Типовой расчет (1016724), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1 0 .

Вариант № 13

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

х₁ + 2х₂ + х₃ – х₄ = 2,

х₁ – х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 4,

3х₁ – х₂ + х₃ + х₄ = 1,

х₁ + 2х₃ + х₄ = 4.

2. Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b

и найти косинус угла между диагоналями с и d.

a = 3p + q; b = 3p – 2q; | p | = 2; | q | = 3; p; q = .

3. Найти координаты вершин треугольника, если дана координата одной его вершины А( 2; 1 ) и уравнения высоты: 2х + 5у – 92 = 0 и медианы 7х – 20у + 22 = 0, проведённых из разных вершин.

4. Найти точку симметричную точке А(3;5;9) относительно плоскости

п роходящую через точку М₁(12;-3;2) параллельно векторам а 1; -2; 1 ,

b 9; -3; -1 .

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) , в) ,

б) - 2х + у² – 8у + 14 = 0 , г) (х – 6)² + (у + 2)² = 16 .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) 3х² + у² + z² + 6х + 4у + 2z = 0,

б) 3х² + 3у² – z² + 6х + 6у + 6 = 0,

в) 3х² + у² + 6х + 4у – z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

1 2 1 1 2 2

Х * 1 -2 -1 = 3 4 0

1 -7 -2 3 5 1 .

8. Найти ранг матрицы: 1 2 3 3 2

2 3 3 4 2

1 1 1 2 2

3 5 6 7 4 .

Дополнительная часть:

1. Составьте уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний от начала координат к расстоянию до прямой 3х + 16 = 0 равно 3/5.

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

3х² + ху + у² – 6х – 2у – 6 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

4х – у + 3z + 2t = 0,

2х – 3у + 4z – 5t = 0,

2х – 10у + 9z – 17t = 0,

2х + 4у – z + 7t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

0 6

А =

1 5 .

Вариант № 14

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

х ₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 3,

х₁ – х₂ + 2х₃ – 3х₄ = 4,

х₁ + 5х₂ + х₄ = 0,

2х₁ + х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 6.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d, если:

a = 5p + q; b = p – 3q; | p | = 1; | q | = 2; p; q = .

3. Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины В(14; 6) и уравнения его высоты: 4х + у – 9 = 0 и биссектрисы 7х + 4у – 12 = 0, проведённых из одной вершины.

4 . Найти точку симметричную точке А (3, 5, 9), относительно плоскости, проходящую через параллельные прямые:

х = 2 + t , х = 12 + t,

у = 2 – 2t, и у = –3 – 2t,

z = 6 – t. z = 1 – t .

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) , в) ,

б) (х – 3)² + (у + 2)² = 82 , г) –3х² + 6х – 2у – 5 = 0 .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) х² + у² + 3z² + 2х + 6у + 1 = 0,

б) 3х² + 3у² – z² + 6х + 6у + 4 = 0,

в) х² + 3z² + 2х + у + 6z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

-1 1 -1 0 1 6

Х * 1 -2 -1 = 7 5 2

1 2 1 3 4 3 .

8. Найти ранг матрицы: 1 2 3 4 5

5 4 5 4 5

1 0 1 0 1

2 2 4 4 1 .

Дополнительная часть:

1. Составьте уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А (0; 3).

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

х² – 2ху + у² – 2х + 2у – 4 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

2х – 3у + 4z + 4t = 0,

4х + 3у + 5z – t = 0,

2х + 6у + z – 5t = 0,

6х + у + 9z + 3t = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

1 6

А =

1 6 .

Вариант № 15

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

х₁ + 2х₂ + х₃ – х₄ = 2,

х₁ – х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 4,

3х₁ – х₂ + х₃ + х₄ = 1,

5х₁ + 4х₃ + 3х₄ = 7.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d, и если:

a = 2p – 3q; b = 3p + q; | p | = 4; | q | = 4; p; q = .

