gluon (1018219)
Текст из файла
ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТА. С. Вшивцев и Д. В. ПерегудовАннотация. В работе вычислен глюонный конденсат во внешнем сферически-симметричномнеабелевом хромомагнитном поле в однопетлевом приближении.ВведениеСогласно оценкам, полученным в работах [1,2] на основании экспериментальныхданных с помощью правил сумм КХД, вакуумное среднее глюонных полей отличноот нуля и соответствует плотности энергии вакуума 0.15 ГэВ/Фм3 .
В рамках теории калибровочных полей предпринимались попытки построить модели, в которыхподобный глюонный конденсат возникал бы вследствие спонтанного нарушениясимметрии. Исторически первой была модель вакуума Матиняна—Саввиди [3],в которой однородное абелево хромомагнитное вакуумное поле H моделировалосьабелевыми же потенциалами:Aai = Hx2 δ a3 δi1 ,Aa0 = 0.Позднее (см. [4,5,6,10]) были предложены принципиально другие модели вакуума,основанные на использовании постоянных неабелевых потенциалов.
Наиболее простым примером является, по-видимому, поле “3λ”:gAak = aδka ,Aa0 = 0.Модели с неабелевыми постоянными потенциалами существенно отличаются отмодели Матиняна—Саввиди, потому что эти потенциалы являются решениямиклассических уравнений Янга—Миллса с ненулевым током [11]. Наиболее подробный анализ теорий с током можно найти в работе [6]. Там полностью рассмотренамодель с полем “3λ” и впервые в явном виде выписана функция Грина глюонов.Целью настоящей работы является вычисление однопетлевой поправки к глюонному конденсату в модели “3λ”.Я в неоплатном долгу перед А.
В. Борисовым, объяснившим мне суть перенормировки, иЮ. В. Грацем, научившим меня правильно смотреть на тахионные моды (Д. П.).1Typeset by AMS-TEXА. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ2Исходные выраженияДля формальной замкнутости работы нам придется привести некоторые результаты, полученные в [6]. Во-первых, мы приведем выражения для функции Гринаглюонов:G(1) (σ) =121×22a 2 − σf 2q (σf − 2) + 4σffκf 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 2,fκ× f 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 222fκfκf − 2σf + 2κG(2) (σ) =11,a2 −q 2 + 2σfσ = ±1,11×24a 4(q + 6q 2 − 4f 2 )2(f 2 + 2)2f κ−(q 2 + 2) −(q 2 + 2)2(f 2 + 2)2f κ −(q 2 + 2) −(q 2 + 2)×.222−f κ(4 + q 2 )2(f + 2) 2(f + 2) −(f + 2)(q 2 + 4)−(κ 2 + 2)(q 2 + 4) + 82f κ2f κ−f κ(4 + q 2 )G(3) =Такой блочно-диагональный вид она имеет в специальном базисе, векторы которогоопределяются как всевозможные попарные произведения:n+ β, lη + , uη + ; n− β, lη − , uη − ; n− η − ; n+ η + ; n+ η − , n− η + , lβ, uβвекторов из базиса в импульсном пространстве:1εαβγµ εabc gAaα gAbβ gAcγ ,6a3lµ = (qµ − κuµ )/f, где qµ = pµ /a,uµ =κ = qµ uµ ,nµ (1) и1(pµ gAaµ pν gAaν )1/2 ,2aпричем nµ (1)nµ (1) = nµ (2)nµ (2) = 1,f=nµ (2),nµ (1)nµ (2) = nµ (1, 2)uµ = nµ (1, 2)lµ = 0.и векторов из базиса в изотопическом пространстве:βa = lµ gAaµ /a,aηa± = n±µ gAµ /a.Во-вторых, не все компоненты квантового поля Q являются физическими.
Физические компоненты имеют вид Π†nk Qk , где:Πnk = gnk − Jˆn M-1 ∇k ,kM = Jˆk ∇ ,Jˆkab = gεacb Jkc ,J — ток, соответствующий полю “3λ”, а черта означает зависимость от внешнегополя A. С практической точки зрения мы должны просто отбросить компоненты Q, пропорциональные вектору uµ специального базиса.ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ3С учетом сказанного однопетлевая поправка к конденсату (под которым понимается среднее от произведения полей) записывается так:(Π†nk Qk )a (x, t)(Π†nm Qm )a (x, t).Из-за трансляционной инвариантности теории среднее на самом деле не зависит отпространственно-временной точки. Мы будем вычислять конденсат при конечнойтемпературе, то есть понимать под средним среднее по гиббсовскому распределению.
