Типовой расчет (1016724), страница 3
Текст из файла (страница 3)
-1 2
А =
3 4 .
Вариант № 9
типового расчета по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Основная часть:
1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:
3х1 + 2х2 + х3 - х4 = 3,
2х1 + 3х2 + 2х3 + х4 = 5,
х2 + 3х3 + х4 = 4,
х1 + 2х2 - х3 + 2х4 = 2.
2
. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b и найти косинус угла между диагоналям c и d, если:
a = 3p + 2q ; b = p - q ; | p| = 3 ; |q | = 1 ; ( p ; q ) = 
.
3. Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины A ( 1; 5 ) и уравнения двух его биссектрис: х - у = 0, х + 2у - 6 = 0.
4. Найти проекцию точки А ( 3; 5; 9 ) на прямую образованную пересечением плоскостей х + 2у + 37 = 12 и х - у = 0.
5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертеж:
а) 
, в) 
,
б) (х + 4)² + (у - 1)² = 25, г) -2х² - 12х + 3у – 9 = 0 .
6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок:
а) 2х² + 2у² + z² - 4у - 4z = 0,
б) 2х² + 2у² - z² + 4х + 4у - 2z + 4 = 0,
в) 2у² + z² + х + 4у - 2z = 0.
7. Найти матрицу Х, если: 1 1 0 4 3 9
Х * 1 1 1 = 6 7 11 .
0 3 1 5 8 13
8. Найти ранг матрицы: 1 2 2 1 0
3 2 3 2 1
4 4 5 3 2 .
1 0 1 1 1
Дополнительная часть
1. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки N (0; 0.25) и от прямой у + 0,25 =0.
2. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить ее тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.
х² + 4ху + 4у² - 6х - 8у - 8 = 0.
3. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:
-х + 3у - 4z - t = 0,
3х + у - 6z - 7t = 0,
5х + у + 2z - 9t = 0,
2х + 10у - 10z - 6t = 0.
4 . Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:
5 3
А =
2 0 .
Вариант № 10
типового расчета по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Основная часть:
1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:
3х1 + 2х2 + х3 - х4 = 3,
2х1 + 3х2 + 2х3 + х4 = 5,
4х1 + х2 - 3х4 = 1,
х2+ 3х3 + х4 = 4.
2 
. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b и найти косинус угла между диагоналям c и d, если:
a =4 p - 2q ; b = p + 2q ; | p| = 5 ; |q | = 4 ; ( p ; q ) = 
.
3. Даны уравнения высот треугольника х + у = 4 и у = 2х и одна из его вершин А (0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
4. Даны уравнения прямой ( α ) и плоскости ( Р ). Найти: 1) каноническое уравнение прямой ( α ); 2) точку пересечения прямой ( α ) с плоскостью ( Р ). Если:
( α ) 2х - 3у + 7z + 7 = 0, ( Р ) х - 2у + 4z + 5 = 0.
3х + 5у - z - 14 = 0.
5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертеж.
а) 
, в) 
,
б) -5х² + 20х + 7у +8 = 0 , г) ( х + 1)² + ( у – 5 )² = 49.
6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок:
а) 2х² + у² + z² + 4у + 4z = 0 ,
б) 2х² - 2у² + z² + 4х + 4у + 2z = 0 ,
в) 2у² - 2z² + х + 4у - 2z = 0.
7. Найти матрицу Х, если 1 -1 4 6 7 1
Х * 5 2 -3 = 5 8 2
6 1 -3 3 9 4 .
8
. Найти ранг матрицы: 3 2 3 4 3
1 2 3 2 1
4 4 6 6 4
2 0 0 2 2 .
Дополнительная часть:
-
Составить уравнение геометрического места точек равноудаленных от точек А ( 1; 1 ) и В ( 3; 3 ).
-
Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить ее тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.
3х² + ху + 2у² - 6х - 8у - 6 = 0.
