6CAD-CAE-20 Триангуляция (1014139), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ), (x4 , y4 )- координаты узловых точек исходной четырехугольной подобласти (нумерация ведется от нижнего левого узла против часовой стрелки):
f1 , f2 и g1 , g2 - функции распределения узлов СКЭ по строкам и столбцам.
Наиболее часто используемые распределения узлов СКЭ приведены в таблице.
| Функция распределения | f1() | f2() |
| Линейная | (1- )/2 | (+1)/2 |
| Квадратичная | (-1)/2+(1- 2) | (+1)/2+(1- 2)(1-) |
| Экспоненциальная |
| 0,25< <0,75
|
; 0Далее представлена сетка, сгенерированная программой на основе топологического шаблона и принятого квадратичного распределения узлов сетки по координатам и .
Методы натуральных координат
При использовании методов натуральных координат применяют топологическую аналогию исходной области D и подобласти D* (шаблона) с заранее заданной сеткой.
Методы изопараметрических координат и натуральных координат ввиду их большой общности объединены в класс i-j алгоритмов генерации СКЭ. Узлы шаблона СКЭ отождествляются с узлами натуральной координатной системы
Каждой прямой в области D* предполагается соответствие прямой в области D. Задаваясь постоянством длин отрезков прямых для шаблона и подобласти
получаем соответствие точек P/ и P*. В действительности прямая в области D* не преобразуется при переходе к D. Поэтому в качестве аналога P* применяется центр тяжести семейства P.
Для получения полного набора точек, определяющих натуральную систему координат (т.е. систему КЭ), необходимо провести трансформацию всех узлов сетчатого шаблона из D* в D.
Треугольную сетку получаем из четырехугольной соединением противоположных вершин криволинейных четырехугольных КЭ.
В качестве сеточных шаблонов для исходной области выбираем другие фигуры, например эллипс, треугольник.
Построение СКЭ возможно также для невыпуклых и многосвязных областей. В этих случаях невыпуклая область разбивается на ряд близких к выпуклым подобластей, для каждой из которых строится система натуральных координат. Методы натуральных координат позволяют строить топологически регулярные сетки с медленно изменяющимися размерами КЭ.
Управление плотностью узлов сетки возможно за счет изменения начального разбиения периметра области на участки, а также разбиения исходной области на подобласти. Не смотря на невысокую эффективность метод натуральных координат широко применяется для автоматизации расчетов напряженно-деформированного состояния элементов ракетных двигателей.
Методы натягивания регулярной сетки.
Предложены Х.А. Камелем и Г.К. Эйзенштейном. Эти методы предполагают аппроксимацию исходной области совокупностью выпуклых односвязных подобластей. Для построения сетки предварительно выполняется разбиение границ подобластей
Затем для каждой подобласти (по принципу раскручивающейся спирали) строится регулярная треугольная сетка (сеточный шаблон) с числом граничных узлов, равным числу граничных узлов подобласти.
В подобласти вписываются принадлежащие им окружности.
Cетчатые шаблоны трансформируются в окружности. После этого граничные узлы шаблона совмещаются с соответствующими граничными узлами подобластей.
Далее натянутая сетка подвергается регуляризации, в результате чего она становится более однородной.
Опыт показывает, что сетки, построенные способом натягивания, регулярны только для выпуклых подобластей, близких к окружностям.
При использовании этого метода необходимо соблюдение такого ограничения, как предварительное разбиение исходной области на выпуклые подобласти, которые затем аппроксимируются выпуклыми многоугольниками. Это трудоемкий и сложноалгоритмизируемый процесс для областей произвольной формы, поэтому на практике предварительное разбиение исходной области чаще всего осуществляется вручную.
Методы предварительного нанесения узлов сетки
Впервые данный алгоритм был предложен И.Сухарой и Ф. Фукудой и впоследствии модифицирован и развит Д. Кавендишем.
Сущность метода заключается в раздельных операциях генерации узлов сетки и формирования совокупности конечных элементов. Основными этапами работы алгоритма являются:
1. Разбиение области дискретизации на ряд подобластей с целью нанесения узловых точек в соответствии с заданными законами распределения последних для каждой подобласти и границы всей области.
2. Генерация узловых точек на границах области и выделенных подобластях.
3. Формирование треугольных элементов посредством соединения сгенерированных узлов пересекающимися ребрами.
4. Оптимизация сгенерированной сетки.
В некоторых программах предварительное нанесение узлов сетки выполняется вручную. Другие программы, имеющие более высокую степень автоматизации, содержат модули генерации узлов согласно заданной плотности их распределения в пределах каждой подобласти и на границе всей области.
Для объединения узловых точек в треугольные элементы используют различные модификации стратегии образования регулярных СКЭ.
Одна из возможных стратегий – алгоритм Делоне. Оптимизацию сгенерированных сеток также выполняют различными способами, но чаще других применяется геометрическая регуляризация. Примерами является опять-таки алгоритмы Делоне и алгоритмы Рапперта, обсуждаемые в дальнейшем.
