Семенов С.А. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. Том 2 (1018600), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

до (2k-1) ортогональных латинских квадратов. Каждыйфактор, введенный в план на l=2k уровнях, имеет (2k-1) степеней свободы иоказывается смешанным с 2k-1 различными взаимодействиями 2k факторов полного факторного эксперимента. Если ввести в план m факторов(m<2k-1) на 2k уровнях, то они окажутся смешанными с m(2k-1) взаимодействиями исходных факторов. Всего в полном факторном плане 22k имеется(22k-2k-1) взаимодействий. Следовательно, свободными от смешивания сглавными эффектами (2k+m) факторов останутся (22k-2k-1)-m(2k-1) взаимо19www.mitht.ru/e-libraryдействий. Их можно использовать для введения в план дополнительныхфакторов на двух уровнях. Насыщенный план тогда включает n=22km2k+2m-1 факторов, из которых m вводится на l=22k уровнях и (n-m) на двухуровнях.

Наибольший практический интерес представляют планы при k=2,т.е. N=16, l=4. Могут оказаться полезными планы при k=3, т.е. N=64, l=8.Планы, построенные при k=4, требуют слишком большого числа опытов(N=256).При использовании сложных планов для количественных факторов,введенных в план на двух уровнях, можно подсчитать главные эффектыфакторов, которые благодаря ортогональности плана совпадают с эффектами, вычисленными по методу наименьших квадратов, и затем провестикрутое восхождение. При этом качественные факторы на этапе крутоговосхождения устанавливаются на тех уровнях, которые дают лучшие эффекты.Эффекты факторов, введенных в план на двух уровнях, вычисляютсяследующим образом. Пусть проделано N=22k опытов по схеме сложногоплана.

В план введены n факторов, из них m установлено на l=2k уровнях,а (n-m) - на двух уровнях. Получен ряд значений отклика: y1, y2, ..., yN. Тогдаглавный эффект фактора x i (i=1, 2, ..., n-m) получается как разность междусуммой откликов во всех опытах, в которых x i установлен на верхнем уровне x i’, и суммой откликов во всех опытах, в которых x i установлен на ниж0нем уровне x i , деленная на число опытов в плане:mi 1,0 y( x1 ,..., x i ,... x n m )   y( x1 ,..., x i ,..., x n m )NОтношение mi к ( mi )   ош /(2.5)N , где ош - ошибка в измерении откли-ка, которое имеет t-распределение, можно использовать для оценки значимости вычисленных эффектов. При этом если план ненасыщенный, то для20www.mitht.ru/e-libraryоценки величины (mi) можно использовать свободные от смешивания сосновными факторами эффекты взаимодействия.Эффекты факторов, введенных в план на l=2k уровнях, вычисляются отдельно для каждого уровня. Эффект фактораxj (j=n-m+1, ...,n) на q-м уровне (q=0, 1, 2, ..., l-1) равен сумме откликов вовсех опытах, в которых фактор xj установлен на q-м уровне, деленной начисло вхождений (l=2k) в план фактора xj на q-м уровне,x j (q )  y( x1 ,..., x lj ,..., x n )l(2.6)Если есть основание предполагать однородность дисперсий s2ош в измерении отклика по всем опытам, то для оценки значимости различия междуэффектами указанных факторов на различных уровнях можно применять tкритерий.

Недостатком этого критерия является то, что при оценке значимости различия между эффектами указанных факторов, например xj, надвух уровнях l и l+1 используется не вся информация, а лишь часть ее.Множественный ранговый критерий Дункана позволяет определить значимость различия между эффектами уровней факторов, введенных в план наl>2 уровнях, с большей надежностью, поскольку при этом используется одновременно вся информация, полученная в эксперименте.Значимость главных эффектов факторов, введенных в план, как на двух,так и на l>2 уровнях можно проверить при помощи многофакторного дисперсионного анализа и факторного анализа. На основании результатовфакторного анализа можно провести крутое восхождение.Для линейной моделиyi...jq...f=+x1i+...+x(n-m)j+x(n-m+1)q+xnf+i...jq...f,(2.7)где yi...jq...f - значение отклика в некотором опыте;  - суммарный эффект вовсех опытах; x1i - эффект фактора x1 на i-м уровне (i=0,1); x(n-m)j - эффект21www.mitht.ru/e-libraryфактора xn-m на j-м уровне (j=0,1); x (n-m+1)q - эффект фактора xn-m+1 на q-муровне (q=0,1, ..., 2k-1); xnf - эффект фактора xn на f-м уровне (f=0,1,2, ..., 2k1); i...jq...f - ошибка в измерении отклика.3.