3. Даны уравнения двух сторон треугольника 4х – 5у + 9 = 0 и х + 4у – 3 = 0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(3; 1).

4 . Даны уравнения прямой (α) и плоскости (Р). Найти: 1) каноническое уравнение прямой (α); 2) точку пересечения прямой (α) с плоскостью (Р).

(α) 5х – 2у – z + 1 = 0, (Р) 4х + 3у + z + 2 = 0.

2х + 4у + 2z – 2 = 0.

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) (х – 5)² + у² = 25, в) 2х² – 28х + 9у + 40 = 0,

б) , г) .

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) х² + 3у² + z² + 2х + 6у = 0,

б) 3х² + 32у² – z² + 6х + 6у + 5 = 0,

в) 3у² + z² + х + 6у + 4z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

-1 1 1 4 1 4

Х * 1 -1 1 = 2 -2 4

-3 1 -2 -1 4 3 .

8 . Найти ранг матрицы: 1 2 3 1 4

1 2 3 1 4

2 3 5 1 6

1 1 2 0 2 .

Дополнительная часть:

1. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к А(0; 1), чем к точке В(0; 4).

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

3х² – ху – у² – 6х – 4у – 8 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

2х – 5у + 2z + 3t = 0,

х – 6у + 3z + t = 0,

3х – 11у + 5z + 4t = 0,

х – 13у + 7z = 0.

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

0 1

А =

6 5 .

Вариант № 16

типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Основная часть:

1. Решить систему уравнений методом Жордана-Гауса:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 3,

х₁ – х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 4,

3х₁ – х₂ + х₃ + х₄ = 1,

5х₁ + 4х₃ + 3х₄ = 3.

2 . Вычислить площади параллелограмма, построенного на векторах a и b и найти косинус угла между диагоналями с и d, если:

a = 7p – 2q; b = p + 3q; | p | = 1/2; | q | = 2; p; q = .

3. Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины В(14; 6) и уравнения его биссектрисы: 7х + 4у – 12 = 0 и высоты: 2х + 5у – 92 = 0, проведённых из разных вершин.

4 . Найти точку симметричную точке А(3, 5, 9), относительно плоскости, проходящую через пересекающиеся прямые:

х = 3 + 9t , х = 4 + t,

у = –3t, и у = –2 – 2t,

z = 3 – t. z = 4 + t.

5. Выполнив параллельный перенос осей координат, привести уравнения к каноническому виду. Вычислить координаты фокусов. Сделать схематический чертёж.

а) 2х² + 3у + 8х + 23 = 0, в) ,

б) , г) (х + 8)² + (у – 6)² = 100.

6. Привести уравнения поверхностей второго порядка к простейшему виду, определить их тип и сделать схематический рисунок.

а) х² + 3у² + 3z² + 2х + 6у + 6z – 2 = 0,

б) 3х² – 3у² + z² + 6х – 6у + 2z = 0,

в) 3х² – у² + 6х – 4у – z = 0.

7. Найти матрицу Х, если:

-1 1 -1 4 3 2

Х * 1 -2 -1 = 3 3 2

3 3 -2 -3 4 2 .

8 . Найти ранг матрицы: 1 2 1 2 1

2 3 4 2 3

3 5 5 4 4 .

Дополнительная часть:

1. Составьте уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от начала координат и от точки А(0; 5) относится как 3 : 2.

1. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.

2х² + 4ху + 6у² – 4х – 12у – 10 = 0.

1. Исследовать систему линейных однородных уравнений. Найти ее общее решение и фундаментальную систему решений:

х – 4у + z – 2t = 0,

2х – 5у + 3z + 2t = 0,

2х – 11у + z – 10t = 0,

х – 7у – 8t = 0 .

1. Найти собственные значения и единичные собственные векторы, составляющие острый угол с осью ОХ, линейного преобразования с матрицей:

1 1

А =

Характеристики

Список файлов учебной работы