circ (1018216)
Текст из файла
ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХА. С. Вшивцев, Д. В. Перегудов, А. В. ТатаринцевАннотация. Для анизотропных сред с различными типами симметрии сформулированы условия, при которых наблюдается вращение плоскости поляризации волн.Полученные результаты могут представлять интерес при решении обратной задачипостроения моделей геофизических сред по наблюдаемому эффекту вращения плоскости поляризации.ВведениеМногие процессы в окружающем нас мире имеют волновую природу. Распространение волн в твердых телах описывается основным уравнением теории упругости [1–2]:∂2(1)δik 2 − cijkl ∇j ∇l uk = 0.∂tЗдесь uk (x, t) — вектор смещения, а cijkl — так называемый тензор Гука, характеризующий упругие свойства среды.
Он удовлетворяет условиям симметрии:cijkl = cjikl = cklij ,что позволяет трактовать уравнение (1) как лагранжево с лагранжианомL=11 ∂ui ∂ui+ cijkl εij εkl ,2 ∂t ∂t2где εij = 12 (∇i uj +∇j ui ) — тензор деформаций. Кроме того, на cijkl накладываетсяусловиеcijkl εij εkl > 0положительной определенности потенциальной энергии упругой деформации. Решения уравнения (1) и построение функции Грина этого уравнения детально обсуждались в работе [17] (см.
также цитированную там литературу). Существенную роль при этом играла лагранжевость уравнения (1) (эрмитовость входящегов него дифференциального оператора).Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность В. А. Магницкому, А. А. Гвоздеву и S. Treitel за интерес к работе и обсуждения.The research described in this publication was made possible in part by Grant № MRU300 fromInternational Science Foundation and Russian Government.1Typeset by AMS-TEXА. С.
ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВ2В настоящей работе мы предлагаем обобщение уравнения (1):(2)∂2δik 2 − cijkl ∇j ∇l + 2ηikl ∇l uk = 0,∂tкоторое, как будет показано, содержит новые эффекты. В “технических” целях ииз эвристических соображений мы хотели бы сохранить лагранжевость, поэтомупотребуем ηikl = −ηkil ; тогда ηikl сводится к тензору более низкого ранга:ηikl = εikm ΩmlВпервые уравнение (2) было рассмотрено в работе [3].
Появление дополнительногослагаемого может быть объяснено в рамках теории эффективных сред и связаннойс ней процедурой осреднения, а также с учетом неоднородности среды и наличиемвнешних гиротропных сил.Импульсное представление и спектральная задачаАнализ уравнения (2) легче производить в импульсном представлении.
Будемискать решения (2) в виде:ui (x, t) = Ui e−iωt+ikx .Тогда (2) примет вид алгебраической задачи на собственные значения:(3)(ω 2 δik − Rik )Uk = 0,где Rik = 2ik(εikm Ωml )nl + k 2 Γik , Γik = cijkl nj nl — тензор Грина—Кристоффеля,ni = ki /k —вектор волновой нормали. В силу сделанных предположений матрица R̂ является эрмитовой, и к решению задачи (3) применима техника, развитаяв [17]. Правда, собственные векторы U(a) не могут теперь быть выбраны вещественными (по крайней мере все три сразу). Они имеют вид:U(a) = V(a) + iW(a) ,где V и W — вещественные неколлинеарные векторы.
Это соответствует эллиптической поляризации волн. Однако из собственных векторов по-прежнему можносоставить ортонормированный базис:(4)(a)(b)(Ui )∗ Ui= δ ab ,а для построения функции Грина применим метод проекционных операторов.Вращение плоскости поляризацииПод вращением плоскости поляризации обычно понимают следующее. Пусть всреде распространяется плоская монохроматическая волна (то есть фиксированычастота и направление волнового вектора, но не фиксированы его модуль и поляризация). Пусть в некоторой точке пространства колебания происходят вдольВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ3какого-либо определенного направления (линейная поляризация). Если при сформулированных условиях колебания во всех остальных точках пространства такжепроисходят вдоль определенных направлений, но сами направления меняются отточки к точке, то говорят о вращении плоскости поляризации.Для получения этого эффекта нужно, чтобы решениями спектральной задачи (3)были поляризованные по кругу волны с разными волновыми векторами и совпадающими плоскостями поляризации.
