solid-a (1018226), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При n = 0 имеем(1)(0)(1)[ω (0) − kv]h0 + ω (1) h0 − eχ0 k∂F0= 0.∂p(1)Если мы исключим h0 обычным образом и вспомним дисперсионное соотношение(1)(1)в нулевом порядке, то получим ω (1) = 0, а значения χ0 и h0 остаются неопреде(s)(s)ленными. Аналогично остаются неопределенными амплитуды χ0 и h0 в любомпорядке s теории возмущений. Мы можем считать их равными нулю, полагая, чтоамплитуда основной гармоники в нулевом приближении есть полная амплитудаосновной гармоники в точном решении.Для n = 0 имеем(0) eψn(1)h(1)n = eχn (kn Gn )F0 + eχ0(6)χ(1)n[T (bnGn )(kG) + (kGn )]F0 ,T4πe2 eψn (0)=− 2χ Mn0kn εn T 0И.
М. АЛЕШИН И Д. В. ПЕРЕГУДОВ6гдеMnn =d3 p [T (b(n − n )Gn )(kn Gn ) + (kn Gn )]F0 .Мы ввели обозначение Gn для оператора G, в котором вместо k стоит kn , ианалогичное обозначение для диэлектрической проницаемости ε.Поскольку диэлектрическая проницаемость ε(ω, k) зависит только от модуляволнового вектора k, а дисперсионное соотношение в нулевом приближении имеетвид (5), то в формуле (6) из-за наличия множителя 1/εn возможно появление резонансного знаменателя.
Нетрудно сообразить, что это происходит тогда, когдавектор k лежит вблизи границы зоны Бриллюэна. При некотором n вектор knимеет модуль, близкий к |k|, и диэлектрическая проницаемость εn становится ано(1)мально малой, а поправка χn — аномально большой. Таким образом, вблизиграниц зон Бриллюэна теория возмущений становится неприменимой.Во втором порядке получаем поправку к частоте e 2 4πe2(2)ω P =M0n Mn0 − ψn 2εTknnn32− d p [T (bnG)(bnGn)(kG) + T (bnG)(kGn )]F0 ,гдеP =С точностью до второго порядкаd3 p(kG)F0ω (0) − kv4πe2 ω (2)4πe2 ω (2)P+...=−P +...k2k2Поэтому можно записать дисперсионное соотношение в виде4πe2 e 2 4πe2ε(ω, k) − 2M0n Mn0 − ψn 2εkTknnn32− d p [T (bnG)(bnGn)(kG) + T (bnG)(kGn )]F0 = 0.ε(ω, k) = ε(ω (0) , k) −Как уже отмечалось, это соотношение справедливо везде, кроме областей квазиимпульса вблизи границ зон Бриллюэна.
В последнем случае имеются два конкурирующих малых параметра: потенциал ϕ0 и импульс k, отсчитанный от границызоны, поэтому нужно перестроить ряд теории возмущений. Первая поправка будет определяться суммой наиболее сингулярных членов (членов, содержащих наибольшие степени резонансного знаменателя) во всех порядках теории возмущений.Рассмотрим самый простой случай, когда имеется всего один резонансный знаменатель εN , соответствующий N -ой гармонике. Выписывая k-ый порядок теориивозмущений[ω (0) − kn v]hn(k) +k−1(k)ω (p) hn(k−p) + ω (k) h(0)n − eχn knp=2−en(k−1)∂h ψn−n b(n − n ) n∂p∂F0−∂p−e k−1n p=0(p)χn kn(k−p)∂gn−n= 0,∂pОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГО СПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ(k)(k)и вспоминая, что χ0поправку к частотеω(k)(0)P χ0= 0, h0== 0 при k = 0, из уравнения для n = 0 получаем3d p −ψ−n (bnn(k−1)G)hn+k−1p=0(p)(k−p)χn (kn G)g−n,а из уравнений для n = 0 — поправки к потенциалу и функции распределенияχn(k)k−11d3 p(p)= 2ω4πehn(k−p) −(0)kn εnω − kn vp=22− 4πehn(k) = −+eω (0)k−1 (p)(k−1)(k−p)+χn (kn Gn )gn−nd p ψn−n (b(n − n )Gn )hn3p=0n1− kn vk−1ω (p) hn(k−p) + eχn(k) (kn Gn )F0 +p=2ψn−n (b(n − nn(k−1))Gn )hn+e k−1n p=0(p)(k−p)χn (kn Gn )gn−n .Из выписанных выражений видно, что наиболее сингулярные члены имеют вид(k)χN ∼1,εkN(k)hN ∼1,εkNω (k) ∼1εk−1NОставляя только эти члены, напишем приближенные соотношенияk−14πe (p)d3 p(k−p)= 2ω, k = 3, 4, .
