Типовой расчет (1016724), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

6 6 .

Вариант № 17

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

2х₁ + 3х₂ + х₃ – х₄ = 5,

х₁ + 2х₂ + 2х₄ = 3,

х₂ + х₃ + 2х₄ = 1,

3х₁ + х₂ + х₄ = 4.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d.

a = 5p + q; b = 5p – 2q; | p | = 4; | q | = 1; p; q = .

3. Найти координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 2х – у + 4 = 0 и 2х – у + 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей, х + у + 2 = 0.

4 . Даны уравнения прямой (α) и плоскости (Р). Найти: 1) каноническое уравнение прямой (α); 2) точку пересечения прямой (α) с плоскостью (Р).

(α) 3х – 2у + z – 6 = 0, (Р) 2х – 3у – 4z – 5 = 0.

х – у – 3z – 7 = 0.

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) , в) ,

б) 4х² + 4х + 6у – 5 = 0 , г) х² + (у – 5)² = 64 .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) 3х² + у² + 3z² + 6х + 2у + 6z – 2 = 0,

б) 3х² – у² – 3z² + 6х + 2у – 6z + 1 = 0,

в) 3у² – z² + х + 6у – 2z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

1 -1 1 5 3 -2

Х * 3 -3 2 = 4 1 -4

4 -5 2 10 2 -6 .

8 . Найти ранг матрицы: 3 2 5 1

1 1 2 0

2 1 3 1

3 2 5 1

2 1 3 1 .

Дополнительная часть:

1. Составьте уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(2; 2) вдвое дальше, чем от прямой х – 1 = 0.

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

2х² – 4ху – 6у² – 4х + 12у – 10 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

х – 7у + 2z – t = 0,

-3х – 5у + 5z + 7t = 0,

4х – 2у – 3z – 8t = 0,

-х – 19у + 9z + 5t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

6 1

А =

6 1 .

Вариант № 18

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

2 х₁ + 3х₂ + х₃ – х₄ = 5,

х₁ + 2х₂ + 2х₄ = 3,

х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 1,

3х₁ + 6х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 9.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d.

a = 2p – 6q; b = p + 2q; | p | = 8; | q | = 0.5; p; q = .

3. Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины А(2; 1) и уравнения его медиан 7х – 20у + 22 = 0 и х + 4у – 22 = 0.

4 . Найти точку симметричную точке А(3, 5, 9), относительно плоскости, проходящую через точку М (2; 2; 2) и прямую х = 3 + 9t,

у = –2t,

z = 3 – t.

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) , в) 4х + 3у² – 30у + 71 = 0,

б) (х + 1)² + (у – 1)² = 25, г) .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) 3х² + 3у² + z² + 6х + 6у + 2z – 2 = 0,

б) 3х² + у² – 3z² + 6х + 2у – 6z + 2 = 0,

в) 3х² – z² + 6х – у + 2z = 0.

7 . Найти матрицу Х, если:

2 1 1 3 7 2

Х * 2 -2 1 = -6 2 9

1 2 -1 0 1 8 .

8 . Найти ранг матрицы: 3 2 1 6

1 3 2 6

2 1 3 6

1 2 1 4

2 3 2 7 .

Дополнительная часть:

1. Определить траекторию точки М (х, у), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к прямой х = 1, чем к точке А(4, 0).

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

х² – 6ху + 9у² – 4х – 10у – 9 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

х – 3у + 5z + 2t = 0,

2х + 5у + 6z – t = 0,

3х + 2у + 11z + t = 0,

4х – у + 16z + 3t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

6 6

А =

1 1 .

Вариант № 19

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

2 х₁ + 3х₂ + х₃ – х₄ = 5,

х₁ + 2х₂ + 2х₄ = 3,

3х₁ + 5х₂ + х₃ + х₄ = 8,

х₁ + х₂ + х₃ – 3х₄ = 2.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d.

a = 3p + 4q; b = p + q; | p | = 2,5; | q | = 2; p; q = .

3. Даны середины сторон треугольника АВС : Р (1; 2) – середина АВ, Q (5; 1) – середина ВС. Найти точку пересечения высоты СF и медианы АR.

4 . Даны уравнения прямой (α) и плоскости (Р). Найти: 1) каноническое уравнение прямой (α); 2) точку пересечения прямой (α) с плоскостью (Р).

(α) х – у – 2z – 3 = 0 , (Р) 4х – 2у – 5z – 6 = 0 .

2х + 3у + z – 1 = 0 .

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) , в) 81,

б) (х – 3)² + (у + 2)² = 82 , г) (х – 4)² + у² = 16 .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) 4х² + у² + z² + 8х + 2у + 2z – 10 = 0,

б) х² + у² – z² + 2х + 2у – 2z = 0,

в) х² + у² + х + 4у + z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

1 1 -2 3 5 4

Х * 2 -1 1 = 7 6 0

1 -4 1 2 -1 -3 .

8 . Найти ранг матрицы: 2 1 3 1

3 2 5 1

2 2 4 0

3 3 6 0

2 1 3 1 .

Дополнительная часть:

1. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от каждой из которых до точек А(2; 0) и В(-2; 0) равна 2√5.

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

2х² + 4ху + 4у² + х – 8у – 5 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

2х – 5у – 7z + t = 0,

5х – 9у – 4z + 4t = 0,

х + 7у + 10z + 2t = 0,

3х + 2у + 3z + 3t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

4 4

А =

1 1 .

Вариант № 20

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Р ешить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

2х₁ + 3х₂ + х₃ – х₄ = 5,

х₁ + 2х₂ + 2х₄ = 3,

х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 1,

3х₁ + 6х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 2.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d, если:

a = p + 3q; b = 3p – q; | p | = 3; | q | = 5; p; q = .

3. Найти координаты вершины В треугольника АВС, если вершины А (0; 5), С (6; 11), а точка В лежит на прямой, проходящей через точки D (2; 1) и Е (10; 9) и при этом сумма расстояний АВ + ВС является наименьшей.

4. Найти точку симметричную точке А (3, 5, 9), относительно плоскости проходящей через точку М₁ (2; 2; 2) и прямую, образованную пересечением плоскостей х + 3у – 3 = 0 и у – 3z + 9 = 0.

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) (х + 4)² + (у – 9)² = 64, в) ,

б) , г) х – 8у² + 32у – 28 = 0.

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) х² + 4у² + z² + 2х + 8у + 2z – 10 = 0,

б) х² + у² – z² + 2х + 2у – 2z + 1 = 0,

в) х² – у² + 2х + 4у – z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

2 2 -1 9 1 -3

Х * 1 -2 1 = 3 0 2

3 -3 -1 3 1 1 .

8 . Найти ранг матрицы: 2 1 1 4

2 2 2 6

3 3 1 7

3 2 2 7

2 1 1 4 .

Дополнительная часть:

1. Даны точки А (-5; 0) и В (2; 0). Найти геометрическое место точек, для каждой из которых отрезки ОА и ОВ видны под разными углами.

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

2х² – 4ху – 4у² – 4х + 8у – 5 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

х + 3у + 5z + t = 0,

3х + 5у + 3z + 5t = 0,

4х + 8у + 8z + 6t = 0,

х + у – z + 2t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

4 1

А =

4 1 .

Характеристики

Список файлов учебной работы