solid-a (1018226)
Текст из файла
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГОСПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВИ. М. Алешин и Д. В. ПерегудовАннотация. Изучается влияние периодического неоднородного фона на распространение волн зарядовой плотности в простых металлах. Показано, что учет пространственной неоднородности в уравнениях Власова—Пуассона приводит к спектру плазмонов, качественно согласующемуся с экспериментальным.
В частности, появляетсяобратная дисперсия и ненулевое затухание плазмона при нулевом значении квазиимпульса. Предложена наглядная интерпретация затухания длинноволновых плазмонов.ВведениеНедавние экспериментальные исследования показали, что классическая модельэлектронной плазмы на фоне однородного положительного “желе” [1] являетсянедостаточной для описания свойств плазмонов в “простых” металлах. Отметимнекоторые особенности спектра плазмонов в щелочных металлах, используя данные работы [2] (см. рисунок 1).
Во-первых, в длинноволновой области спектранекоторых щелочных металлов (в частности, цезия) наблюдается обратная дисперсия. Во-вторых, затухание плазмонов остается конечным при нулевом значенииволнового вектора. Последнее явление наблюдалось ранее в индии и алюминии [3].В зависимости затухания от квадрата волнового вектора ясно прослеживаетсяналичие двух областей: длинноволновой и коротковолновой (вплоть до границыпервой зоны Бриллюэна), в каждой из которых зависимость имеет линейный характер, но коэффициенты наклона различны. Изменения частоты и затуханияоказываются некоторым образом связанными друг с другом: восстановление нормальной дисперсии при больших значениях волнового вектора примерно совпадаетс изменением характера зависимости затухания.Для теоретического объяснения указанных особенностей предлагались два механизма.
В работе [4] учитывалось электрон-плазмонное взаимодействие. В работах [5] кроме эффектов корреляции и обмена принята во внимание зонная структура спектра плазмонов. Фактически это означает учет периодической неоднородности положительного фона, обусловленной наличием кристаллической решетки.Некоторым симбиозом упомянутых подходов является работа [6], в которой дисперсия плазмонов в цезии объяснена взаимодействием газа свободных валентныхэлектронов с локализованными электронами внутренних оболочек.
Недостаткомперечисленных работ является использование формализма равновесной статистической механики. Кроме того, в каждой из них объясняется лишь часть наблюдаемых явлений.1Typeset by AMS-TEX2И. М. АЛЕШИН И Д. В. ПЕРЕГУДОВМы полагаем, что указанные трудности нужно преодолевать в рамках кинетической теории. Примером такого подхода является работа [7], в которой, однако,вычислялась лишь статическая диэлектрическая проницаемость ионных кристаллов. Мы также считаем, что основным фактором, оказывающим влияние на распространение плазменных волн, является наличие периодического неоднородногофона. При этом учет взаимодействия электронов в рамках теории самосогласованного поля является вполне достаточным.
В настоящей работе мы рассматриваемзадачу, моделирующую возбуждения электронной плазмы в слабом периодическомполе ионов. Динамика возмущения описывается линеаризованным (по этому возмущению) уравнением Власова [8]. Впервые задача в такой постановке сформулирована в [9], где показано, что спектр плазменных волн в кристалле имеет зонныйхарактер. В предлагаемой работе, рассматривая периодическую неоднородностькак возмущение, мы находим первую неисчезающую поправку (второго порядка поамплитуде периодического поля) к дисперсионному уравнению.Для того чтобы получить результаты в обозримом виде нам пришлось предельно упростить постановку задачи. При конкретных вычислениях мы предполагали,что среда неоднородна в одном направлении и, кроме того, равновесное распределение электронов по скоростям считали максвелловским. Таким образом, рассмотренная задача является модельной.
В реальных металлах электронный газсильно вырожден, и для его описания нужно использовать кинетическое уравнение для матрицы плотности [10] и, конечно же, учитывать трехмерную структурукристаллической решетки. Реализация этой программы, не представляющая принципиальных трудностей, требует, однако, гораздо большего объема вычислений. Вто же время, даже в рамках наших модельных предположений удается качественноописать как дисперсию плазменных волн в металлах, так и особенности их затухания.
При сопоставлении результатов с экспериментальными данными нужнопросто заменять температуру T (характерный параметр распределения Максвелла) на энергию Ферми εF (характерный параметр фермиевского распределения).Постановка задачиРассмотрим простейшую модель кристалла, состоящего из частиц двух сортов:положительных ионов (i) и электронов (e). Ионы считаются неподвижными и образуют периодический неоднородный фон. Функцию распределения ионов напишемв видеfi = [n + ρ(r)]δ(p), ρ(r) = 0,где ρ(r) — периодическая функция, n — средняя концентрация ионов, угловымискобками здесь и далее обозначается среднее по периоду решетки.Динамика электронной компоненты описывается уравнениями Власова—Пуассона∂fe∂ϕ ∂fe∂fe+v+e= 0,∂t∂r∂r ∂p∆ϕ = −4πe d3 p (Zfi − fe ).В функции распределения электронов выделим три слагаемых, описывающих однородный фон F0 , равновесную периодическую неоднородную добавку f0 и нерав-ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГО СПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ3новесное возмущение f1 :fe = F0 (p) + f0 (p, r) + f1 (p, r, t).В силу условия квазинейтральностиd3 p F0 (p) = Zn,3d p f0 (p, r) = 0,3d r d3 p f1 (p, r, t) = 0.Потенциал ϕ представим в виде суммы равновесной части и неравновесноговозмущения ϕ = ϕ0 (r) + ϕ1 (r, t), где(1)3∆ϕ0 (r) = −4πe Zρ(r) − d p f0 (p, r) ,∆ϕ1 (r, t) = 4πe d3 p f1 (p, r, t).Положим также ϕ0 (r) = 0, чего всегда можно добиться выбором начала отсчетапотенциала.Равновесная функция распределения определяется из стационарного уравненияВласова∂ϕ0 ∂(F0 + f0 )∂f0+e= 0.v∂r∂r∂pНас интересует случай, когда F0 — максвелловское распределение.