. . ,hN(0)kN εN p=2ω − kN v4πe2(0)(0)(1)(2)3=− 2d p ψN (bN GN )h0 + χ0 (kGN )gN , χN = 0,kN εN(k)χN(1)χN(k)(0)ω (k) P χ0(k)hN = eχN (kN GN )F0 ,(k−1)(k−1)(1)= d3 p −ψ−N (bN G)hN+ χN(kN G)g−NИсключая hN имеем(k)χNk−14πe2(k−p)= 2PNω (p) χN,kN εNp=2(1)k = 3, 4, .
. . ,4πe2 eψN(0)(2)MN0 χ0 , χN = 0,2kNεN Teψ−N (k−1)(0)χNM0Nω (k) P χ0 =TχN = −7И. М. АЛЕШИН И Д. В. ПЕРЕГУДОВ8Поправка к частоте определяется величиной∞∞MMeψeψ−N0N−N0N(k)(1)(k)ω (k) =χN =χN =χN +Ω=T P χ(0)T P χ(0)k=2k=30 k=10∞24πe4πe2 eψNeψ−N M0N(0)(k)MN0 χ0 + 2PN ΩχN =− 2=T P χ(0)kN εN TkN εNk=1022 4πe24πe eψN M0N MN02+=− 22 ε PN ΩkN εN T PkNN∞Решая квадратное уравнение, найдем 22 2 eψN 2 M0N MN0kN εNεNkN±+ (7)Ω=8πe2 PN8πe2 PNT P PNРазные ветви корня выбираются с разных сторон от границы зоны Бриллюэна.Когда k приближается к границе зоны Бриллюэна, εN → 0, а kN , P , PN , M0Nимеют конечные ненулевые пределы. Первое слагаемое в формуле (7) сокращаетаналогичный линейный по отклонению от границы зоны член в ω (0) , обеспечивая,тем самым, выполнение равенства ∂ω/∂k = 0 на границе зоны.
Второе √слагаемоеимеет неаналитическую зависимость от двух малых параметров (вида a2 + b2 ).Как видно, разрыв в спектре при переходе через границу зоны Бриллюэна имеетпервый порядок по периодичскому потенциалу ϕ0 [9].Дисперсия плазмонов в одномерном кристаллеЧтобы получить явно зависимость ω(k) и продемонстрировать качественныеотличия предложенной модели от модели “желе”, сделаем дальнейшие упрощающие предположения.
Будем рассматривать одномерную задачу и считать, чтопотенциал ϕ0 имеет только одну (первую) гармонику. Удобно ввести характерныепараметры: ленгмюровскую частоту, обратный дебаевский радиус и тепловую скорость14πe2 n4πe2 nT,, vT =,=ωp =mrDTmи перейти к безразмерным частоте, волновому вектору и скорости, кроме тоговведем безразмерный параметрξ = |eψ1 /T |.Поправка к частоте выражается через три эталонных интеграла +∞1∂v F (v) dv,J1 (z) =−∞ z − v +∞11∂v∂v F (v) dv,J2 (z1 , z2 ) =z2 − v−∞ z1 − v +∞111∂v∂v∂v F (v) dv,J3 (z1 , z2 ) =z2 − v z1 − v−∞ z1 − vОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГО СПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ9√2где F (v) = e−v /2/ π, а обход полюсов зависит от знака z [12].
Интегралы J2 и J3сводятся к J1 посредством формулJ1 (z1 ) − J1 (z2 ),z2 − z111∂z + ∂z J2 (z1 , z2 )J3 (z1 , z2 ) = −∂z13 1 2 2J2 (z1 , z2 ) = ∂z1Сам J1 с учетом правила обхода выражается через интеграл ошибок [13]J1 (z) =√2π/2 e−z /2 erfc(−iz/ 2), z > 0,√21 − iz π/2 e−z /2 erfc(iz/ 2),z<01 + izДисперсионное соотношение в нулевом приближении имеет видε(ω(0) (0) ω1, k) = 1 + 2 J1=0kkВспомогательные величины M и P выражаются по формуламM̃N0 (0) (0) (0) ωωkωNb= T MN0 =J1J2,+= M̃0N ,kNkNkNkNk (0) ω∂P̃N = ωp T PN =J1kN∂ω (0)Поправка к частоте во втором порядке (0) (0) (0) (0) 2 22 2ωωM̃0σξbσωb σω,,+J2J3+ω (2) =2kσkkσkkσkkσP̃ σ=±1 kσ εσПоправка к частоте вблизи границы первой зоны Бриллюэна (k → b/2 − 0)Ω=2k−1ε−12P̃−1−2k−1ε−12P̃−12+ ξ22M̃−10P̃ P̃−1В длинноволновой части спектра можно получить более простые и явные формулы, раскладывая выражение для ω (2) в ряд по k. Результат с точностью до k 2гласит3ω (0) + ω (2) = 1 + ξ 2 R(b) + k 2 (1 + ξ 2 S(b)) + .
