hsm2 (1018233), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Выпишем выражения для K и L через s и ξ(s2 − ξ 2 )ξ α1 α25ξα1 α251=,K−,K1 =2s2Rα1Rξ 2 (s2 − ξ 2 )α45α452(s2 − ξ 2 )α1 α2K3 = 2 +, K4 = 1 +, K5 =,ss2 RRR2s2 α1 α22ξα2 α25ξ, K7 =, K8 =,K6 =RRα12ξ(s2 − ξ 2 )α12s2 ξα14(s2 − ξ 2 )α1 α2, L2 =, L3 =,L1 =RRR4s2 α1 α2(s2 − ξ 2 )α25s2 α25, L5 =, L6 =,L4 =RRR2ξα2 α25α22ξα1L7 =, L8 = 5 , L9 =.RRR(Мыпрежние обозначения α1 и α2 для “обезразмеренных” радикалов употребляем√222γ − s и 1 − s , функция Рэлея тоже “обезразмеренная”.)Координаты и время входят только через ξ. Поскольку ξ происходит от η, аη — от kx и ky , то ясно, что упомянутые в разделе “Решение задачи в образах”четыре типа зависимости от kx и ky дают четыре типа зависимости от координати времени.Видно также, что в подынтегральных выражениях K1 и K3 отдельные слагаемые имеют особенности типа 1/s2 , которые сокращаются в полном выражении.Мы не будем исследовать непосредственно интегралы типа (18).
Сначала мысделаем замену переменной, которая упростит и контур интегрирования, и подынтегральное выражение. Нам не удалось обнаружить подобного преобразования влитературе. По-видимому, оно является оригинальным, в связи с чем мы опишемего подробно.Преобразование интеграловЗамена переменной s → α, о которой говорилось выше, имеет видα=α1 , для интегралов I,α2 , для интегралов J.12Из вида подынтегрального выражения (см.
(18)) ясно, что в результате получаетсяэллиптический интеграл−αdα1 ∂2θ(τ − r)L1 .(19)J1 =222(2π) ∂τ G y 1 − α − (τ − hα)2 /y 2Чтобы проанализировать преобразование контура интегрирования, сделаем замену переменной в два этапа.
Сначала заменим s2 = z. Подынтегральное выражениезависит только от s2 , поэтому новых разрезов не возникает. В результате исходная риманова поверхность переменной s распадается на две части, каждая изкоторых накрывает риманову поверхность переменной z. Для упрощениярассуж22дений будем отвлекаться от разрезов, связанных с радикалом s − ξ , которыйвходит в подынтегральные выражения мультипликативно. Будем следить толькоза точками ветвления, происходящими из этого радикала. Листы исходной римановой поверхности s изображенына рис.
8. Крестиками обозначены нули функцииРэлея. Ветвления за счет s2 − ξ 2 обозначены жирными точками. Нули функцииРэлея на листах (+, +) и (−, −) соответствуют волнам Рэлея. Нам удобно будетсчитать, что правые разрезы чуть опущены, а левые — чуть приподняты наддействительной осью, отсюда и расположение полюсов. При замене s2 = z только половина плоскости с каждого листа проецируется на риманову поверхность z.Соответствующие полуплоскости обозначены A, B, C, D. Листы римановой поверхности z изображены на рис. 9.(+, −)(+, +)Bγ1aA(−, −)(−, +)DCРис.
8. Листы римановой поверхности s для интегралов J.Для интегралов I листы (+, −) и (−, +) меняются местамиДалее делаем замену переменной 2γ − z,α= √1 − z,для интегралов I,для интегралов J.13(+, −)(+, +)B1aγ2A(−, −)(−, +)DCРис. 9. Листы римановой поверхности z для интегралов J.Для интегралов I листы (+, −) и (−, +) меняются местамиПри этом пропадает разрез, идущий от γ 2 (или 1). Листы римановой поверхности переменной α для интегралов I изображены на рис. 10, а для интегралов J— на рис. 11. Оказывается удобным по-другому разбить риманову поверхностьна листы, объединяя правую полуплоскость одного листа и левую полуплоскостьдругого (и наоборот). Результат приведен на рис.