Тогдаeϕ0 (r) − 1 F0 (p).f0 (p, r) = C expT 3−1Постоянная C определяется из условияd p f0 (p, r) = 0 и равна C = exp Te ϕ0 (r).После того, как функция распределения f0 выражена через потенциал ϕ0 , последний, в принципе, может быть определен из уравнения (1) по известному распределению ионов ρ(r). Из явного вида f0 следует, что мы получим нелинейноедифференциальное уравнение в частных производных.
Таким образом, уже определение равновесного состояния представляет собой сложную проблему. Мы небудем здесь заниматься ее решением, заметив только, что в линейном (по ϕ0 )приближении получается обычное дебаевское экранирование ионов электронами.Нашей целью является исследование уравнений для возмущений, в которые входяттолько f0 и ϕ0 , но не ρ(r). Поэтому нам будет достаточно уже установленной связи между f0 и ϕ0 .
Саму же функцию ϕ0 мы будем считать известной из опыта иравной псевдопотенциалу металла [11].Уравнение для возмущений имеет вид(2)∂f1∂ϕ0 ∂f1∂ϕ1 ∂(F0 + f0 )∂ϕ1 ∂f1∂f1+v+e+e+e=0∂t∂r∂r ∂p∂r∂p∂r ∂p4И. М. АЛЕШИН И Д. В. ПЕРЕГУДОВПоследний, нелинейный, член будем далее отбрасывать. Это можно сделать приусловии 2eϕ1 k 2 /mω 2 1, где ω и k — частота и волновой вектор возмущения.При этом на значения параметра eϕ1 /T (в случае фермиевского равновесного распределения электронов eϕ1 /εF ) не накладывается никаких ограничений.Линеаризованное уравнение представляет собой уравнение с периодическими коэффициентами, решения которого имеют вид блоховских волнhn (p)eibnr ,f1 (p, r, t) = e−iωt+ikr(3)nϕ1 (r, t) = e−iωt+ikrχn eibnr .nДля упрощения обозначений мы применяем составной индекс n = {n1 , n2 , n3 } ивектор обратной решетки b = {b1 , b2 , b3 }, запись bn означает b1 n1 + b2 n2 + b3 n3 .Периодические функции f0 и ϕ0 можно записать в видеf0 (p, r) =gn (p)eibnr ,nϕ0 (r) =ψn eibnr .nПодставляя эти разложения в уравнение (2), получим систему уравнений длягармоник(4)∂F0−[ω − (k + bn)v]hn − eχn (k + bn)∂p ∂hn ∂gn−n+ χn (k + bn )ψn−n b(n − n )= 0,−e∂p∂pn2(k + bn) χn = −4πe d3 p hn (p)Уравнения (4) представляют собой задачу на собственные значения, решениекоторой определяет зависимость ω = ω(k), то есть дисперсию и затухание плазмонов.Вывод дисперсионного соотношенияТочное решение уравнений (4) не представляется возможным, поэтому будемискать приближенное решение.
В простых металлах потенциал ϕ0 невелик [5],а именно eϕ0 /εF 1. В нашей модельной задаче это соответствует малостипараметра ξ = eϕ0 /T , так что оказывается возможным строить решение в видеразложения по степеням этого параметра. Оказывается, что первая неисчезающаяпоправка к частоте возникает во втором порядке теории возмущений, поэтому нампонадобится выражение для фукнции распределения с точностью до квадратичныхпо потенциалу ϕ0 членов: 2 ee2 2ϕ (r) − ϕ0 (r)F0 (p) + . . .f0 (p, r) =ϕ0 (r) +T2T 2 0ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГО СПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ5После преобразования Фурье получаемee2 (ψn ψn−n − δn0 |ψn |2 ) F0 (p) + .
. .gn (p) =ψn +T2T 2 nМы хотим исследовать волновые решения, которые при ξ → 0 описывают обычные плазменные волны в модели “желе”. В соответствие с этим в нулевом приближении мы оставляем только χ0 и h0 . Для этих величин имеем уравнения(0)(0) ∂F0[ω (0) − kv]h0 − eχ0 k= 0,∂p(0)(0)k 2 χ0 = −4πe d3 p h0 ,из которых следует стандартное дисперсионное соотношение для ленгмюровскихволн [8]:4πe2(0)d3 p (kG)F0 .(5)ε(ω , k) = 0, ε(ω, k) = 1 + 2kЗдесь использован операторG=∂1.ω − kv ∂pВ первом приближении(0)∂h∂F0∂F0(0) e− eψn bn 0 − eχ0ψn k= 0,∂p∂pT∂p= −4πe d3 p h(1)n .(1) (0)[ω (0) − kn v]h(1)hn − eχ(1)n +ωn knkn2 χ(1)nЗдесь kn = k + bn.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
