gluon (1018219), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Их значения вычисляются по формуле [9]:0∞xα−1 (x + u)−ρ (x + v)−λ dx = uα−ρ v −λ B(α, ρ + λ − α)2 F1 (α, λ; ρ + λ; 1 − u/v),что приводит нас к выражениям:In (ν) = 2−2 6n−ν/2 B(3/2, ν − n − 1)2 F1 (3/2, ν/2 − n; ν − n + 1/2; 1/3),√Jn (ν) = 2n−3 3 B(n − ν/2 + 1, ν − n − 1)2 F1 (n − ν/2 + 1, −1/2; ν/2; 2/3).С помощью известных свойств гипергеометрической функции [8] получаем:In − (−1)n Jn = 2−2 6n−ν/2 B(3/2, ν/2 − 1)2 F1 (3/2, ν/2 − n; 2 − ν/2; 2/3).ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ15Вычисление Q(3) производится, как и ранее, по теореме о вычетах, нужно толькопомнить, что контуры интегрирования Cn и Dn различны при разных n и лежатв областях сходимости соответствующих интегралов In и Jn .
Окончательно:Q(3)3a2π2T 417T 2+=+120a29616π 23Φ (0) +81a1 3− γ − ln− ln+22πT2 2ζ(3)a4Φ(−2) + . . .+512π 4 T 2(здесь посредством Φ(ν) обозначено выражениеΦ(ν) = 92 F1 (3/2, ν/2 − 3; 2 − ν/2; 2/3) − 152 F1 (3/2, ν/2 − 2; 2 − ν/2; 2/3)++ 102 F1 (3/2, ν/2 − 1; 2 − ν/2; 2/3) − 22 F1 (3/2, ν/2; 2 − ν/2; 2/3).Его частное значение Φ(−2) = 41/72, а производная Φ (0) выражается через ряд.)Мы видим, что плохое ультрафиолетовое поведение части G(3) функции Гринадает себя знать и при высоких температурах — разложение начинается с членов ∼T 4 .
Если же мы снова (как в бестемпературном случае) рассмотрим конденсат без дважды продольной моды:Q̃(3)a2=8π 2√1 + 1/ 4x2 + 91√√a+221/22(x + 3 + 4x + 9 ) exp T (x + 3 + 4x2 + 9 )1/2 − 10√1 − 1/ 4x2 + 91√√a+x2 dx,221/2221/2−1(x + 3 − 4x + 9 ) exp T (x + 3 − 4x + 9 )∞то, произведя вычисления, получим:√ 22√a2+9ζ(3)a43T1a−+γ+2−ln+Q̃(3) =3++...ln2416π 22πT24512π 4 T 2ЗаключениеМодели вакуума КХД с неабелевыми постоянными потенциалами изучались ранее в работах [4,5,6,10]. Особо следует отметить работы, посвященные исследованию эффективного потенциала глюодинамики в присутствии фонового постоянногохромомагнитного потенциала A0 на уровне двухпетлевых поправок [13], которыебыли улучшены в работе [14] за счет учета высших петлевых поправок в инфракрасном пределе.
В этих работах отмечено формирование A0 -конденсата. В [15,16]обсуждалась калибровочная независимость A0 -конденсата. Все сказанное указывает на необходимость проведения представленных выше расчетов для специальногомодельного вакуума КХД. Заметим, что фотонный поляризационный оператор внеабелевом поле такого типа обсуждался в работе [17], где, в частности, обсуждался вклад скалярных кварков в вакуумный конденсат при нулевой температуре.Проведение расчетов вкладов в конденсат от спинорных кварков при наличии различных типов калибровочных полей и ненулевых температурах было осуществленоА. С. ВШИВЦЕВ И Д. В.
ПЕРЕГУДОВ16в работе [18]. Настоящая работа позволяет полностью исчерпать данную задачукак в кварковом, так и в глюонном секторах теории. Важным результатом проведенных вычислений является наличие логарифмических зависимостей от поляи температуры для кварковых и глюонных конденсатов. В результате было бывесьма интересно сравнить с соответствующими обобщениями на температурныйслучай работ [19–21,24]. Наряду с этим данное рассмотрение может представлятьинтерес при изучении конкретных моделей существования кварк-глюонной плазмы. Однако следует учесть, что сама концепция внешнего поля в примененииее к глюонному конденсату, возможно, не столь безупречна, как в КЭД, так каклюбой акт взаимодействия оказывается существенным для вакуумного конденсатаи его характеристик.
В настоящее время ведутся активные исследования [22,23],которые, по-видимому, позволят решить этот сложный вопрос.Дополнение. Вычисление Q(2) с использованиемшвингеровской параметризацииВ основном тексте мы использовали технику контурного интегрирования и регуляризацию обрезанием. Мы сделали это из соображений простоты и в особенностииз-за удобства контроля над мнимой частью. В этом дополнении мы продемонстрируем вычисление Q(2) с использованием популярной техники, основанной напредставлении Швингера для функции Грина.Выпишем еще раз исходное выражение для Q(2) :Q(2)=+∞ d3 p11+T.(2π)3 n=−∞ (2πT n)2 + p2 − 2pa − iδ(2πT n)2 + p2 + 2pa − iδПрежде всего нужно употребить какую-либо регуляризацию.
Мы введем регуляторследующим образом (аналитическая регуляризация):Q(2)2λ=µ+∞ 1d3 pT+322(2π) n=−∞ ((2πT n) + p − 2pa − iδ)1+λ1.+((2πT n)2 + p2 + 2pa − iδ)1+λТакой прием работает, потому что функция Грина по-разному ведет себя при p → 0и p → ∞. Буква µ представляет собой параметр размерности массы, которыйнеобходим для сохранения размерности Q(2) (полная аналогия с методом размернойрегуляризации).Представление Швингера основывается на формуле Эйлера для Γ-функции: ∞tν−1 e−t dt.Γ(ν) =0Совершая масштабное преобразование переменной t, мы получим представление ∞11=ds sν−1 e−sA .νAΓ(ν) 0ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ17В таком виде формула прекрасно работает для A > 0.
Если же мы хотим распространить ее на отрицательные A, то нужно доопределить функцию Aν , то естьуказать, с какой стороны мы обходим точку A = 0 при изменении знака A. Будемобходить ее снизу, то есть трактовать отрицательные A как |A|e−iπ , что эквивалентно наличию у A бесконечно малой отрицательной мнимой части. Тогдаправильное представление имеет вид:eiπν/2 ∞1=ds sν−1 e−is(A−iδ) .(A − iδ)νΓ(ν) 0Воспользуемся этим представлением, чтобы записать Q(2) в виде:iπ(1+λ)/2 ∞d3 p(2)2λ eλds s×Q =µΓ(1 + λ) 0(2π)3+∞ 2222e−is((2πT n) +p −2pa−iδ) + e−is((2πT n) +p +2pa−iδ) .×Tn=−∞Далее пользуемся пересуммированием Пуассона, чтобы отделить бестемпературную часть. Для этого придется вычислить интеграл типа Френеля: +∞π−iBx2−iπ/4,B > 0.edx = eB−∞Проделав пересуммирование, получим:∞iπ(1+λ)/2 ∞−iπ/422ee1+2ds sλ √eik /(4sT ) ×Q(2) = µ2λΓ(1 + λ) 04πsk=13d p −is(p2 −2pa−iδ)−is(p2 +2pa−iδ)e.+e×(2π)3Обезразмерим интеграл заменами p = ax и sa2 = τ .
Тогда∞ 2λ eiπ(1+λ)/2 ∞−iπ/4−δτ(2)2 µλeik2 a2/(4τ T 2 )√1+2I(τ ).Q =adτ τeaΓ(1 + λ) 04πτk=1гдеI(τ ) =d3 x −iτ (x2 −2x)−iτ (x2 +2x)+ee(2π)3— интеграл типа Френеля:e−iπ/4 eiτI(τ ) =2π 2πτi1−.2τДалее рассмотрим отдельно бестемпературную часть и температурную добавку.В бестемпературном случае: ∞a2 µ 2λ eiπλ/2i(2)λ−1 iτ −δτQ =dτ τe1−.4π 2 aΓ(1 + λ) 02τА. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ18Выше отмечалось, что такой интеграл нужно понимать как швингеровское представление для (e−iπ )−ν , поэтому:Q(2)a2 µ 2λ eiπλ1=Γ(λ) − Γ(λ − 1) =4π 2 aΓ(1 + λ)21a2 µ 2λ iπλ 1−e=.4π 2 aλ 2λ(λ − 1)Разложение вблизи λ = 0 имеет вид:Q(2)a2=4π 231 3 µ23+ + ln+ πi + O(λ) ,2λ 2 2 a22так что с точностью до конечной перенормировки результат совпадает с найденным в основном тексте.Для температурной добавки можно сразу положить λ = 0:Q(2)a2=4π 20∞∞dτ iτ −δτ +ik2 a2/(4τ T 2 )i2e1−.τ2τk=1В выписанном интеграле узнаем представление для цилиндрических функций∞xν−1 i(p+iδ)x+iq/xe0поэтомуQ(2)iπν/2dx = iπe ν/2q√Hν(1) (2 pq ),p ∞ ia2 kaT (1) ka(1)=H0+H.2πTka 1Tk=1(Ряд сходится в обобщенном смысле, поскольку можно считать, что у T есть бесконечно малая отрицательная мнимая часть, см.
