circ (1018216), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда комбинации U(1,2) = (l + im)/ 2 будут собственнымиВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ52векторами с собственными значениями ω1,2= k 2 vt2 ∓ 2kΩ. Как видно, это векторыправой и левой круговых поляризаций. Их линейная комбинация1√ (U(1) e−iϕ + U(2) eiϕ ) = l cos ϕ + m sin ϕ2описывает линейно поляризованные (ориентация задается углом ϕ) колебания.Угол ϕ связан с разностью набега фаз волн с векторами поляризации U(1) и U(2) .Во введении уже отмечалось, что к построению функции Грина уравнения (2)применима техника проекционных операторов [17]. Поскольку в данном случае всетри собственных значения различны, проекторы вычисляются по формулам:Π̂1 =(R̂ − ω22 )(R̂ − ω32 ),(ω12 − ω22 )(ω12 − ω32 )Π̂3 =Π̂2 =(R̂ − ω12 )(R̂ − ω32 ),(ω22 − ω12 )(ω22 − ω32 )(R̂ − ω12 )(R̂ − ω22 ).(ω32 − ω12 )(ω32 − ω22 )Подставляя R̂ из (6), находим(1,2)Πik(3)= 12 (δik − ni nk ∓ iεikl nl ),Πik = ni nk .Функция Грина в импульсном представлении имеет вид:Ĝ =3ω2a=1 aΠ̂a− ω2Поперечно-изотропная средаОдним из наиболее простых, но важным примером анизотропной среды является поперечно-изотропная среда.
Свойства анизотропии такой среды описываютсяединичным характеристическим вектором a. Тензор Гука строится из δ-символови векторов ai :cijkl = Aδij δkl + B(δik δjl + δil δjk )++ Cai aj ak al + D(ai aj δkl + ak al δij )++ E(ai ak δjl + aj ak δil + ai al δjk + aj al δik ).Тензор Грина—Кристоффеля будет следующим:Γik = δik (B + E(na)2 ) + ni nk (A + B)++ ai ak (E + C(na)2 ) + (ni ak + ai nk )(E + D)(na).Обычно принято в качестве независимых параметров использовать компонентытензора Гука в системе координат, где a = (0, 0, 1). Введенные коэффициенты A,B, C, D, E связаны с ними равенствами:c11 = A + 2B,c12 = A,c33 = A + 2B + C + 2D + 4E,c13 = A + D,c44 = B + 4E.6А. С. ВШИВЦЕВ, Д.
В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВОдним из собственных векторов тензора Грина—Кристоффеля является в этомслучае вектор n × a. Мы можем удовлетворить критерию (5), если положим Ωkl =Ωεklm am . Спектральная задача принимает вид:(ω 2 δik − Rik )Uk = 0,Rik = k 2 δik (B + E(na)2 ) + ni nk (A + B)++ ai ak (E + C(na)2 ) + (ni ak + ai nk )(E + D)(na) ++ 2ikΩ(ni ak − ai nk ).Одним ее решением является, конечно же, вектор U(3) = n × a с собственнымзначением ω 2 = k 2 (B + E(na)2 ). Два оставшихся могут быть найдены редукциейспектральной задачи. НапишемRik nk = k 2 (A + 2B + (D + 2E)(na)2) + 2ikΩ(na) ni ++ k 2 (C(na)3 + (D + 2E)(na)) − 2ikΩ ai ,Rik ak = k 2 (A + B + D + E)(na) + 2ikΩ ni ++ k 2 (B + E + (C + D + 2E)(na)2) − 2ikΩ(na) ai .Будем искать собственные векторы R̂ в виде суперпозиции векторов n и a.
Тогдамы придем к спектральной задаче для матрицы 2k (A + 2B + (D + 2E)(na)2)+k 2 (A + B + D + E)(na)++2ikΩ+2ikΩ(na) k 2 (C(na)3 + (D + 2E)(na))− k 2 (B + E + (C + D + 2E)(na)2)− −2ikΩ−2ikΩ(na)Мы не будем явно выписывать частот, поляризационных векторов и функции Грина. Соответствующие выражения слишком громоздки. Не составляет труда получить их (все манипуляции описаны выше), но это имеет смысл, только если высобираетесь производить дальнейшие численные расчеты.Нелинейное уравнениеТеории распространения волн (1) и (2) являются линейными. Они не учитывают взаимодействия волн и других нелинейных эффектов. Такое приближениедопустимо почти для всех типов анизотропных сред и малых амплитуд смещений.Наряду с линейной теорией, описываемой уравнением (1), широко используетсяуравнение, содержащее дополнительный градиентный член [8]:∂2∗(7)δik 2 − cijkl + cijklmn (∇m un ) ∇j ∇l uk = 0.∂tТензор модулей упругости 6-го ранга c∗ijklmn включает учет как собственно нелинейных упругих сил, так и геометрическую нелинейность, обусловленную присутствием квадратичных членов в полном тензоре деформаций.
Обычно на него накладывают определенные свойства симметрии, аналогичные свойствам симметриитензора cijkl .ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ7В некоторых работах (см., например, [9]) осуществлялись попытки связать объяснение эффекта вращения плоскости поляризации со свойствами решений нелинейного уравнения (7). При этом решение, как и в работе [8], строилось в виде рядатеории возмущений. В качестве начального приближения использовалась гармоническая функция u(0) = U(0) sin ψ, где ψ = ω0 t − (kx).