Ортогональные насыщенные планы Плакетта-БерманаОртогональные насыщенные двухуровневые D-оптимальные планыможно построить, используя дробные реплики от ПФЭ для числа факторовk=3 (N=4), k=7 (N=8), k=15 (N=16), k=31 (N=32) и т.д. [2] Однако, класс ортогональных насыщенных планов может быть значительно расширен. Плакетт и Берман [6] разработали строгую математическую теорию построения и анализа ортогональных планов. В частности, было доказано, что внасыщенном плане вычисленные по методу наименьших квадратов оценкиэффектов имеют максимальную для данного числа опытов N точность,одинаковую для всех эффектов, если матрица планирования имеет ортогональные столбцы. Чтобы матрица была ортогональной, необходимо идостаточно, чтобы: 1) каждый фактор встречался на каждом своем уровнеодно и то же число раз; 2) каждые два фактора с любой комбинацией ихуровней встречались одно и то же число раз; 3) число опытов делилось наквадрат числа уровней, то естьN=nl2,(3.1)где n – целое число.При такой формулировке условий ортогональности проблема построения ортогональной матрицы (плана эксперимента) превращается вчисто комбинаторную проблему.Если N=nl2, то число факторов, эффекты которых можно вычислитьпри данном N, равноk=(nl2-1)/(l-1)или целой его части.22www.mitht.ru/e-library(3.2)Если число уровней для всех факторов равно двум, то задача построения оптимального плана сводится к построению ортогональной матрицы, состоящей из +1 и -1, размера NxN, где N – число, кратное четырем,то есть N=4n.

Максимальное число факторов, которые можно ввести впланирование, при этом равно k=N-1.Для построения насыщенных планов для k=11, 19, 23, и 35 воспользуемся строками из таблицы 4.Таблица 4.Комбинации знаков, используемые при построении насыщенных плановдля k=11, 19, 23 и 35kNКомбинации знаков1112++-+++---+-1920++--++++-+-+----++-2324+++++-+-++--++--+-+----3536-+-+++---+++++-+++--+----+-++--+-При построении плана для k=11 в качестве элементов первого столбца берется строка из табл.4. Второй столбец получим из первого, заменивв нем первый элемент на последний и сдвинув соответственно вниз всеостальные элементы.

Третий столбец получим, заменив в первом столбцепервые два элемента на последние и сдвинув вниз остальные элементы ит.д. Элементами последней строки служат -1. Аналогичным образом стоятся планы для k=19, 23 и 35. Для k=27 при построении матрицы планирования используются три блока А, В и С, приведенные в табл.5.Таблица 5.Блоки для построения насыщенного ортогонального плана для k=27ABC23www.mitht.ru/e-library+-++++----+---+--+++-+-++-+++-+++-----++--+---++++-++--+++++---+---+--+-+-+-++-+++--+-++++--+-+---++-+++-+-+---++-++++----++--++--++++-----+++++-+-+---+--+++-+-++-++---+-+--+--+-+-+-++-+++-+++---++-+--+----+++-++--+++++----++-+--+-+---++-+++-+Эти блоки выписываются в порядке круговой перестановки:А В СС А ВВ С АИ к ним опять добавляется строка, все элементы которой -1.Плакетт и Берман показали, как могут быть построены насыщенныепланы до N=100 при N, кратном 4 (за исключением N=92).

Применениепланов Плакетта-Бермана позволяет получать раздельные оценки линейных эффектов всех факторов с максимально возможной при данном числеопытов точностью, одинаковой для всех эффектов. Любой коэффициентлинейного уравнения регрессии определяется по формулеNxbj jii 1Nyi, j=1,2,…, kПогрешность в определении bj при этом равнаs b  s воспр / N,jгде sвоспр – ошибка измерения.24www.mitht.ru/e-libraryПоскольку матрица планирования ортогональна, такая оценка линейных эффектов совпадает с оценкой, полученной по методу наименьшихквадратов. Кроме того, вследствие ортогональности матрицы полученныеоценки линейных эффектов не смешаны между собой.Отношение bj к s воспр / N имеет распределение Стьюдента для нульгипотезы, то есть истинного значения j=0. Это отношение можно использовать для проверки значимости эффектов. Для проверки значимости различия между эффектами можно использовать отношениеtbu  b js воспр / N,также имеющее распределение Стьюдента.При отсутствии параллельных опытов для оценки воспр можно использовать эффекты так называемых мнимых факторов.

