Тема 4. Функция полезности (1015589)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Тема 4. Функция полезности.Пусть заданы критерии K1,…,Kn; X = { x | x = (x1,…,xn) } – множествовекторых оценок вариантов по этим критериям. Пусть на X задано R – отношениепредпочтения. Числовая функция f : X → R , называется функцией полезности(ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством:f(x) ≥ f(y) ⇔ x R y.Если известна функция полезности, то поиск оптимального вариантасводится к задаче нахождения x* = arg max f(x), x∈X – аргумента максимумафункции полезности на множестве X.Как найти функцию полезности? Методы построения функции полезностиделятся на эвристические и аксиоматические.К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и методобобщенного критерия.Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранномукритерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше)приемлемых значений.Метод обобщенного критерия заключается в свёртке набора критериев вчисловую функцию, которая и будет являться функцией полезности.Виды свёрток:1)аддитивная свёртка: f = α1K1+…+αnKn;2)мультипликативная свёртка: f = exp(α1ln(K1)+…+αnln(Kn)) = = K1α1 ⋅ ...

⋅ K nαn ;3)приведенная свёртка: f = min(Ki/αi) по всем i=1…n (или f = max(Ki/αi) повсем i=1…n).Аксиоматическиеметодыпостроенияфункцииполезности–этоформальные методы, основанные на том, что формулируются специальныепредположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которыхгарантирует существование функции полезности конкретного вида.Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят ваддитивном виде:f = λ1f1+…+λnfn(*)как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторымивесовыми коэффициентами λ1,…,λn.Пусть KI ⊂ K = {K1,…,Kn} – подмножество множества критериев, т.е.

группакритериев с номерами из множества I = {i1,…,im}. Ī = {1,…,n}\I. Тогда KĪ – всеостальные критерии, а векторная оценка x представляется в виде (xI,xĪ).Говорят, что критерии KI не зависят по предпочтению от критериев KĪ, еслипредпочтения для любых двух оценок x = (xI,xĪ) и x’ = (xI’,xĪ), содержащиходинаковые компоненты с номерами из Ī, не зависят от самих значений этихкомпонент.Пример 1.n = 5, I = {1,3,4}, Ī = {2,5}.x = (7,1,2,8,2) = (xI,xĪ), где xI = (7,2,8), xĪ = (1,2).y = (4,1,8,3,2) = (yI,yĪ), где yI = (4,8,3), yĪ = (1,2).Таким образом, xĪ = yĪ.Если критерии KI не зависят по предпочтению от критериев KĪ и оценкаx предпочтительнее, чем оценка y, то и, например, оценка x1 = (7,4,2,8,5) будетпредпочтительнее, чем y1 = (4,4,8,3,5), потому что их значения по критериям изгруппы KI совпадают с соответствующими значениями оценок x и y, а оценки поостальным критериям одинаковые.

Таким образом, вместо xĪ = yĪ = (1,2) можноподставитьлюбуюоценку(a,b)ипредпочтениесохранится:(7,a,2,8,b)предпочтительнее, чем (4,a,8,3,b).Критерии K1,…,Kn такие, что любой набор KI из них не зависит попредпочтению от остальных критериев KĪ, называются взаимно независимыми попредпочтению.Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности):функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и толькотогда, когда критерии K1,…,Kn взаимно независимы по предпочтению (при n≥3).При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнениеусловия соответственных замещений (при n≥3 оно выполняется автоматически):∀x1,x2,y1,y2,a,b,c,dесли(x1,x2) ∼ (x1–a,x2+b)и(x1,y2) ∼ (x1–a,y2+c),то(y1,x2) ∼ (y1–d,x2+b) и (y1,y2) ∼ (y1–d,y2+c).Т.е., если увеличение на b и c разных значений x2 и y2 критерия K2 принекотором опорном значении x1 критерия K1 компенсируется одним и тем жеуменьшением этого значения x1 критерия K1, то такие же увеличения b и c тех жезначений x2 и y2 критерия K2 сохраняются и при любом другом опорном значенииy1 критерия K1.Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев попредпочтению?Непосредственно по определению проверить независимость критериевзатруднительно, т.к.

