hsm2 (1018233), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Общее решение, убывающее при z → −∞ имеет аналогичный видky−iα1 kx−kxUx Uy  = a−  −kx  ezα1 + b−  −iα1 ky  ezα1 + c−  −ky  ezα2 .Uz0−k 2iα2(8)Решение в образах будем строить в виде суммы двух членов. Первый член будетпредставлять собой решение для бесконечного пространства, второй — добавкуза счет границы. Решение для бесконечного пространства должно убывать приz → ±∞, поэтому оно имеет вид (7) при z > 0 и вид (8) при z < 0.

Добавка за счетграницы должна убывать при z → +∞, так что она имеет вид (7).Условия скачка на источнике имеют вид (более подробное обсуждение смотри вприложении “Замечание о сейсмическом источнике”)∆Ux = Mxz /µ, ∆Uy = Myz /µ, ∆Uz = Mzz /(µγ 2 ),∆Σxz = i (2/γ 2 − 1)kx Mzz + Mxx kx + Mxy ky ,∆Σyz = i (2/γ 2 − 1)ky Mzz + Mxy kx + Myy ky ,∆Σzz = 0.(Здесь Σ обозначает образ напряжений.) Оказывается, если вместо x- и y-компонентсмещения ввести комбинации ky Ux −kx Uy и kx Ux +ky Uy (и аналогичные комбинацииky Σxz − kx Σyz и kx Σxz + ky Σyz для напряжений), то в условиях скачка уравнения6для коэффициентов a± отделяются (это соответствует отделению SH-волны отпары P –SV )(a+ − a− )k 2 = (Mxz ky − Myz kx )/µ,−(b+ − b− )iα1 k 2 + (c+ + c− )k 2 = (Mxz kx + Myz ky )/µ,(b+ + b− )k 2 + (c+ − c− )iα2 = Mzz /(µγ 2 ),−2µα1 k 2 (a+ + a− ) = i((Mxx − Myy )kx ky + Mxy (ky2 − kx2 )),µ((b+ + b− )ik 2 α25 − (c+ − c− )2k 2 α2 ) == i((2/γ 2 − 1)k 2 Mzz + Mxx kx2 + 2Mxy kx ky + Myy ky2 ),µ(−2k 2 α1 (b+ − b− ) − iα25 (c+ + c− )) = 0,где α5 = ω 2 γ 2 + 2k 2 .Нас интересует решение задачи (1) на свободной поверхности, поэтому нам нужны только коэффициенты a− , b− , c−i((k 2 − ky2 )Mxy + iky α1 Mxz + kx ky (Myy − Mxx ) − ikx α1 Myz ),2µk 2 α1 x1b− =(−iα25 ky Myz + α1 (kx2 Mxx + ky2 Myy − k 2 Mzz )−22µk γ 2 ω 2 α1− ikx α25 Mxz + 2kx ky α1 Mxy ),i(α2 Mzz − kx2 Mxx − ky2 Myy + 2iky α2 Myz −c− =22µγ ω 2 α2 2− 2kx ky Mxy + 2ikx α2 Mxz ).a− =(9)Теперь мы должны определить добавку за счет границы.

Условия на свободнойповерхности имеют видΣxz (ω, k, −h) = 0,Σyz (ω, k, −h) = 0,Σzz (ω, k, −h) = 0.Эти условия, записанные через комбинации ky Σxz − kx Σyz и kx Σxz + ky Σyz , даютнам связь коэффициентов a+ , b+ , c+ в добавке с уже найденными коэффициентамиa− , b− , c− в решении для бесконечного пространства (коэффициенты a± , как ипрежде, отделяются)−a+ ehα1 + a− e−hα1 = 0,(10)b+ iα21 ehα1 − b− iα21 e−hα1 − c+ α2 ehα2 − c− α2 e−hα2 = 0,−b+ k 2 α1 ehα1 − b− k 2 α1 e−hα1 − c+ iα22 ehα2 + c− iα22 e−hα2 = 0.Решая (10), находимa+ = a− e−2hα1 ,b+ = (b− Qe−2hα1 − c− 4iα2 α25 e−hα1 −hα2 )/R,c+ = (b− 4ik 2 α1 α25 e−hα1 −hα2 + c− Qe−2hα2 )/R,7где R = α45 − 4k 2 α1 α2 — функция Рэлея, Q = α45 + 4k 2 α1 α2 . Образ полного решения (1) на свободной поверхности принимает вид2iγ 2 ω 2 α1 α25 kx −hα14γ 2 ω 2 α1 α2 kx −hα2eeb− −c− ,RR2iγ 2 ω 2 α1 α25 ky −hα14γ 2 ω 2 α1 α2 ky −hα2eeUy = −2kx e−hα1 a− −b− −c− ,RR4γ 2 ω 2 k 2 α1 α2 −hα12iγ 2 ω 2 α2 α25 −hα2eeUz = −b− +c− ,RRUx = 2ky e−hα1 a− −(11)где a− , b− , c− определяются формулами (9).Координатно-временная зависимость решения вычисляется по формулам(12)1ui (τ, r) =2πiωτ+∞dω eC−∞dkx dky i(kx x+ky y)eUi (ω, kx , ky , z).(2π)2Как отмечалось при постановке задачи, достаточно провести это вычисление дляx = 0, y > 0.