Именно такова ситуация в электродинамике,где при определенных условиях решениями спектральной задачи для уравненийМаксвелла являются волны правой и левой круговых поляризаций, а сам эффектносит имя Фарадея [5,6]. Теория упругости сложнее тем, что спектральная задача (3) имеет три решения. В силу (4) мы не можем требовать совпадения плоскостей поляризации всех трех волн, а только двух из них.Покажем, что уравнение (2) описывает эффект вращения плоскости поляризации. Потребуем совпадения плоскостей поляризации двух решений спектральнойзадачи (3). В силу (4) третий собственный вектор U(3) ортогонален этой плоскостии может быть выбран вещественным. Спектральная задача для U(3) распадаетсяна два уравнения:(3)= 0,(3)= 0.εikm (Ωml nl )Uk(ω 2 δik − Γik )Uk(3)Первое из них означает, что Uk ∼ Ωkl nl , тогда второе дает искомый критерий:уравнение (2) описывает вращение плоскости поляризации, если для некоторого ωвыполняется соотношение:(5)(ω 2 δik − Γik )Ωkl nl = 0.Мы в состоянии продвинуться в анализе еще дальше, если, пользуясь известным нам собственным вектором U(3) , совершим редукцию спектральной задачи.Спроецируем R̂ на плоскость, перпендикулярную вектору U(3) .
Выберем в этойплоскости базис из собственных векторов Γ̂. В этом базисе Γ̂ будет диагональна:Γ̂ =v12 (n)020v2 (n),где v1 (n) и v2 (n) — скорости волн в обычной теории. Антисимметричная матрицаεikm (Ωml nl ) характеризуется единственным отличным от нуля элементом:0Ω(n)−Ω(n)0.Иначе говоря, матрица R̂ приобретает вид:R̂ =k 2 v12 (n) 2ikΩ(n)−2ikΩ(n) k 2 v22 (n).4А. С. ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А.
В. ТАТАРИНЦЕВМы можем тут же выписать ее собственные значения:2222ω1,2 = 12 k (v1 (n) + v2 (n)) ± k 16Ω2 (n) + k 2 (v12 (n) − v22 (n))2 .Выражение для ω2 таково, что всегда существует область импульсов с ω22 < 0.Мнимая частота интерпретируется как нарушение устойчивости среды по отношению к данному типу возмущений. Это принципиальное свойство рассматриваемой модели; мы не можем избавится от него, не потеряв одновременно вращенияплоскости поляризации.Собственные векторы для произвольного направления распространения отвечают эллиптически поляризованным волнам; эффекта вращения плоскости поляризации обычно не наблюдается.
Однако для акустических осей кристалла, когдаv1 (n) = v2 (n), собственные векторы соответствуют волнам правой и левой круговых поляризаций и эффект вращения плоскости поляризации имеет место (вполной аналогии с электродинамикой, см. [5]). Количество и расположение акустических осей в кристаллах различной симметрии обсуждались в работе [18].В своем “чистом” виде вращение плоскости поляризации будет наблюдаться, когда колебания поляризованы в плоскости, перпендикулярной U(3) . В каждой точкепространства колебания будут происходить вдоль какого-то направления, а самонаправление будет меняться от точки к точке.
Если же в некоторой точке пространства существует также U(3) -составляющая вектора смещения, то колебанияв этой и других точках будут эллиптическими. Плоскость поляризации колебанийбудет проходить через вектор U(3) и поворачиваться от точки к точке.Уравнение (5) имеет два очевидных решения, которые мы и обсудим ниже.Изотропная средаТензор Гука изотропной среды строится из δ-символов и с учетом свойств симметрии имеет вид:cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).Одним из собственных векторов тензора Грина—КристоффеляΓik = µδik + (λ + µ)ni nkбудет вектор волновой нормали n. Очевидно, мы удовлетворим критерию (5),если возьмем Ωkl = Ωδkl (впервые эта модель была предложена в [3]).
Поставимспектральную задачу:(6)(ω 2 δik − Rik )Uk = 0,Rik = k 2 (vt2 δik + (vl2 − vt2 )ni nk ) + 2ikΩεikl nl .(vl2 = λ + 2µ и vt2 = µ — квадраты скоростей продольной и поперечной волн вобычной теории.) Как уже отмечалось, одним из ее решений является U(3) = n (ссобственным значением ω 2 = k 2 vl2 ). Два оставшихся решения могут быть описаныследующим образом. Введем единичные векторы l и m, так√ что l, m, n составляют правую тройку.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
