6CAD-CAE-20 Триангуляция (1014139), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

З адача усложняется при выполнении требований локального сгущения сетки конечных элементов, когда приходится проводить оценку качества сетки относительно правильности выполнения этого требования.

В таких случаях приходится вводить понятие функции плотности КЭ и формулировать дополнительное условие оптимальности сетки относительно функции плотности.

Итак, если F(x, y, U, U’_x ,U’_y ,...) - неотрицательная функция плотности элементов для оптимальной сетки, то оптимальная сетка по отношению к функции плотности должна удовлетворять условиям однородности:

Здесь N – число конечных элементов, _i - условная мера однородности (условная площадь) i - го конечного элемента реальной сетки,  - условная мера однородности оптимальной сетки (средняя условная площадь конечного элемента).

Это условие однородности предполагает наличие ограничений снизу на радиусы окружностей, вписанных в конечный элемент (см. ниже)

Функция плотности F(x,y,U,U’_x ,U’_y ,...) определяется решением U(x,y) краевой задачи и видом КЭ.

Таким образом, построение сетки конечных элементов нельзя рассматривать независимо от нахождения U(x,y).

При неизвестном U(x,y) функция плотности элементов F может быть задана эмпирически, исходя из выработанных критериев оптимальности сетки (регулярности, невырожденности, необходимости сгущения сетки вблизи границ, в зонах физический неоднородности, геометрических особенностей, возмущений нагрузочных параметров).

В дальнейшем сетку будем считать квазиоптимальной по отношению к принятой функции плотности F.

В данном случае может не достигаться минимум среднего квадратического отклонения точного и приближенного решений.

Существование функции плотности F не следует понимать как некое точное математическое выражение - она может быть определена в виде совокупности некоторых критериальных оценок. Например, в разных подобластях рассчитываемого объекта указано число или площадь конечных элементов. Она может быть известной (заданной эмпирически или найденной в результате анализа предварительного упрощенного решения задачи).

Если сетка конечных элементов более или менее соответствует функции плотности F, то такую СКЭ называют квазиоптимальной.

Более универсальным способом оценки качества сетки КЭ, который можно использовать в процессе триангуляции, является метод штрафных функций.

Оценка качества сетки с помощью функций штрафа.

Рассмотрим оценку качества реальных КЭ, используя понятие штрафной функции f , которая в определенной степени зависит от плотности элементов реальных сеток, их размеров и формы. Например:

f(e_i,F)= C₁(e_i,F)+ C₂(e_i,F)

где C₁(e_i ,F) 0 - штрафная функция неоптимальности размеров i - го КЭ:

C₂(e_i ,F) 0 - штрафная функция вырожденности i - го КЭ.

Примем для квазиоптимальной сетки C₁(e_i,F)= 0 и C₂(e_i,F)= 0 .

Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых.

Введем понятие отклонения от оптимума размеров i - го КЭ.

где _i - условная мера однородности (условная площадь) i - го КЭ реальной сетки,  - условная мера однородности оптимальной сетки.

При использовании аппарата штрафных функций принимают, что в случае, когда d_i  0, т.е. _i  , решение задачи не содержит дополнительных ошибок, обусловленных размерами КЭ. И наоборот, если d_i > 0, т.е. _i > , возникают дополнительные ошибки решения.

Это формулируется введением штрафной функции C₁(e_i ,F) и записывается следующим образом:

C₁(e_i ,F)= C_i(d_i)=

причем C₁(d₁) C₁(d₂), если d₁ d₂>0.

По усмотрению исследователя функция C_i(d_i) может иметь линейный, квадратичный или иной характер.

Отметим, что запись условий может принять иной характер в зависимости от смысла принятой функции плотности и критерия оценки.

Можно, например, "штрафовать за размеры" все элементы для которых существуют отклонения d_i . Но тогда необходимо будет привести убедительные доводы в пользу наложения штрафа на все КЭ, так как неоштрафованных КЭ не будет. Следует также иметь ввиду, что в таком случае может происходить наложение штрафов, например со штрафом за вырожденность, рассмотренный ниже. Это наложение может исказить управляющие действия функции штрафа при построении сетки, а также её оценке. Кроме того, очевидно, что при таком подходе штрафы будут возрастать при увеличении числа КЭ.

Итак, если происходит вырождение КЭ, т.е. радиусы окружностей вписанных в элементы квазиоптимальной становятся близкими нулю, то вводят вторую штрафную функцию C₂(e_i ,F) за вырожденность, которую записывают так:

если R_i  0

если R_i< 0

C₂(e_i ,F)= C₂(R_i)=

причем С₂( )> С₂( ), если d₁< d₂ < 0, .где R_i = R_i - R_min ;

R_i вычисляется в зависимости от формы конечного элемента.