При этом kx в экспоненте пропадает и остается только в (9) и (11).Все нечетные по kx члены в образах можно опустить, поскольку они дают нульпри интегрировании. Образы смещений принимают видM(1)(2)jk,Ui = Uijk e−hα1 + Uijk e−hα2µгде отличные от нуля коэффициенты равныiky (kx2 − ky2 ) 2ikx2 ky α1 α25ky2kx2 α45(1),U,=−=−−xxzk 2 α1k2 Rk2k2 Riky3 α1 α25ik 2 kyik 2 ky α1 α25ik 2 ky(1)(1)Uyxx, Uyyy,= 2x − x 2= − 2x −k α1k Rk α1k2 Rky2 α45iky α1 α25kx2(1)(1)Uyzz =, Uyyz = − 2 − 2 ,Rkk R222kααα2k2k 2 α1 α2y 1 α2x 1 2(1)(1)(1)Uzxx,U,U,=−zyy = −zzz =RRR2iky α2 α254ikx2 ky α14k 2 α1 α2(1)(2)(2)Uzyz, Uxxy, Uxxz,=== xRRR2iky3 α12ikx2 ky α12iky α1 α22(2)(2)(2), Uyyy, Uyzz,Uyxx===−RRR4ky2 α1 α2ky2 α25k 2 α2(2)(2)(2), Uzxx,Uyyz== x 5 , Uzyy=RRRα2 α22iky α2 α25(2)(2)Uzzz.= − 2 5 , Uzyz=−RR(1)UxxyНе все коэффициенты независимы.

Достаточно семнадцати величинK1 =ikx2 kyikx2 ky α1 α25,−k 2 α1k2 RK2 = −iky α1 α25,R8ky2kx2 α45α452kx2 α1 α2,K,K,+=1+=−45k2k2 RRR2k 2 α1 α22iky α2 α25iky, K7 = −, K8 = −K6 = −,RRα12ikx2 ky α12iky k 2 α14k 2 α1 α2, L2 =, L3 = − x,L1 =RRR4k 2 α1 α2k 2 α2k 2 α25L4 = −, L5 = − x 5 , L6 = −,RRR2iky α2 α25ω 2 α252iky α1 ω 2L7 = −, L8 =, L9 = −,RRRK3 =через которые коэффициенты Uijk вычисляются по формулам(1)= 2K1 + K8 ,Uxxy(2)Uxxy= 2L1 ,(1)Uxxz= −K3 ,(2)Uxxz= −L3 ,(1)= K1 ,Uyxx(2)Uyxx= L1 ,(1)= K2 − K1 ,Uyyy(2)Uyyy= L2 − L1 ,(1)= −K2 ,Uyzz(2)Uyzz= L9 − L2 ,(1)= K3 − K4 ,Uyyz(2)Uyyz= L3 − L4 ,(1)= K5 ,Uzxx(2)Uzxx= −L5 ,(1)= K6 − K5 ,Uzyy(2)Uzyy= L5 − L6 ,(1)Uzzz= −K6 ,(2)Uzzz= L6 − L8 ,(1)= −К7 ,Uzyz(2)Uzyz= L7 .Зависимость K и L от компонент вектора k можно было предугадать заранее.Поскольку Uijk является тензором третьего ранга, а единственный вектор, из которого его можно построить — это k, то компоненты Uijk являются полиномамине старше третьей степени по компонентам k.

Таких полиномов всего четыре: 1,ky , kx2 , ky kx2 . Остальные либо содержат нечетные степени kx и дают нуль при интегрировании, либо выражаются через приведенные выше и k 2 . Ниже мы увидим,что четыре типа зависимости от kx , ky дадут нам четыре типа зависимости откоординат и времени.Еще одна интересная особенность коэффициентов Uijk состоит в том, что вклады SH- и SV -волн не разделяются: величины K содержат как слагаемое с функцией Рэлея R в знаменателе, соответствующее SV -волне, так и слагаемое, не содержащее функции Рэлея и соответствующее SH-волне.

Это отражает тот факт, чторассматриваемый источник не может возбуждать только SH-волны (или толькоSV -волны). Более того, ниже мы увидим, что вклады SH- и SV -волн не разделяются аналитически: если бы мы попытались вычислить их формально раздельно,то получили бы, что вступления волн должны наблюдаться раньше, чем это возможно исходя из их скорости распространения.9Метод КаньяраВ предыдущем разделе мы свели задачу вычисления сейсмограмм к вычислениюсемнадцати трехкратных интегралов (смотри (12)) с подынтегральными выражениями K и L. Метод Каньяра позволяет привести эти интегралы к однократным.Рассмотрим, например, интеграл1J1 =2πi+∞ωτdω e−∞Cdkx dky iky y−hα2eL1(2π)2Перейдем к интегрированию в полярных координатах, в подынтегральном выражении нужно будет заменить kx → k cos ϕ, ky → k sin ϕ1J1 =2πiωτdω eC1(2π)22π∞dϕ00kdk eiky sin ϕ−hα2 L1Сделаем теперь замену y sin ϕ = η, в L1 нужно будет положить kx → (k/y) y 2 − η 2 ,ky → kη/y1J1 =2πiωτdω eC1(2π)2Edηy2−η20∞kdk eikη−hα2 L1Замечательным наблюдением является то, что, в силу однородности уравнений,начальных и граничных условий, замена k = iωs ликвидирует зависимость подынтегрального выражения от ω, оставляя ω только в экспоненте2 √dη1ωτ ω−ω(sη+h 1−s2 )dω e(−sds)eL1 ,(13)J1 =2πi C(2π)2 E y 2 − η 2 Dгде L1 = 2s3 η(y 2 − η 2 ) γ 2 − s2 /y 3 R(s), R(s) = (γ 2 − 2s2 )2 + 4s2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )— “обезразмеренная” функция Рэлея.

Контуры интегрирования представлены нарис. 4–6.ωηsCE−yyDРис. 4. Контур CРис. 5. Контур Earg ωРис. 6. Контур DМножитель ω 2 под интегралом можно представить как результат двукратногодифференцирования по времени√dη1 ∂2 1ωτ−ω(sη+h 1−s2 )dωe(−sds)eL1 .(14)J1 =(2π)2 ∂τ 2 2πi Cy2 − η2 DE10(Вообще-то лапласовским образом f (τ ) является ω 2 F (ω) − ωf (0) − f (0), однакониже при исследовании интегралов мы увидим, что в данном случае начальныезначения f (0) и f (0) равны нулю. Имеется и другое объяснение.

Можно отнестимножитель ω 2 за счет тензора сейсмического момента, и считать, что и сам тензор,и его производная равны нулю в начальный момент времени.)Пара интегралов по s и ω вычисляется методом Каньяра (подробное обсуждениесмотри в [1]). В результате получим(15)1 ∂2J1 =(2π)2 ∂τ 2Edηy2−η2(−s)dsθ(τ − h)L1 ,dτгде s выражается через η и τ по формулеτ = sη + h 1 − s2 .(16)Полученное выражение можно упростить, если воспользоваться следующим результатом. Пусть f (s, η, τ ) = 0. Тогда, фиксируя одну переменную, можно выразить вторую через третью и вычислить производную. Построенные таким образомпроизводные связаны соотношениемds dτ dη= −1.dτ dη ds(17)Действительно, по теореме о неявной функции получаем выражения∂f /∂ηdτ=−,dη∂f /∂τds∂f /∂τ=−,dτ∂f /∂sdη∂f /∂s=−,ds∂f /∂ηперемножая которые, приходим к (17).s1γsRFРис.

7. Контур FСделаем теперь в формуле (15) замену переменных η → s по формуле (16).Воспользуемся результатом (17) и тем, что dτ /dη = s. Мы получим(18)1 ∂2J1 =(2π)2 ∂τ 2Fsdsθ(τ − h)L1 ,y s2 − ξ 211где ξ = sη/y, а контур F изображен на рис. 7. Теперь уже η выражается через sпо формуле (16).Аналогичная процедура применяется к остальным интегралам. Конечно, в интегралахsds1 ∂2θ(τ − γh)KnIn =22(2π) ∂τ F y s2 − ξ 2переменные s и η выражаются друг через друга не по формуле (16), а по формулеτ = sη + h γ 2 − s2 ,что приводит к несколько иному контуру F , однако качественный его вид остаетсяпрежним.

Характеристики

Список файлов учебной работы