Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике (1016680)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИФ.Ш. Маджитова, Д.Ф. МаджитовКраткий справочник и индивидуальные заданияпо элементарной математикеУчебное пособиеМосква, 20111УДК 517Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособияредакционно-издательским советом МГУПИРецензент:Головешкин В.А.профессор, д.т.н.Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф.Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарнойматематике. Учеб.

пособие. М.: МГУПИ, 2011. 72 с.Настоящее пособие содержит краткий справочный материал поэлементарной математике, примеры и задачи с решениями, а также вариантыиндивидуальных заданий для закрепления практических навыков.Пособие может быть использовано для самостоятельного повторенияшкольного курса математики студентами и поступающими в МГУПИ.Данные методические указания адресованы тем, кто поступил в МГУПИ, иставят целью помочь своему читателю самостоятельно повторить школьныйкурс математики.© МГУПИ, 20112Авторы данного пособия не ставили перед собой задачу охватамаксимальновозможногоколичестваразделовэлементарнойматематики. Задача более простая - осветить и дать краткиепояснения только к тем разделам, в которых студенты снедостаточной математической подготовкой испытывают наибольшиетрудности при изучении высшей математики.С этой целью в первом разделе методических указаний приводитсясправочный материал и пояснения к ряду примеров и задач изсоответствующих разделов элементарной математики.

Во второмразделе приведены варианты индивидуальных заданий для закрепленияпрактических навыков.3ОглавлениеПредисловие……………………………………………………………………….3Раздел 1. Сведения из элементарной математики………………………………41. Арифметика………………………………………………………………...42. Алгебраические преобразования………………………………………….63. Алгебраические уравнения………………………………………………..84. Показательные и логарифмические уравнения…………………………105.

Система уравнений……………………………………………………….126. Неравенства……………………………………………………………….147. Графики функций…………………………………………………………188. Преобразование тригонометрических выражений……………………..239. Тригонометрические уравнения…………………………………………3110.Решение прямоугольных треугольников………………………………..3411.Геометрия………………………………………………………………….35Раздел 2. Варианты индивидуальных заданий………………………………...44Часть 1……………………………………………………………………………44Часть 2……………………………………………………………………………744Раздел 1.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ1. АрифметикаАрифметика - это наука о числах. В арифметике изучаются простейшиесвойства чисел и правила вычислений.Среди чисел выделяются следующие:1. Натуральные числа. Их множество обозначается N = {1, 2,3,...} .2. Целые числа Z= {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...} .m3. Рациональные числа=Q  , m, n ∈ Z } .n4. Иррациональные числа- это числа, которые не могут бытьm, т.е.

не являютсяnрациональными. Примерами таких чисел являются 2,число π.представлены в виде несократимой дробиВ своей совокупности все эти числа называются действительнымичислами. Их множество обозначается R . Имеет место следующиевключения: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.К арифметическим действиям относятся: сложение, вычитание,умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Есливыполняются несколько действий, то результат, вообще говоря, зависит отпорядка действий.Пример 1. Вычислить: 3 + 5 × 2.Выполняя указанные действия двумя способами:1)3 + 5 ⋅ 2 = (3 + 5)и ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 162)3 + 5 ⋅ 2 = 3 + (5 ⋅ 2)получаем= 3 + 10 =различные13,результаты.Для получения правильного результата установлен следующий порядокдействий:1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);2) умножение и деление (в порядке их следования);3) сложение и вычитание (в порядке их следования).При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках вуказанном порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же ссоблюдением указанного выше порядка.Пример 2.

Вычислить:55 + 15 : 3 − 2 ⋅ (10 − 2 ⋅ 3 + 4) + 3 ⋅ (1 + 4).1)10 − 2 ⋅ 3 + 4 = 10 − 6 + 4 = 8;2)1 + 4 =5;3)2 ⋅ (10 − 2 ⋅ 3 + 4) =16;4)3 ⋅ (1 + 4) =15;5)15 : 3 = 5;6)5 + 15 : 3 − 2(10 − 2 ⋅ 3 + 4) + 3 ⋅ (1 + 4) = 5 + 5 − 16 + 15 = 9.Ответ : {9} .Пример 3. Вычислить:0,125 : 0, 25 + 1,5625 : 2,5+ (0,85 + 1,9) ⋅ 0,5.(10 − 22 : 2,3) ⋅ 0, 46 + 1, 61)0,125 : 0, 25 + 1,5625 : 2,5 =0,5 + 0, 625 =1,125;220 46230 − 220 4610 ⋅ 462)(10 − 22 : 2,3) ⋅ 0, 46 + 1, 6 = (10 −)⋅+ 1, 6 =⋅+ 1, 6 =+ 1, 6 =23 1002310023 ⋅1000, 2 + 1, 6 =1,8;3)(0,85 + 1,9) ⋅ 0,5 = 2, 75 ⋅ 0,5 = 1,375;1,1254)+ 1,375 = 0, 625 + 1,375 = 2.1,8Ответ : {2} .При выполнении различных арифметических действий необходимопомнить действия с дробями, со степенями, пропорции, проценты.Представим этот справочный материал в виде опорных блоков.ab+=cca+ba; −=cba⋅c ac×=;b⋅c bda=b−a=baac±=;−b bda⋅c a c=;:b⋅d b dad ± cb;bda⋅d  a ; =b⋅c  b nan.bnПропорцияПроцент − одна сотая часть числаa=bA − 100% A 100⇒ x=⇒ =B − x% BxcdB ⋅100%Aad = bca=bc; b=dadcA − 100% A 100Ap⇒ x=.⇒ =x − p% xp1001an = a⋅ a⋅ ...⋅ a , n ∈ N ; a1 = a; a 0 = 1; a − n = n ;an разa m ⋅ a n = a m + n ; a m : a n = a m − n ; ( ab) n = a n ⋅ b n ; ( a m ) n = a mn .6n−aарифметическийкорень na ≥ 0,n− степениойa ≥ 0, n ∈ N , n > 1;−aарифметическийквадратный корень( n a )n =a;m k=ana ⋅b =na ⋅ n b;na=bnn,a2=aa;bm=a; a nmknam .Пример 4.