R_min(F, )- наименьший допустимый радиус вписанной окружности для элементов квазиоптимальной сетки с учётом функции плотности, размеров области и числа элементов.

Априорная оценка для R_min может быть получена проще из условия:

где числовой множитель К = 0,15 –0 ,2.

Отсюда в общем случае R_min . Источник такой оценки носит статистический характер, а использование функций штрафа на основе R_min(F, ) проводится, как правило, при обработке больших потоков задач. Подчеркнем ещё раз, что это будет штраф только за вырожденность КЭ.

Напомним, что условие однородности (см. выше) применимо только при наличии «ограничений снизу на радиусы окружностей, вписанных в конечный элемент».

Оценка собственно формы КЭ проводится с помощью дополнительного штрафа – штрафа за форму КЭ. Цель – получить треугольники, наиболее близкие равносторонним. Повторим, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки.

Понятно, что элементарные соображения приводят к желательности равностороннего треугольного КЭ.

Кроме того, если стороны элементов сильно различаются по длине, то это приведет к плохой обусловленности матрицы накопленных уравнений и также к потере точности;

Помимо использования критериев табл. 2.4 функцию штрафа за форму КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ≥ 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого

являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно . При этом равно - для равностороннего треугольника.

Штрафы за форму строятся аналогично C₁(e_i,F) и C₂(e_i,F), но без использования функции плотности.

Общая функция штрафа чаще всего составляется неотрицательной и будет, например, в случае использования только штрафов C₁(e_i,F) и C₂(e_i,F) равна:

f(e_i ,F)= C₁(d_i )+ C₂(R_i ).

Если используются дополнительные штрафы (например, за форму), в эту формулу добавляются слагаемые.

П росуммируем последнее соотношение для N элементов сетки:

Величина Z характеризует качество СКЭ. Очевидно, что для квазиоптимальной сетки Z =0.

Но построение реальных сеток неизбежно ведет к возникновению штрафов вследствие неоднородности КЭ.

С увеличением дискретизации исходной области при использовании КЭ определенного вида и заданных постоянных значениях  и R_min величина Z будет уменьшаться. В этом случае СКЭ оценивается как более оптимальная.

При формировании сеток с разным числом КЭ для одной области часто вводят функцию штрафа, отражающую несоответствие числа узлов и элементов реальной и квазиоптимальной сеток. Если реальная сетка содержит К₁ узлов, и N₁ элементов, а  и R_min заданы для квазиоптимальной СКЭ, содержащей К узлов и N элементов, причем К<К₁ и N<N₁, то штраф за это несоответствие будет выражаться функцией Т ( K, N, K, N )  0

где  N = N₁ - N;  K = K₁ - K

Штрафная функция Т несет информацию об увеличении объема вычислений и, в конечном итоге, увеличении стоимости решения задачи при использовании реальной сетки, отличной от квазиоптимальной.

Рассмотрим числовую характеристику качества реальных СКЭ, учитывающую выполнение условий однородности и объем вычислений.

Q = T + Z =T ( K, N, K, N )+

Поскольку штрафная функция Т определяется для сетки в целом, в процессе построения СКЭ она не может быть учтена, в отличие от штрафов С₁ и С₂, которые вычисляются для каждого КЭ в отдельности. Вместе с тем отрицательное отклонение от оптимума условной площади КЭ:

приводит к увеличению штрафа Т и сводит к нулю значение штрафа С₁(e_{i ,} F)

В общем случае Т не учитывает изменения типа элементов в топологической модели сетки, поэтому ее можно определить суммой штрафов за уменьшение условной площади  _i конечного элемента по отношению к оптимальной  :

T=

причем С₃(d₁)> С₃(d₂), если d₁< d₂ < 0.

Очевидно, что для отдельного КЭ отличное от нуля значение может иметь только одна из штрафных функций С₁ или С₃ .

Таким образом, окончательное выражение числовой характеристики качества реальных СКЭ принимает вид:

Q = .

Понятно, что исходной информацией для оценки качества разных сеток, построенных для одной и той же области, является функция плотности, которой руководствовались при генерации разных вариантов сеток.

В ряде случаев требуется оценить качество построенных сеток для сравнения их между собой, не имея этой функции плотности. В таких случаях функцию плотности «восстанавливают» по одной из сеток, считая эту сетку построенной согласно функции плотности, и с помощью восстановленной функции плотности оценивают все сетки, построенные для рассматриваемой области.

1. Для сугубо приближённой оценки качества уже построенной сетки, учитывающей только размеры элементов, можно применить следующую упрощённую методику.

Характеристики

Список файлов лекций