Основным достоинством автоматизированных вариантов данного метода является непосредственное использование заданной плотности распределения узлов в процессе построения СКЭ. Однако метод требует обязательного контроля взаимного расположения сгенерированных узловых точек сетки, что намного усложняется и замедляет работу алгоритма.
Фронтальный метод (выравнивание – выемка)
Данный метод является одним из наиболее эффективных методов формирования сетки. При использовании метода реализуются большие возможности контроля и управления построением при небольшом числе исходных данных.
Для двухмерных областей произвольного вида наиболее перспективным является треугольный элемент, поскольку треугольная сетка удовлетворительно аппроксимирует поверхности любой кривизны, не накладывает ограничений на размеры элементов и позволяет легко осуществить их контроль. Это предопределило выбор треугольного элемента в качестве базового при создании метода выравнивание-выемка.
Рассмотрим основные этапы этого метода.
Плоская многосвязная область, подлежащая триангуляции, представляется в виде непересекающегося объединения односвязных базовых подобластей, граница которых состоит из непересекающегося объединения базовых линий.
Две (или более) базовых линий могут иметь общие концевые точки (узлы). Таким образом, простейшим элементом топологической модели плоского континуума является точка, которая определяется порядковым номером и координатами. Другим элементом является базовая линия, которая также имеет свой порядковый номер с указанием номеров, образующих ее базовых узлов. Базовая подобласть, в свою очередь имеет номер с указанием номеров ограничивающих базовых линий.
Описанная структура характеризует схему соединения областей.
Поскольку линию можно задавать несколькими определенным образом согласованными точками, целесообразно разработать шаблон или логические схемы преобразования множества исходных данных.
Рассмотрим базовые элементы трех типов: прямую, дугу окружности и квадратичную параболу.
Прямолинейный элемент может быть образован, если известно положение начального и конечного базовых узлов с расположенными между ними промежуточными точками. Для получения неравностоящих промежуточных узлов можно задать их число и функцию, характеризующую вид разбиения линии.
Базовый элемент в форме дуги окружности определяют заданием трех базовых узлов, причем средний узел не обязательно должен совпадать с каким-либо промежуточным узлом, - он предназначен для определения координат центра окружности. Дискретизация базового кругового элемента выполняется разбивкой соответствующего ему центрального узла.
Базовый параболический линейный элемент, подобно базовому элементу в форме дуги окружности, задается тремя базовыми узлами. Очевидно, что вид параболы зависит от выбора координатных осей. Для однозначного определения процедуры формирования параболического элемента первый и последний базовые узлы соединяют прямой, которая образует локальную ось OX ’.
Средняя точка 0, соединяющей линии принимается за начало локальной оси y’ . Базовый параболический элемент в координатной системе x’Oy’ строится единственным образом и имеет симметричную форму. Разделение базового параболического элемента на несколько отрезков выполняют разбивкой соединяющей линии и проведением перпендикуляров к оси Оx’, которые пересекают параболу в запроектированных точках. Неравномерную разбивку производят аналогично. Если необходимо точно определить положение промежуточных узлов, используют численное интегрирование.
Топологической модели плоского континуума соответствует непересекающееся объединение односвязных подобластей в форме многоугольников, аппроксимирующих базовые подобласти.
На основании информации о сформулированных граничных узлах (узлах дискретизации линий) производится автоматическая триангуляция базовых подобластей. Сетка КЭ строится внутрь подобласти от базовых линий с учетом локальных свойств текущей границы.
Алгоритм метода характеризуется двумя способами формирования треугольных элементов.
1) выравнивание, т.е. уменьшение текущей границы;
2) выемкой, т.е. построение нового узла текущей границы.
Применение конкретного способа образования КЭ определяется проверкой локальных свойств текущей границы в соответствии с рядом установленных критериев.
Основным моментом процесса триангуляции для одной из модификаций алгоритма является поиск минимального угла , образованного двумя смежными отрезками прямых на текущей границе. Если 1 75о , то происходит формирование треугольного элемента способом выравнивания.
Если 75о 89о , то выполняется проверка двух других углов 2 , 3 треугольного элемента, построенного способом выравнивания.
В случае, когда эти углы отвечают требованиям регулярности сетки 2 30о и 3 30о, построение считается законченным.
При 1 > 89о или 2 < 30о или 3 < 30о происходит формирование двух треугольных элементов способом выемки.
Угол 1 делится на две равные части, а длина стороны ВД выбирается равной среднему арифметическому длин сторон АВ и ВС, умноженному на числовой коэффициент, который характеризует необходимую степень сгущения или разрежения сетки внутри базовой области.
В подобной ситуации можно использовать способ выравнивания. Тогда процесс триангуляции будет сопровождаться формированием отдельных элементов, не удовлетворяющих перечисленным ранее критериям, но такое построение не приведет к вырождению сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