основной текст).Как и в основном тексте, высокотемпературная асимптотика может быть получена при помощи преобразования Меллина. Функция Ханкеля связана с фукнциейМакдональда соотношением:Hν(1) =2e−iπν/2Kν (e−iπ/2 x).iπРассмотрим суммыΛz (ω) =∞(ωn)z Kz (ωn).n=1(Хорошо сходящиеся в обычном смысле). Подставим представление для Kz (ωn) ввиде обратного меллин-образа1Kz (x) =Γ(ν)Γ(ν + z)(x/2)−z−2ν dν,4πi CГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ19где контур C — прямая, параллельная мнимой оси и лежащая справа от всехособенностей подынтегрального выражения. Используя определение ζ-функции:ζ(s) =∞n−s ,n=0записываем Λz (ω) в виде (контур C лежит теперь не только правее особенностейΓ-функций, но и правее особенности ζ-функции; это диктуется сходимостью ряда):2zΛz (ω) =4πiCΓ(ν)Γ(ν + z)ζ(2ν)(ω/2)−2ν dν.Дальнейшее вычисление Λz (ω) по теореме о вычетах можно проделать без особыхсложностей.
Приведем явные выражения для Λ0 (ω) и Λ−1 (ω) с точностью до ω 2 :γ1ωζ(3)ω 2π+ + ln−+ ...,2ω2 2 4π16π 21ω1 γζ(3)ω 2π2π−ln+−+Λ−1 (ω) =−+...6ω 22ω 4 4π 8 464π 2Λ0 (ω) =Используя их, находим для Q(2) выражениеQ(2)T2i=+6π3T a − a28+a3a2a2 (6γ − 1) 5ζ(3)a4ln++ ...,+4π 2 4πT8π 264π 4 T 2совпадающее с полученным в основном тексте.Дополнение. Вычисление мнимой части Q(1)Исходное выражениеCxx−23/2 x2 − 2x + 2 dxсдвигом x → x + 1 преобразуем к видуCx+1x−13/2 x2 + 1 dx(Мы по-прежнему обозначаем контур как C и надеемся, что читатели простятнам эту небрежность.) Чтобы избавиться от расходимости при x → 1 в интеграле,выделим ее явно, интегрируя по частям: x+1x−13/2 (x + 1)3/2 x2 + 1 [−2(x − 1)−1/2 ] dx =5x3 + 7x2 + 5x + 3(x + 1)(x2 + 1)√+= −2(x + 1)dx.x−1x4 − 1x2 + 1 dx =А.
С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ20Рассмотрим интегралы поочередно.1 4x3 dx√x − 1,=2x4 − 1 2dxx2 dxx +1√√dx−=,x2 − 1x4 − 1x4 − 11x dx√= ln(x2 + x4 − 1 ).2x4 − 1Все проинтегрированные члены дают нуль. Оставшиеся интегралы — стандартные полные эллиптическиеdx√= −4iK(i),x4 − 1C 2x +1dx = −4iE(i).x2 − 1CИтак3/2 x+1x2 + 1 dx = −4i(7E(i) − 4K(i)).x−1CДля вычисления частных значений эллиптических интегралов применим формулы [8]:πK(k) = 2 F1 (1/2, 1/2; 1; k 2),2πE(k) = 2 F1 (−1/2, 1/2; 1; k 2),2которые вместе с соотношениями [8]√b + 1; −1) = 2−a πΓ(a − b + 1),Γ(1 + a/2 − b)Γ(1/2 + a/2)√ Γ(a − b + 2)1−a−π2 F1 (a, b; a − b + 2; −1) = 2(b − 1)Γ(a/2)Γ(3/2 + a/2 − b)1−Γ(1 + a/2 − b)Γ(1/2 + a/2)дают π 3/21,K(i) =22Γ (3/4) π 3/2 14E(i) =+.2Γ2 (3/4) Γ2 (1/4)2 F1 (a, b; a −Окончательно3/2 π 3/2 x+1328+=x2 + 1 dx = −4ix−12Γ2 (3/4) Γ2 (1/4)Ci 23Γ (1/4) + 28Γ2 (3/4) .= −√2πГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ21Литература1.
M. A. Shifman, A. I. Vainstein, V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979), 385–391.2. S. Kalara, J. Chakrabarti, Phys. Rev. D21 (1981), 3268–3271.3. G. K. Savvidy, Phys. Lett. B71 (1977), 133–135;S. G. Matinyan, G. K. Savvidy, Nucl. Phys. B144(1978), 539–544.4. L. S. Brown, W.
I. Weisberger, Nucl. Phys. B157 (1979), no. 2, 285.5. А. Кабо, А. Е. Шабад, Труды ФИАН 192 (1988), М. Наука, 153–203.6. А. С. Вшивцев, Д. В. Перегудов, ТМФ 104 (1995), no. 3, 435–450.7. А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, А. О. Старинец, Изв. Вузов. Физика 11 (1992), 65–71.8. М.
Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, М. Наука, 1979.9. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды, т. 1, М. Наука, 1981.10. Ш. С. Агаев, А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, ЯФ 36 (1982), no. 10, 1023–1029.11. В. Г. Багров, А. С. Вшивцев, С. В. Кетов, Дополнительные главы математической физики(калибровочные поля)., Изд-во Томского ун-та, 1990.12. В. Б. Берестецкий, Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