Мнимые факторывводятся, если план ненасыщенный, то есть k<N-1. При этом свободнымстолбцам матрицы планирования можно поставить в соответствие некоторые мнимые факторы и подсчитать их эффекты по общему правилу, какдля действительных факторов. Эти эффекты отличаются от нуля за счетошибки в измерении y и неучтенных эффектов взаимодействия.

Если bk+1,bk+2, bN-1 – эффекты мнимых факторов, то величинаs 2b j  ( b 2k 1  b 2k  2  ...  b 2N1 )1N  k 1служит оценкой квадратичной ошибки в определении эффектов главныхфакторов, аs 2воспр  N( b 2k 1  b 2k  2  ...  b 2N1 )1N  k 1является оценкой квадратичной ошибки в измерении отклика, если считать, что эффекты взаимодействия отсутствуют.25www.mitht.ru/e-libraryПланы Плакетта-Бермана являются в ряде случаев более экономными планами по сравнению с дробными репликами для данной размерностифакторного пространства и используются для планирования экспериментас большим количеством факторов при условии, что значимые эффектывзаимодействия отсутствуют.Пример3.1.Исследоваласьвозможностьполученияазотно-фосфорно-калийного удобрения путем частичной замены поташа аммиаком при нейтрализации азотнокислотной вытяжки. Процесс нейтрализацииможно охарактеризовать суммарной реакцией:6Са(NO3)2+3H3PO4+6NH3+3K2CO3==3CaHPO4+6NH4NO3+6KNO3+3CaCO3При исследовании последовательной нейтрализации вытяжки аммиаком и поташем особый интерес представляло выяснение возможностиполучения усвояемых форм пятиокиси фосфора.

Поэтому показателемпроцесса (y) служила степень усвояемости образующихся фосфорных соединений (процентное отношение количества водорастворимых и лимоннорастворимых форм фосфора к общему количеству фосфора в продуктахреакции). В качестве независимых факторов были выбраны следующие: х1- температура аммонизации (25-70С); х2 – продолжительность аммонизации (15-30 минут); х3 – норма аммиака (100-150 % от стехиометрическойнормы); х4, х5, х6, х7 – содержание примесей в исходной вытяжке, соответственно 0-3.16 % Mg(NO3)2; 0-0.89 % Fe(NO3)3; 0-0.56 % Al(NO3)3; 0-0.88 %H2SiF6; x8 – температура при взаимодействии компонентов аммонизированной вытяжки с раствором карбоната калия (25-70С); х9 – продолжительность взаимодействия с карбонатом калия (30-60 мин); х10 – нормакарбоната калия (100-120 % от стехиометрической нормы).Постоянным оставались содержание в вытяжке Р2О5 (6.9 %) и СаО(11 %).26www.mitht.ru/e-libraryРешение.

В качестве плана эксперимента использовали первые 10столбцов плана Плакетта Бермана (табл. 6).Средние значения степени усвояемости y определены по двум параллельным опытам. Дисперсия воспроизводимости равнаТаблица 6.Матрица планирования и результаты экспериментовх0х1Номеропыта+1+11+1+12-1+13+1+14+1+15+1+16-1+17-1+18-1+19+1+110-1+111-112+1bj78.2 15.4х8х9х10y-1 -1-1 -1+1 -1-1 +1+1 -1+1 +1-1 +1+1 -1+1 +1+1 +1-1 +1-1 -17.8 8.0+1 +1-1 +1-1 -1-1 -1+1 -1-1 +1+1 -1+1 +1-1 +1+1 -1+1 +1-1 -12.6 -13+1+1+1-1-1-1+1-1+1+1-1-1-7-1+1+1+1-1-1-1+1-1+1+1-1219.1534.4485.0892.8890.9151.76101.33101.3498.6287.8584.4989.8931112812х2х3х4х5-1+1+1-1+1+1+1-1-1-1+1-1-+1-1+1+1-1+1+1+1-1-1-1-1--1+1-1+1+1-1+1+1+1-1-1-18.434х6х73.4 2.8tj312 61.414113253s2=1.48. Число степеней свободы fвоспр=12.

Характеристики

Список файлов книги