даже при небольших n возникает большое число вариантов,которые надо проверить.Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев { Ki, Kj } независит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии K1,…,Knвзаимно независимы по предпочтению.Таким образом, проверка сводится к установлению независимости тольковсех пар критериев от всех остальных критериев.Пусть необходимо проверить на независимость по предпочтению наборы KIи KĪ. Берём набор xĪ+ наилучших (явно хороших) значений KĪ и подбираем(запрашиваем у ЛПР) два разных набора xI’ и xI’’ таких, что (xI’, xĪ+) ~ (xI’’, xĪ+).Затем берём набор xĪ– самых плохих оценок и спрашиваем у ЛПР, сохранилось либезразличие (xI’, xĪ–) ~ (xI’’, xĪ–)? Если нет, то критерии KI зависят от критериев KĪ.Если да, повторяем процедуру еще для некоторых других xI’ и xI’’. Если всё времябезразличие остаётся, задаём вопрос в общем виде (сохранится ли безразличиепри любых наборах).

Если да, то наборы критериев KI и KĪ независимы.Методы построения аддитивной функции полезностиШаговый метод совместного шкалирования.Пусть n=2 и условие соответственных замещений выполнено.f(x1,x2) = f1(x1) + f2(x2) ∀(x1,x2)∈X.Обозначим диапазоны изменения оценок x1 и x2: x1* ≤ x1 ≤ x1*, x2* ≤ x2 ≤ x2*.Полагаем f(x1*,x2*) = f1(x1*) = f2(x2*) = 0 (начало отсчета).Берем любое значение x11 > x1* достаточно близкое к нему. Устанавливаемf1(x11) = 1 (единица измерения).От ЛПР требуем указать x21 такое, что (x11, x2*) ~ (x1*, x21), для этогозначения также f1(x21) = 1.Затем у ЛПР запрашиваем x12 и x22 такие, что: (x12, x2*) ~ (x11, x21) ~~ (x1*, x22). f(x11,x21) = 1+1 = 2 ⇒ f1(x12) = f2(x22) = 2.Далее у ЛПР запрашиваем x13 и x23 такие, что: (x13, x2*) ~ (x12, x21) ~~ (x11, x22) ~ (x1*, x23) ⇒ f1(x13) = f2(x23) = 3.

И т.д.Таким образом, получаем наборы значений f1(x1*), f1(x11), f1(x12), f1(x13)… иf2(x2*), f2(x21), f2(x22), f1(x23)… по которым с помощью интерполяции строятсяфункции f1(x) и f2(x).Метод половинного деления.Метод находит функцию полезности в виде f(x1,x2) = λ1f1(x1)+λ2f2(x2), гдеf1(x1*) = f2(x2*) = 0, f1(x1*) = f2(x2*) = 1, λ1>0, λ2>0, λ1+λ2=1.Построим функцию f1.ЛПР просим указать среднюю по полезности оценку x10.5 ∈ [x1*;x1*], т.е.такую, изменение полезности на [x1*;x10.5] равно изменению полезности на[x10.5;x1*]. Устанавливаем f1(x10.5) = 0.5.Далееаналогичнополучаемx10.25 ∈ [x1*;x10.5] ⇒ f1(x10.25) = 0.25иx10.75 ∈ [x10.5;x1*] ⇒ f1(x10.75) = 0.75 и т.д.С помощью интерполяции, восстанавливаем функцию f1 по её значениям вточках x10.5, x10.25, x10.75…Функция f2 строится аналогично.Для нахождения весового коэффициента λ1 достаточно запросить у ЛПРпаруодинаковыхпопредпочтительностиоценок(x1’,x2’) ∼ (x1’’,x2’’) ⇒⇒ f(x1’,x2’) = f(x1’’,x2’’) ⇒ λ1f1(x1’)+(1-λ1)f2(x2’) = λ1f1(x1’’)+(1-λ1)f2(x2’’), а из этогоравенства уже можно выразить λ1 (а λ2 = 1 – λ1)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций