Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В процессе работы алгоритма триангуляции количество построенных треугольных элементов (внутренних узлов) определяется:

1) количеством граничных узлов на базовых линиях;

2) законами распределения узлов на базовых линиях;

3) суммарной площадью базовых подобластей;

4) выбором определяющих критериев формирования треугольных элементов.

Вместе с тем, очевидно, что построение оптимальной сетки без учета функции плотности элементов невозможно.

9.7. Оптимизация сетки конечных элементов

Оптимизация СКЭ предполагает изменение геометрических параметров разбиения области с целью улучшения качества сетки.

Q  min (Q =  + T( K, N, K ,  N ))

Геометрическая оптимизация СКЭ возможна с изменением и без изменения топологической модели ( количество узлов, элементов, тип КЭ).

Во втором случае задача оптимизации состоит в сопровождении координат узлов сетки, обеспечивающих min Q при T( K, N, K ,  N ) = const

При изменении топологической модели СКЭ удается достичь наименьшего значения оценки качества , однако величина Q здесь может оказаться существенно большей, чем найденная при T( K, N, K ,  N ) = const ввиду усложнения алгоритма оптимизации и, как следствие, увеличения объема вычислений.

Для получения необходимой точности в зонах большой кривизны искомого решения можно производить локальное изменение топологической модели СКЭ. Чаще всего прибегают к измельчению сетки без изменения аппроксимирующих свойств отдельных элементов.

Другой способ получения уточненных решений состоит в повышении порядка аппроксимации для элементов в выделенных подобластях. Сгущение сетки и связанные с ним уменьшение размеров КЭ влечет за собой ухудшение вычислительной устойчивости метода и возрастание погрешности округления результатов счета вследствие плохой обусловленности матрицы коэффициентов системы уравнений МКЭ при малых размерах элементов. Поэтому использование элементов более высокого порядка всегда оказывается эффективнее простого сгущения сетки.

Охарактеризуем наиболее известные способы оптимизации СКЭ.

1. При отсутствии информации о решении краевой задачи треугольная сетка должна стремиться к конфигурации из равносторонних треугольников.

Для этой цели разработан итерационный алгоритм геометрической регулярной сетки, согласно которому внутренние узлы последовательно совмещаются с центрами многоугольников, составленных из треугольных элементов, их образующих.

Данный способ может привести к вырождению сетки вблизи вогнутых участков границ области, поэтому необходима проверка на невырожденность.

2. Для максимизации минимальных углов треугольников, образующих СКЭ, также используют разные алгоритмы, основанные, в частности, на использовании метода локальных вариаций.

В качестве примера такого алгоритма приведем алгоритм, используемый в САЕ-Sigma, в котором внутренние узловые точки сеточной области сдвигаются так, чтобы минимальный угол в элементах сетки был как можно большим. Для этого используется итерационная процедура, блок-схема которой представлена ниже.

Звездой, соответствующей данному узлу, называется совокупность элементов, содержащих этот узел.

Операции, объединенные в блок 4, выполняются по-разному, в зависимости от того, в каком виде хранится информация о связях узлов. Наиболее ответственной частью рассматриваемой процедуры являются операции блока 5. В Sigma они реализованы на основе метода локальных вариаций. Более подробно алгоритм можно описать по этапам:

1- определить граничные и внутренние узлы (выделить внутренние узлы)

2- организовать перебор внутренних узлов

3- для текущего внутреннего узла определить звезду.

4- организовать перебор элементов звезды.

5- определить минимальный угол и минимальную сторону в каждом из элементов и выбрать из них минимальный угол (назовем 1-й угол) и соответствующую ему сторону.

6- на основе полученной минимальной стороны определить шаг и направление сдвига.

6а- изменить координату текущего внутреннего узла на шаг.

7- определить минимальный угол(назовем 2-й угол) и сторону звезды при новом положении узла.

8- если 2-й угол больше 1-го, то запомнить новое положение текущего узла, присвоить значение 2-го угла 1-му углу и повторить пункты 6а,7; иначе если 2-й угол не больше 1-го, то изменить направление сдвига и выполнить пункты 6а,7.

9- по завершении перебора всех узлов если была изменена координата хотя бы одного узла и число проходов меньше 100 (можно задать любое другое число) вделать еще один проход, то есть выполнить пункты 2-9.

3. Также используют алгоритмы, основанные на процедуре минимизации энергетических функционалов МКЭ с учетом неизвестных координат узлов сетки.

Все эти методы имеют один общий признак - они не изменяют топологической модели СКЭ, т.е. остается неизменным количество узлов и элементов, тип КЭ.

Приведём примеры результатов оптимизации сеток.

Характеристики

Список файлов лекций