Как известно, это можно сделать при помощи замены:+∞dκ→T,2πn=−∞κ → 2πT n.Окончательно конденсат представляется в виде суммы трех слагаемых, по числублоков в функции Грина (обозначение a позаимствовано из работы [7]):Q(1)Q(2)Q(3)=2+∞ d3 pp2 − 2pa + 2a2+T(2π)3 n=−∞ (p − 2a)2 ((2πT n)2 + p2 + 2pa2/(p − 2a))p2 + 2pa + 2a2+,(p + 2a)2 ((2πT n)2 + p2 + 2pa2/(p + 2a))+∞ 11d3 p+=T,(2π)3 n=−∞ (2πT n)2 + p2 − 2pa (2πT n)2 + p2 + 2pa+∞2a2 ((2πT n)2 + p2 + 2a2 ) + (p2 + 2a2 )((2πT n)2 + p2 + 4a2 )1d3 p= 2T.4a(2π)3 n=−∞((2πT n)2 + p2 + 3a2 )2 − 4p2 a2 − 9a4Доопределение функции ГринаВыписанное в конце предыдущего раздела выражение для конденсата являетсяматематически бессмысленным, так как на пути интегрирования лежат особенности, правила обхода которых не определены. Неопределенность евклидовой (!)функции Грина возникает из-за наличия в спектре “тахионных мод”, то есть области значений пространственного импульса, при которых частота чисто мнима.Нужно четко понимать, что общая теория не дает никаких рецептов работы с тахионными модами, так что приведенное ниже правило обхода особенностей нужносчитать дополнительным предположением.Наличие тахионных мод говорит о том, что выбранное фоновое поле не является классическим устойчивым решением, а соответствующий “вакуум” нестабилен.
Точное вакуумное поле, разумеется, приводит к свободной от тахионных модтеории возмущений. К сожалению, оно нам неизвестно, и приходится довольствоваться приближением, которое можно считать квазистабильным.Итак, мы доопределяем функцию Грина, добавляя к квадрату частоты бесконечно малую отрицательную мнимую часть:κ 2 → κ 2 − iδ.А.
С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ4CРис. 1. Обход полюсовна вещественной оси.Рис. 2. Перемещение полюсовпри изменении p.С одной стороны это означает, что полюс на отрицательной части вещественной оси обходится сверху, а на положительной — снизу. С другой стороны, этоопределяет путь полюса при изменении пространственного импульса: полюс с положительной части мнимой оси “переползает” на положительную же часть вещественной и наоборот.Приведенное правило можно переформулировать в терминах параметров интеграла. Например, фейнмановское доопределение функции Грина в пространстве Минковского можно трактовать как наличие мнимой части у массы: m → m − iδ.Аналогично, глядя на выражение для конденсата, можно сказать, что наше доопределение эквивалентно наличию мнимой части у температуры: T → T − iδ.Данное нами доопределение функции Грина не является единственно возможным. Можно дать другое доопределение, которое, как известно, будет отличатьсяот приведенного линейной комбинацией слагаемых δ(κ − κ(f )), где κ(f ) — полюсафункции Грина.
Например, выбор κ 2 → κ 2 + iδ приводит к другому знаку мнимойчасти конденсата.Вооружившись данными определениями, рассмотрим более пристальновклад Q(2) (как наиболее простой):Q(2)=+∞ 11d3 p+T.(2π)3 n=−∞ (2πT n)2 + p2 − 2pa − iδ(2πT n)2 + p2 + 2pa − iδОтметим, что второе слагаемое получается из первого заменой p → −p, поэтомудалее сосредоточимся на первом слагаемом. Введем обозначение:ε = p2 − 2pa − iδ,причем возьмем ту ветвь корня, для которой ε ∼ p при p → ∞.Для отделения бестемпературной части и температурной добавки воспользуемсяпересуммированием Пуассона:+∞n=−∞f (n) =+∞ k=−∞+∞−∞f (x)e−2πikx dx.ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ5εРис. 3.