12 и 13.BDaACРис. 10. Листы римановой поверхности α для интегралов I.Каждый интеграл имеетвыражениидва радикала. Для в подынтегральноминтегралов I это α2 = 1 − γ 2 + α2 и s2 − ξ 2 = γ 2 − α2 − (τ − hα)2 /y 2 . Дляинтегралов J это α1 = γ 2 − 1 + α2 и s2 − ξ 2 = 1 − α2 − (τ − hα)2 /y 2 . Ветвиэтих радикалов на листах (+) рис. 12 и 13 определяются следующим образом. Налисте (+) рис. 13 при α = 0 справа от разреза α1 вещественно и положительно.
Налисте (+) рис. 12 при α = 0 сверху от разреза α2 чисто мнимо и положительно. Вточках a на рис. 12 и 13 (это образы s = 0) s2 − ξ 2 чисто мнимо и отрицательно.14DBaCAРис. 11. Листы римановой поверхности α для интегралов J.(+)(−)GDcBγ2 − 1abACРис. 12. Другое разбиение римановой поверхности на листы для интегралов I.(+)(−)GDcBi γ2 − 1abACРис. 13. Другое разбиение римановой поверхности на листы для интегралов J.Отметим еще, что, хотя отдельные слагаемые подынтегральных выражений K1 иK3 имеют в точке a полюсы первого порядка, полные выражения там регулярны.Особенности интеграловИсследуем качественно зависимость интегралов I и J от времени τ .
Особенности встречаются тогда, когда сталкиваются точки ветвления подынтегральноговыражения. Всеготочек ветвления четыре. Две из них (±i γ 2 − 1 для интеграI) неподвижны. Две другие точки ветвлелов J или ± γ 2 − 1 для интегралов22ния, связанные с радикалом s − ξ , перемещаются при изменении τ . Ясно, чтовозможны столкновения этих точек друг с другом или с неподвижными точкамиветвления.15Начнем исследование с интегралов J. Найдем положение подвижных точек ветвления (точки b и c на рис.
13). Для этого нужно решить квадратное уравнение1 − α2 − (τ − hα)2 /y 2 = 0Его решение√τ h ± y r2 − τ 2,α=r2где r 2 = y 2 + h2 . Нетрудно видеть, что r представляет собой расстояние от источника до точки наблюдения. При τ < r точки ветвления лежат на вещественнойоси (рис. 14), а при τ > r — в комплексной плоскости, как показано на рис.
13.Когда τ = r, точки ветвления сталкиваются между собой, и именно этот моментвремени соответствует вступлению P -волны. Для τ < r следует считать, что контур интегрирования имеет вид, показанный на рис. 14, при этом интегралы равнынулю. Таким образом, интегралы J вместе со всеми своими производными равны нулю при τ < r, что оправдывает интегрирование по частям в формуле (2) ипреобразование от (13) к (14).Самую сильную особенность интегралов при τ = r можно оценить следующимs2 − ξ 2 в знаменателе.образом. Очевидно, ее имеют интегралы, содержащиеЭти интегралы имеют вид cf (α)dα,(α − b)(α − c)bИх особенность при b → c можно получить, если положить f = const cdα= iπ.(α − b)(α − c)bТаким образом, функции Γ (см.
(3)) имеют конечный скачок в момент вступленияP -волны. При h = 0 подвижные точки ветвления не сталкиваются с неподвижными, так что других особенностей нет.12GbcaРис. 14. До вступления P -волны12GbcaРис. 15. До вступления S-волныРазберемся теперь с интегралами I.
Уравнение для определения подвижныхточек ветвления имеет видγ 2 − α2 − (τ − hα)2 /y 2 = 0.16Его решениеα=(20)τh ± yr2 γ 2 − τ 2.r2Как и прежде, точки ветвления лежат либо на вещественной оси, либо комплексносопряжены. Они сталкиваются между собой при τ = γr, то есть в момент вступления прямой S-волны. Однако у интегралов I могут быть и другие особенности.Столкновение происходит в точке непо α = γh/r, которая может лежать левее2движной точки ветвления α = γ − 1 (точка d на рис. 16).
Если γh/r > γ 2 − 1,то ситуация полностью аналогична интегралу J, и функции Γ имеют конечныйскачок в момент вступления прямой S-волны, а до этого момента времени равнынулю. Если же γh/r < γ 2 − 1, то, прежде чем столкнуться с точкой b, точка c сталкиваетсяс неподвижной точкой d. Это происходит в момент времениτ = y + h γ 2 − 1. Легко проверить, что этот момент времени соответствуетвступлению головной волны (см. лучевую схему на рис. 17). До τ = y + h γ 2 − 1контур G выглядит,как показано на рис.
15, а функции Γ равны нулю. В проме2жутке y +h γ − 1 < τ < γr контур имеет вид, показанный на рис. 16, цепляясь залежащие друг под другом на разных листах точки ветвления. Наконец, при τ > γrконтур выглядит так, как показано на рис. 12.GbcdheadaθBP, SyAzРис. 16. Головная волнаРис. 17. Лучевая картина. sin θ = 1/γОсобенность интегралов при τ = y + h γ 2 − 1 имеет вид dα−df (α)dα.α−ccЕе можно оценить, полагая f = const dα−ddα = −iπ(d − c).α−ccПоскольку c → d линейно по времени, то функции Γ непрерывны, но имеют излом(конечный скачок производной) в момент вступления головной волны.Из-за наличия головной волны меняется особенность при τ = γr.
Она имеет вид df (α)dα∼ ln(c − b).(α − b)(α − c)c17√Разность c − b пропорциональна τ − γr, так что функции Γ имеют логарифмическую особенность в момент вступления прямой S-волны, следующей за головнойволной.Отметим, что утверждение о равенстве интегралов I и J нулю до вступления соответствующих волн основано на представлении их в виде интегралов позамкнутым контурам от аналитических внутри контура функций. Как уже отмечалось, подынтегральные выражения K1 и K3 таковы, что отдельные слагаемые вних, отвечающие вкладам SH- и SV -волн, имеют полюсы первого порядка внутриконтура. Поэтому формальное раздельное вычисление этих вкладов привело бы кпротиворечивому заключению о слишком раннем вступлении волн.Обсудим вкратце проблемы численного расчета сейсмограмм по приведеннымвыше формулам.
Непосредственное использование формул типа (19) осложняетсятеми обстоятельствами, что и сами вычисляемые функции (Γijk ), и подынтегральные выражения имеют сильные особенности, к тому же контур интегрирования лежит в комплексной плоскости (для P -волны и прямой S-волны) и меняется с изменениеммы “перекинем” интеграл на разрезы избежать этих трудностей, τ . Чтобы2222[−i γ − 1, i γ − 1] или [− γ − 1, γ − 1] (для P -волны и прямой S-волны)и будем вычислять функции Gijk , то есть проинтегрируем еще раз по времени.Такое интегрирование легко выполняется,так как вся зависимость от τ сосредо22точена в простых множителях ξ и s − ξ подынтегральных функций. ФункцииGijk уже непрерывны и представляются через интегралы также от непрерывныхфункций.
При “перекидывании” контура возникнут дополнительные вклады засчет вычетов на бесконечности и в полюсах Рэлея. Оказывается, что вычетына бесконечности зависят от времени очень просто — это полиномы, содержащиечлены τ 2 и τ 4 . Вычеты в полюсах Рэлея также зависят от времени оченьпросто,γ 2 − 1, i γ 2 − 1]толькочерезξ.Подынтегральныевыражениядляконтуров[−iи [− γ 2 − 1, γ 2 − 1] немного упрощаются.
Главным же преимуществом являетсято, что контур интегрирования теперь постоянный и лежит либо на вещественной,либо на мнимой оси. Большая часть подынтегральных функций (кроме множителей, содержащих ξ), зависящая только от α2 , может быть вычислена один раз исделана вещественной, что значительно ускоряет вычисления.Ниже приведены примеры расчета сейсмограмм. Плотность среды ρ = 3.3 г/см3 ,скорости волн v = 8 км/с, v⊥ = 5 км/с. Сейсмограммы вычислены для источника,находящегося на глубине h = 10 км. Тензор момента изменяется во времени по22закону Ṁ = e−t /a с a = 0.1 с. Сейсмограммы вычислены на расстоянии 150 км отисточника по разным азимутам. Азимуты и тензоры момента указаны в подписяхк рисункам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