Ряды теории возмущений стаким выбором начального приближения являются асимптотическими [10]. Подобный способ построения приводит к нефизическим эффектам типа роста амплитудырешения в неактивной среде, генерации кратных гармоник и т. п. Результат этогопостроения, строго говоря, справедлив лишь в локальной области ψ = 0. Как былоуказано ранее [11], существование нелинейного члена в волновом уравнении (7),даже при наличии малого параметра при производной, качественно меняет классрешений этого уравнения. Для данного типа нелинейности базовыми функциямипри построении ряда теории возмущений должны являться не тригонометрическиеsin ψ и cos ψ, а эллиптические функции Якоби [12,13], позволяющие учитывать солитонные решения нелинейных уравнений.Отметим также, что данный класс функций наиболее интересен с точки зрениятеории устойчивости для волновых уравнений нелинейного типа.
Частные случаиэллиптических волн — решения вида уединенных волн (солитонов) и кинков появляются во многих нелинейных уравнениях (Кортевега—де-Фриза, sin-Гордона,нелинейном уравнении Шредингера и т. д.). Их характерной особенностью является нелинейная устойчивость. Данное свойство не может быть выявлено нанаивном уровне линеаризации уравнения (устойчивость по Ляпунову), а нуждается в применении сложных математических методов [14], в частности спектральнойтеории операторов. Точно так же и теория возмущений, построенная на классетригонометрических функций, соответствует процедуре линеаризации уравненияв области неустойчивости решения.Результаты, полученные таким образом, не обладают необходимой степеньюдостоверности, а их ценность (или отсутствие таковой) и область применимостиможет быть установлена только на основе сравнения с экспериментальными данными.Подобные вопросы обсуждались авторами данной работы еще в теории поля(неабелевы калибровочные поля), которая в некоторых вопросах близка к рассматриваемой модели (7).
Наличие неустойчивых (в линейном приближении) полевыхмод приводило к необходимости учета нелинейных слагаемых в уравнениях теорииполя. Таким методом достигалась стабилизация растущего в линейном приближении волнового возмущения [15,16].В то же время теория возмущений, построенная на начальном приближении изкласса эллиптических функций, качественно верно описывает физику явления длявсех значений ψ и является более предпочтительной.Так, например, для начального приближения u(0) = U(0) th ψ (имеющего формукинка) с параметрами, удовлетворяющими уравнению(0)(v02 δik − Γik )Uk= 0,v0 = ω/k,первая поправка ряда теории возмущений будет иметь вид:u(1) = U(1) th ψ( 21 −16th2 ψ).8А. С. ВШИВЦЕВ, Д.
В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВВектор U(1) находится из уравнения:(1)(v02 δik − Γik )Uk(0)(0)= kΓ∗ikm Uk Um.Здесь Γ∗ikm = c∗ijklmn nj nl nn . Поправка u(1) модифицирует форму решения, не меняякачественно его поведения. Асимптотики полного решения u = u(0) + u(1) приψ → ±∞ будут следующими:u|ψ→±∞ → ± U(0) + 13 U(1) .Наличие таких поправок не связано с вращением плоскости поляризации в смысле, изложенном выше. Если же (при ином способе решения) подобные эффектыпоявляются, то их следует считать артефактами теории возмущений.ЗаключениеВ ряде геофизических экспериментов реально наблюдается эффект вращенияплоскости поляризации упругих волн, распространяющихся в анизотропных средах. Предпринимались попытки связать этот эффект с нелинейными свойствами среды, а также объяснить его неверным построением теории возмущений длянелинейных уравнений.
Мы продемонстрировали, что эффект вращения плоскостиполяризации может быть объяснен в рамках линейной теории. При наличии нелинейности в волновом уравнении он также имеет место, но обуславливается теми жефизическими причинами, что и в линейном случае. Это позволяет ставить вопросо построении модельных (эффективных) геофизических сред, имеющих свойства,близкие к наблюдаемым в экспериментах. Такой подход позволит более точноописывать геофизические среды на уровне физических моделей и, возможно, дастправильное представление о их внутренней структуре.Литература1.
В. А. Магницкий, Внутреннее строение и физика Земли, М. Недра, 1965, p. 379.2. Ф. И. Федоров, Теория упругих волн в кристаллах, М. Наука, 1965, p. 386.3. А. С. Вшивцев, К. Г. Клименко, А. В. Татаринцев, О вращении плоскости поляризацииволн, распространяющихся в упругих анизотропных средах (1994), Препринт ИФВЭ 94-80,Протвино.4. Л.
Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (Теоретическая физика, т. 2), М. Наука, 1988,p. 512.5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. 8), М. Наука, 1982, p. 620.6. В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика, М. Наука, 1975, p. 415.7. А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев, Е. М. Чесноков, Построение функции Грина при наличиианизотропии среды, Изв.
РАН, Физика Земли 9 (1994), 80–87.8. В. Е. Лямов, Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волнв кристаллах, М. Изд. Моск. ун-та, 1983, p. 224.9. И. Д. Цванкин, Е. М. Чесноков, Плоские волны в нелинейно-упругой анизотропной среде,Изв. АН СССР, Физика Земли 5 (1987), 3–11.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