Выбор ветви ε.Предполагая k 0, вычисляем интеграл по теореме о вычетах замыканием контура полуокружностью снизу:+∞−∞e−2πikx dxe−(ε/T )k=.(2πT x)2 + ε22T εОказывается, что отрицательные k дают тот же вклад, что и положительные,поэтому первое слагаемое в Q(2) равно ∞d3 pd3 p111e−(ε/T )k1=.++(2π)3 2εε(2π)3 2ε ε eε/T − 1k=1Последнее выражение импонирует своей узнаваемостью. Первый член соответствует бестемпературному вкладу, второй — температурной добавке, бозе-подобнуюконструкцию которой трудно скрыть.Бестемпературный случайБестемпературная часть конденсата Q(2) вычисляется по формуле:3d1p1.+ Q(2) =(2π)3 2 p2 − 2pa 2 p2 + 2paК ней нужно сделать три добавления.
Во-первых, как уже отмечалось, оба слагаемых можно объединить, если распространить интегрирование по p также ина отрицательную часть вещественной оси. Во-вторых, на пути интегрированиялежат точки ветвления, способ обхода которых следует из приведенных выше правил. В-третьих, интеграл расходится, и нужно ввести какую-либо регуляризацию.Мы выберем регуляризацию обрезанием, то есть будем считать, что интегрирование ведется по отрезку [−Λ, Λ]. Суммируя вышесказанное, запишем интеграл вобезразмеренном виде:a2(2)x3/2 (x − 2)−1/2 dx.Q =24π CА. С. ВШИВЦЕВ И Д.
В. ПЕРЕГУДОВ6−Λ/aCΛ/aРис. 4. Контур интегрирования для Q(2) .Этот интеграл можно вычислить в лоб по формуле Ньютона—Лейбница, но мыизложим другой подход, который применим и в случае более сложного подынтегрального выражения, когда найти первообразную затруднительно.Сначала разобьем интеграл на части, скажем, по отрезкам [0, 3], [3, Λ/a]и [−Λ/a, 0].
Первый интеграл конечен и только он содержит мнимую часть. Вообще, тахионные моды не могут залезать слишком далеко в область больших импульсов, поскольку асимптотически при p → ∞ мы должны получать ультрарелятивистскую связь ε ∼ p. Второй интеграл расходится при Λ → ∞. Вычтем изподынтегрального выражения несколько первых членов разложения в ряд Лоранапри x → ∞, так что он станет сходящимся:Λ/ax33/2(x − 2)−1/2Λ/a dx =x33/2(x − 2)−1/23−x−1−dx+2x Λ/a 3x+1+dx.+2x3Вся расходимость теперь вычисляется явно, и мы можем записать:Λ/a3x3/2 (x − 2)−1/2 dx =Λ2Λ 3 Λ+ + ln + O(1).22aa2 aВспоминая, что интеграл по отрезку [0,3] конечен, мы можем заменить в этойформуле нижний предел интегрирования на 0. Вычисляя аналогично интеграл поотрезку [−Λ/a, 0], найдем:Q(2) =Λ23a2 Λ+ln + Ba2 .4π 24π 2aНапомним, что в B входит интеграл по отрезку [0, 3], поэтому B имеет мнимуючасть.
Вещественная часть B нас не интересует, так как нам еще предстоитперенормировка, но мнимую нужно вычислить. К счастью, она вычисляется безпроблем: 2a23a2(2)3/2−1/2.x(2−x)dx=Im Q =4π 2 08πГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ7(Интеграл типа B-функции). Итак:Q(2) =Λ23a2 Λ 3ia2+ln ++ B a2 ,4π 2 4π 2a8πгде B уже вещественно.Расходящаяся часть Q(1) :Q(1)a2=2π 2 Cxx−23/2 x2 − 2x + 2 dxC−Λ/aΛ/aРис. 5. Контур интегрирования для Q(1) .анализируется аналогично. Вот результат:Q(1) =Λ25a2 Λ+ln + Ba2 .2π 2π2aСитуация с мнимой частью здесь сложнее, поскольку интеграл20x2−x3/2 x2 − 2x + 2 dxрасходится при x → 2. Поэтому поступим так.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