. . ,2где(b2 + b4 )(1 − J1 (1/b)),R(b) =b2 + J1 (1/b)а выражение S(b) через эталонный интеграл J1 мы не приводим из-за его громоздкости.10И. М. АЛЕШИН И Д. В. ПЕРЕГУДОВЗависимость вещественной и мнимой частей частоты от k схематически представлена на рисунке 2. Обычно в металлах b порядка дебаевского радиуса [1] (внаших безразмерных переменных порядка единицы).
Оказывается, что для такихзначений b выполнены неравенства Re R > 0, Im R < 0, Re S < 0, Im S > 0. Неравенства для R означают, что появляется конечное затухание плазмона при нулевомзначении волнового вектора, что подтверждается в экспериментах [2]. Одновременно увеличивается частота плазмона при нулевом значении волнового вектора.Это можно интерпретировать как уменьшение эффективной массы электрона в решетке по сравнению со свободным электроном, что, по-видимому, противоречитэксперименту. Однако эффективная масса не является однозначно определяемойвеличиной, для согласия с экспериментом приходится в разных процессах приписывать электрону разные эффективные массы [11].Неравенства для S говорят, что при достаточно больших значениях ξ в области малых значений волнового вектора будет наблюдаться обратная дисперсия,что также подтверждается экспериментально.
“Большие” значения ξ отнюдь неозначают выход за рамки теории возмущений. Действительно, применение теориивозмущений оправдывается неравенством 1 + 3/2k 2 ξ 2 |R + 3/2Sk 2 |. С другойстороны, обратная дисперсия появляется при условии |ξ 2 Re S| > 1. Если R достаточно мало, то всегда можно указать такую область малых k, что выполняютсяоба неравенства.Затухание плазмона уменьшается с ростом волнового вектора. Насколько можносудить, это явление не наблюдается в эксперименте, так что его следует отнестик недостаткам нашего упрощенного подхода. Можно надеяться, что вычисления вболее реалистической модели с использованием формализма матрицы плотности ис учетом трехмерной структуры решетки исправят положение.Поведение вещественной и мнимой частей частоты для больших k может бытьисследовано численно.
Как показывают вычисления, приведенные формулы длинноволнового приближения справедливы для k < 0.2. Для больших k существенныследующие члены разложения, которые качественно меняют ход кривых, возвращая “нормальные” дисперсию и затухание. Интересно отметить, что характерзависимости для вещественной и мнимой частей частоты меняется согласованно,приблизительно в одной и той же области значений k. Подобное же свойство имеютэкспериментальные кривые (см. рисунок 1).Механизм затухания длинноволновых плазмоновФормализм теории возмущений, использованный нами в работе, удобен для анализа общих свойств решения и построения более точных приближений, однако оннесколько затушевывает простую физическую идею, составляющую основу работы.
В этом разделе мы разовьем другой, более интуитивный подход к задаче,который позволит нам дать физическую интерпретацию явлению затухания длинноволновых плазмонов.ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛАЗМОННОГО СПЕКТРА ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ11Исходным пунктом будет формула (3), в которой мы выделим член n = 0:f1 (p, r, t) = e−iωt+ikr h0 (p) +hn (p)e−iωt+i(k+bn)r = F + δf,n=0ϕ1 (r, t) = e−iωt+ikr χ0 +χn e−iωt+i(k+bn)r = Φ + δϕ,n=0В длинноволновой области спектра k b, и такое разбиение соответствует разделению на быстро и медленно меняющиеся слагаемые. Учитывая, что равновесныепотенциал ϕ0 и функция распределения f0 являются быстро меняющимися, можно в уравнении (2) выделить быстро и медленно меняющиеся слагаемые, которые,очевидно, должны сокращаться по отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