-
Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:
4х - 5у + 3z + 2t = 0,
3х - 2у + 5z + 4t = 0,
х - 3у - 2z - 2t = 0,
х - 3у - 2z - 2t = 0.
-
Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:
0 3
А =
2 5 .
Вариант № 11
типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Основная часть:
-
Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:
3 х1 + 2х2 + х3 – х4 = 3,
х2 + 3х3 + х4 = 4,
3х1 + 3х2 + 4х4 = 7,
3х1 + х2 – 2х3 – 2х4 = -1.
2
. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d,если:
a = 2p + 3q; b = p - 3q; | p | = 6; | q | = 7; p; q = 
.
3. Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины A(2; 1) и уравнения его высот: 4х + 3у – 74 = 0,
12х + 5у – 92 = 0.
4. Найти точку симметричную точке А(3; 5; 9) относительно плоскости проходящей через точки М1(2; 2; 2), М2(12; -3; 2), М3(3; 0; 3).
5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.
а) 3х – 2у2 – 4у + 1 = 0, в) (х + 7)2 + (у + 3)2 = 4,
б) 
, г) 
.
6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.
а) х2 + 2у2 + z2 + 2х + 4у = 0,
б) 2х2 – 2у2 + z2 + 4х + 4у + 2z + 1 = 0,
в) 2х2 + z2 + 4х + у + 4z = 0.
7. Найти матрицу Х, если:
1 1 1 4 1 6
Х * 1 2 -1 = -3 -2 1
3 -4 -2 4 5 -7 .
8. Найти ранг матрицы:
2 2 4 0
3 1 5 2
4 2 6 2
4 2 6 2
3 1 4 2 .
Дополнительная часть:
-
Составьте уравнение геометрического места точек, расстояние каждой из которых от точки А( 0; 7 ) в два раза меньше расстояния от прямой у – 4 = 0.
-
Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.
3х2 + ху – 2у2 – 6х – 8у – 6 = 0.
-
Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:
3х + у – 2z + 5t = 0,
4х + 2у + 3z – t = 0,
х + у + 6z – 6t = 0,
5х + у – 9z + 16t = 0.
-
Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:
5 1
А =
6 0 .
Вариант № 12
типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Основная часть:
-
Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:
3х1 + 2х2 + х3 – х4 = 3,
2х1 + 3х2 + 2х3 + х4 = 5,
х2 + 3х3 + х4 = 4,
5х1 + 6х2 + 6х3 + х4 = 2.
2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d,если:
a = 3p – q; b = p + 2q; | p | = 5; | q | = 4; p; q = .
3. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х – 2у – 8 = 0 и 3х – 2у – 8 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение третьей стороны.
4
. Даны уравнения прямой (α) и плоскости (Р). Найти: 1) каноническое уравнение прямой (α); 2) точку пересечения прямой (α) с плоскостью (Р).
(α) 3х + 4у + z – 4 = 0, (Р) х – 4у – 2z + 5 = 0.
5х – у – 2z + 2 = 0.
5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.
а) (х – 1)2 + (у + 3)2 = 36 , в) -3х + 18х + 2у – 25 = 0,
б) 
, г) 
.
6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок:
а) х2 + у2 + 2z2 + 2х + 4у = 0,
б) 2х2 – 2у2 + z2 + 4х + 4у + 2z + 2 = 0,
в) 2х2 – z2 + 4х + у + 4z = 0.
7. Найти матрицу Х, если:
1 1 1 2 6 5
2 4 1 * Х = 3 1 4
1 6 -1 1 2 7 .
8 . Найти ранг матрицы: 3 2 5 1
2 0 2 2
1 0 1 1
2 1 3 1
3 2 5 1 .
Дополнительная часть:
-
Составьте уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 2) и от оси абсцисс.
-
Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.
х2 – 2ху + у2 – 2х – 4у – 4 = 0.
-
Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:
х + 7у + 3z – 2t = 0,
5х – 3у + 5z – t = 0,
4х – 10у + 2z + t = 0,
3х – 17у – z + 3t = 0.
-
Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:
5 6
А =
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
