента первой строки, третья строка - перестановкой в конец первогоэлемента второй строки и т.д. Одношаговая циклическая перестановка это наиболее простой способ построения латинского квадрата. В общемслучае n  n латинский квадрат может быть построен при n-1 одношаговыхциклических перестановках. Число латинских квадратов зависит от размера квадрата и для n>3 оно достаточно велико. Так, имеется 576 латинскихквадратов 4  4 , 161280 латинских квадратов 5  5 .К планированию эксперимента по схеме латинского квадрата прибегаютпри исследовании влияния на процесс трех факторов А, В и С. При этомфакторы А и В могут быть связаны с самим исследованием, а в качествефактора С рассматривается неоднородность материала.Все три фактора в латинском квадрате имеют одинаковое число уровней (ai, bi, c i).

Так, в плане (табл. 3) каждый фактор изменяется на двухуровнях.Таблица 3.АВb1b214www.mitht.ru/e-librarya1c1c2a2c2c1В табл.3 представлен факторный эксперимент типа 22, на которыйналожен 2х2 латинский квадрат. Матрица планирования – соотвествующийтабл. 3 план эксперимента, включающий три столбца и четыре строчки,представлен в табл. 4.Таблица 4.План эксперимента n=2; N=4НомерАВСy1a1b1c1y12a1b2c2y23a2b1c2y34a2b2c1y4Латинский квадрат является частью плана – по схеме латинскогоквадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план(табл. 3) принято называть латинским квадратом. В латинском квадратекаждый элемент повторяется только один раз в каждой строчке и в каждомстолбце, поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элементаквадрата, они в равной степени скажутся при подсчете средних по стобцами по строкам.

Представленный в табл. 4 план представляет собой половину - полуреплику от ПФЭ 23.Латинский квадрат 3  3 со структурной точки зрения можно рассматривать как 1/3 реплику от полного факторного эксперимента 33. В общем случае латинский квадрат n  n можно рассматривать как 1/n реплику от ПФЭn3.15www.mitht.ru/e-libraryПланирование эксперимента по латинскому квадрату позволяет ввестив исследование три фактора. Для четырех факторов хорошими свойствамиобладает план эксперимента по схеме греко-латинского квадрата.Рассмотрим следующие два латинских квадрата, составленные соответственно из латинских и греческих букв:IIIA B C D E    C D E A B    E A B C D    B C D E AD E A B C    (2.3)    Если наложить эти два латинских квадрата один на другой и составитьтретий квадрат, каждая клетка которого содержит как латинскую, так и греческую букву соответствующих клеток исходных квадратов, то получимA B C D EC D E A BE A B C D(2.4)B C D E AD E A B CВ полученном квадрате каждая буква одного квадрата связана один итолько один раз с каждой буквой другого квадрата.

Такие два латинскихквадрата называются ортогональными. Полученный квадрат второго порядка называют также греко-латинским квадратом. Задача о нахождении16www.mitht.ru/e-libraryортогональных латинских квадратов в комбинаторной математике ещеполностью не решена. Доказано существование ортогональных латинскихквадратов для n=3, 4, 5, 7, 8 и 9.

Известно. что их нет для n=6. Для n=6 поэтому можно построить обычный латинский квадрат и нельзя построитьквадрат второго порядка. Латинский квадрат для n=10 не исследован.Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадрата применяется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов должно быть одинаково.В греко-латинском квадрате имеется n2 различных комбинаций уровнейфакторов вместо n4 комбинаций полного четырехфакторного эксперимента. Поэтому греко-латинский квадрат представляет собой 1/n2 реплику отполного факторного эксперимента. Так, греко-латинский квадрат 3 3представляет собой 1/9 реплику от ПФЭ 34 (N=81), греко-латинский квадрат4  4 - 1/16 реплику от ПФЭ 44, (N=256), 5 5 - 1/25 реплику от ПФЭ 54(N=625).Использование греко-латинских и гипер-греко-латинских квадратов вкачестве планов экспериментов одновременно дает экономию в числе наблюдений и приводит к упрощению вычислений.Основнымдопущением,лежащимвосновеприменениягреко-латинского квадрата и квадратов высших порядков, является предположение об отсутствии взаимодействий между факторами.

Проверить адекватность принятой линейной модели, как и при применении латинских квадратов, можно только при наличии параллельных опытов.2.2. Факторный эксперимент 22k, совмещенныйс латинским квадратом17www.mitht.ru/e-libraryПри совмещении факторного эксперимента l2 с ортогональными латинскими квадратами l  l все факторы вводятся в планирование на четырехуровнях и всего можно исследовать эффекты (l+1) факторов [2].Во многих задачах в планировании наряду с качественными факторамиучаствуют количественные, и их может быть достаточно много. Если всемфакторам задавать одинаковое число уровней l>2, то или потребуетсябольшое количество опытов, или необходимо будет ограничивать величиной (l+1) число факторов, вводимых в план.

Кроме того, для некоторых качественных факторов иногда невозможно задать более двух уровней. В таких задачах полезными оказываются сложные планы: факторный экспериkkмент 22k, совмещенный с латинским квадратом размера 2  2 [2, 5]. Онипозволяют вводить в планирование несколько факторов на l=2k уровнях идостаточно большое число количественных и качественных факторов надвух уровнях.

Такие планы можно построить только для факторного эксперимента 22k с количеством опытов, равным полному квадрату числа 2k, k=2,3, ...Для совмещения факторного эксперимента 22k с латинским квадратомудобно факторный эксперимент 22k представить в виде таблицы с 2k+1 входами, на которую накладывается латинский квадрат размера 2 k  2 k , например табл. 3.Таблица 3.Совмещение факторного эксперимента 24 с латинскимквадратом 4  4x2(-1)x2(+1)x1(-1)x1(+1)x1(-1)x1(+1)x4(-1)x3(-1)ABCDx4(-1)x3(+1)BADC18www.mitht.ru/e-libraryx4(+1)x3(-1)DCBAx4(+1)x3(+1)CDABТогда фактор, вводимый в планирование по схеме латинского квадрата,ортогонален 2k факторам, задающим полный факторный эксперимент.Действительно, все l=2k уровней этого фактора встречаются в плане одинаково часто, и каждый уровень его встречается с любым уровнем исходных 2k факторов одинаковое число раз.Исходный план можно совместить с греко-латинским квадратом 2 k  2 kили даже с гипер-греко-латинским квадратом, полученным наложениемдруг на друга (2k-1) ортогональных латинских квадратов, если существуетполный ряд ортогональных латинских квадратов для данного l=2k.

Приэтом введенные (2k-1) факторы ортогональны исходным 2k факторам, атакже ортогональны всем взаимодействиям факторов, задающим столбцыквадрата. План будет насыщенным, если эти взаимодействия считать незначимыми и использовать их для введения в план дополнительных факторов на двух уровнях.Представляют интерес самые различные варианты насыщенных ортогональных планов, полученных в результате совмещения факторного плана 22k с одним латинским квадратом, двумя ортогональными латинскимиквадратами и т.д.

Характеристики

Список файлов книги