Вычислить:21  1  −113− 11 26+ 4  :   ⋅  .5 42   1 3      1 − 2 21125111112 1−−−−2 +−−−−2−226633333331)22 + 2 =⋅2 2 =2 =2 ;+4 = 5 +2 =+2 =5−33121 −  2−1152 5−115−2− 1   1 32332)   ⋅   =2 ⋅ 2 =2 =2 3 ;4 22−1333)2 3 : 2=2 3=2=1.21 Ответ :   .22. Алгебраические преобразованияАлгебраические преобразования связаны с выполнением арифметическихдействий над выражениями, содержащими числа и буквенные величины.Для упрощения алгебраических выражений и доказательстваалгебраических тождеств необходимы знания по действиям с дробнымивыражениями, с целыми и дробными показателями степеней и умелогоиспользования формул сокращенного умножения:a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)a 3 − b3 = (a − b) ⋅ (a 2 + ab + b 2 )(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2a 3 + b3 = (a + b) ⋅ (a 2 − ab + b 2 )(a − b) 2 =a 2 − 2ab + b 2(a + b )3 =a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3(a − b)3 =a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b37Пример 5.

Упростить алгебраическое выражение:x 4x x−+ 6 x.: 43 x − 2 x + 2  x − 2 x + 8 x − 161)xxx( x + 2) − x( x − 2) x 2 + 2 x − x 2 + 2 x4x=−== 2;x−2 x+2x −4( x − 2)( x + 2)( x − 2)( x + 2)2) x 4 − 2 x3 + 8 x − 16 = x3 ( x − 2) + 8( x − 2) = ( x − 2)( x3 + 8) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 4) == ( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4);3)4x4x4 x( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4)+=+ 6 x = x2 − 2 x + 4 + 6 x =:x6x 2 − 4 ( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4)( x 2 − 4)4 x= x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 .Ответ : ( x + 2) 2 .Пример 6. Упростить выражение:3(1 − xy )( 3 xy − 1)  1 + xy  :  xy 1 − 3 xy −1 −  − xy.1 + xy 1 + 3 xy   ()1 + xy 1 + 3 xy − 1 − xy=1)1 − =1 + 3 xy1 + 3 xy=33xy (1 − ( 3 xy ) 2 )=1 + 3 xy3xy (1 − 3 xy )(1 + 3 xy )=1 + 3 xyxy (1 − 3 xy );2) xy (1 − 3 xy ) −(1 − xy )( 3 xy − 1)1 + 3 xyxy + xy + 1 − xy1 − xy (1 − 3 xy )  xy +=(1 − 3 xy )==1 + xy 1 + xy= 1 − 3 xy ;( ()())3xy  3 xy  −=xy 0.3)  3 xy 1 − 3 xy : 1 − 3 xy  −=Ответ : {0} .33.

Алгебраические уравненияВыражения вида:(3.1)ϕ ( x) = ψ ( x),где ϕ ( xи) ψ( )x - некоторые функции, называется уравнением с однимнеизвестным. Если положить, что f=( x) ϕ ( x) −ψ ( x), то уравнение (3.1) можнопредставить в виде: f ( x) = 0(3.2)Решить уравнение - значит найти все числовые значения неизвестной x ,которые обращают данное уравнение в тождество. Эти значения называютсякорнями уравнения. Если число a , является корнем уравнения (3.1) или(3.2), тоϕ (a) ≡илиψ (a),( ) 0.

f a ≡Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то жемножество решений. Уравнения (3.1) и (3.2) называются алгебраическими,если функции ϕ ( x),ψ ( x), f ( x) являются многочленами.8Еслиf ( x=) ax + b ,тоуравнениеax + b =0называетсялинейнымbaуравнением. Его решение x = − .Если f ( x) = ax 2 + bx + c , то уравнениеax 2 + bx + c =0,где a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0 , называется квадратным.Корни квадратного уравнения (3.3), если дискриминантD =b 2 − 4ac ≥ 0 , определяются формулойx1,2 =(3.3)−b ± b 2 − 4ac.2aКвадратное уравнение вида:x 2 + px + q =0,где p и q - некоторые числа, называется приведенным квадратнымуравнением, его корни определяются формулойx1,2 =−p±2Справедлива теорема Виета:(3.4)p2− q.4bcax 2 + bx + c =0 ⇒ x1 + x2 =− ; x1 ⋅ x2 = ;aa2x + px + q =0 ⇒ x1 + x2 =− p; x1 ⋅ x2 =q.Зная корни x1 и x2 квадратных уравнений (3.3) и (3.4), многочлены 2-ойстепени можно разложить на следующие линейные множители:ax 2 + bx + c= a ( x − x1 )( x − x2 );x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 ).Пример 7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги